备战2022 中考数学 人教版 第十二讲 二次函数的图象与性质练习题

第十二讲　二次函数的图象与性质

知识清单·熟掌握

二次函数的图象和性质

1．概念：形如__      __(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫二次函数．

2．三种不同形式的解析式

(1)一般式：__      __；

(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中__      __为二次函数的顶点坐标；

(3)交点式(两根式)：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标．

3．二次函数的图象与性质

1．二次函数三种形式的解析式可互相转换．

2．将二次函数一般式化为顶点式可按下面步骤进行：

(1)一化：将二次项系数化为1.

(2)二配：将含有x的项配成完全平方式．

(3)三化：化为顶点式．

二次函数自变量取值范围为x1<x<x2时，求最值的方法

1．若对称轴在该范围内，则最大、最小值都存在，分别在顶点和一端点处取得．

2．若对称轴不在该范围内，则最大、最小值也都存在，分别在x1，x2处取得．

二次函数图象的平移

1．将抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的新抛物线对应的函数表达式是y＝2(x－3)2＋2(     )

2．把二次函数y＝(x－1)2－3的图象向左平移3个单位，向上平移4个单位后，得到的新抛物线对应的函数表达式是y＝(x＋2)2＋1(     )

二次函数图象与系数的关系

二次函数与方程、不等式的关系

1．抛物线y＝－x2＋2x－3与x轴有两个交点(     )

2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋4m＝0有两个相等的实数根，则二次函数y＝x2＋4x＋4m的图象与x轴有两个交点(     )

3．抛物线y＝2(x－3)(x＋4)与x轴交点的横坐标分别为－3和4(     )

4．抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式－x2＋4x＞2x的解集是0＜x＜2(     )

考点一　二次函数的图象和性质

【典例1】(2021·嘉兴中考)已知二次函数y＝－x2＋6x－5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)当t≤x≤t＋3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求t的值．

【典例2】(2020·淮安中考)二次函数y＝－x2－2x＋3的图象的顶点坐标为__      __．

求顶点坐标的三种方法

1．直接运用顶点坐标公式求解．

2．运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为(h，k).

3．将x0(对称轴为x＝x0)代入函数解析式求得对应的y0.

求抛物线的对称轴的两种方法

1．直接运用公式x＝－求解．

2．利用x＝(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解．

1．(2021·绍兴中考)关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是(     )

A．有最大值4       B．有最小值4　

C．有最大值6       D．有最小值6

2．(2021·眉山中考)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(     )

A．y＝－x2－4x＋5      B．y＝x2＋4x＋5

C．y＝－x2＋4x－5      D．y＝－x2－4x－5

3．(2021·江西中考)在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(     )

4．(2021·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为__      __．

5. (2021·湖州中考)如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2＋mx与x轴交于另一点A(2，0).

(1)求m的值和抛物线顶点M的坐标；

(2)求直线AM的解析式．

考点二　二次函数图象的平移

【典例3】(2021·山西中考)抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(     )

A．y＝3(x＋1)2＋3　　     B．y＝3(x－5)2＋3　

C．y＝3(x－5)2－1　      D．y＝3(x＋1)2－1

1．二次函数平移前后a保持不变．

2．二次函数的平移遵循“上加下减，左加右减”的原则．

3．二次函数的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出函数解析式．

1．(2021·泰安中考)将抛物线y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过(     )

A．(－2，2)     B．(－1，1)     C．(0，6)     D．(1，－3)

2．(2021·广东中考)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__      __．

考点三　二次函数图象与系数的关系

【典例4】 (2021·达州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(2，0)，且对称轴为直线x＝，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＞0；③4a＋2b＋3c＜0；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过；⑤4am2＋4bm－b≥0.其中正确结论有(     )

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象判断关于系数a，b，c的代数式与0的关系

1．判断2a＋b与0的关系，即为比较1与－的关系．

2．判断2a－b与0的关系，即为比较－1与－的关系．

3．判断a＋b＋c与0的关系，令x＝1，看纵坐标．

4．判断a－b＋c与0的关系，令x＝－1，看纵坐标．

5．判断4a＋2b＋c与0的关系，令x＝2，看纵坐标．

6．判断4a－2b＋c与0的关系，令x＝－2，看纵坐标．

1．(2021·凉山州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的是(     )

A．abc>0　　　　　　　  B．函数的最大值为a－b＋c

C．当－3≤x≤1时，y≥0      D．4a－2b＋c<0

2．(2021·遂宁中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b2<4ac；③2c<3b；④a＋2b>m(am＋b)(m≠1)；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有(     )

A．2个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个

考点四　确定二次函数解析式

【典例5】(2021·绍兴中考)小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．

(1)求杯体ACB所在抛物线的函数表达式(不必写出x的取值范围)；

(2)为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．

求二次函数解析式时设法技巧

(2021·上海中考)已知抛物线y＝ax2＋c(a≠0)经过点P(3，0)，Q(1，4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC.

①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C在抛物线上，求C的坐标．

考点五　二次函数与方程、不等式的关系

【典例6】(2021·乐山中考)已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解．

二次函数与方程、不等式的关系

方程ax2＋bx＋c＝d的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c在函数值y＝d时对应x的值．

不等式ax2＋bx＋c>d的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c在直线y＝d上方对应的x的取值范围．

不等式ax2＋bx＋c<d的解⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c在直线y＝d下方对应的x的取值范围．

1．(2021·成都中考)在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝__      __．

2．(2021·武汉中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)，a＋b＋c＝0.下列四个结论：

①若抛物线经过点(－3，0)，则b＝2a；

②若b＝c，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有根x＝－2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2.

其中正确的是__      __(填写序号).

人教版九年级上册　P29　练习　T2

　如图，矩形绿地的长、宽各增加x m，写出扩充后的绿地的面积y与x之间的函数关系式．

　(变换条件与问法)(2020·日照中考)如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100 m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计).

(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE.

(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

　(变换条件与问法)(2020·无锡中考)有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．

(1)当x＝5时，求种植总成本y.

(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．

(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．