备战2022 中考数学 人教版 第二十四讲 图形的相似与位似练习题

第二十四讲　图形的相似与位似

平行线分线段成比例

1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的__      __成比例．

如图①，两条直线AC，DF被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则＝.

2．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的__      __成比例．

如图②，在△ABC中，因为DE∥BC，所以＝，也可以说＝.

相似三角形的判定与性质

位似

1．小明的数学作业本的纸上都是等距离的横线，他在上面任意画一条不与这些横线平行的直线，那么这条直线被这些横线所截得的线段相等．(     )

2．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝2，BD＝3，则BF的长为4.(     )

3．如图，已知直线a∥b∥c，则下列结论：

①＝；②＝；③＝都是正确的．(     )

　(1)根据条件选择判定：有平行线一般用判定1，网格中三角形相似一般用判定2或判定3，有公共角、对顶角或圆中的三角形一般用判定4.

(2)注意面积特殊之处：相似三角形对应线段比、周长比都等于相似比，唯独面积比等于相似比的平方．

(3)注意添加辅助线：为了证明或计算的需要，在已知线段比值的情况下往往过关键点作某一线段的平行线，根据判定1得到三角形相似．

(1)注意位似和相似的关系：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

(2)注意位似中心的位置：位似中心可能在图形外，也可能在图形内或图形上．

(3)注意关于原点的位似：在平面直角坐标系中，一个图形关于原点的位似图形有两个，一个同象限，一个异象限．

考点一　平行线分线段成比例

【典例1】

 (2021·连云港中考)如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF＝3FE，则＝__      __．

　应用平行线分线段成比例解决问题的技巧

(1)若已知条件中有平行线，求两条线段的比，可直接应用平行线分线段成比例定理求解．

(2)若已知条件中无平行线，但告知线段的比，可先通过作平行线创造应用定理的条件．

1．(2020·营口中考)如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为(     )

A．    B．    C．    D．

2．(2020·成都中考)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为(     )

A．2    B．3    C．4    D．

3．(2020·无锡中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为__      __．

考点二　相似三角形的判定与性质

【典例2】(2021·杭州中考)如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG.

(1)求证：△ABG∽△AFC.

(2)已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长(用含a，b的代数式表示).

(3)已知点E在线段AF上(不与点A，点F重合)，点D在线段AE上(不与点A，点E重合)，∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE·GD.

【

【例题变式】

 (变换条件和问法)

(2020·杭州中考)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.

1．判定三角形相似的基本思路

2．相似三角形性质的三个应用

(1)利用相似三角形对应角相等计算角的度数．

(2)利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系，建立方程求出未知线段的长或解决与比例式(等积式)有关的证明问题．

(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求三角形的面积或周长．

1．(2020·铜仁中考)已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(     )

A．3    B．2    C．4    D．5

2．(2021·恩施州中考)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD与正方形网格线的交点，下列结论正确的是(     )

A．CE≠BD    B．△ABC≌△CBD

C．AC＝CD    D．∠ABC＝∠CBD

3．(2020·东营中考)如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E，F分别为PA，PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别记为S，S1，S2.若S＝2，则S1＋S2＝__      __．

4．(2021·盐城中考)如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA·PB.

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若AB＝3PA，求的值．

5．(2020·安顺中考)如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE.

(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；

(2)连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．

考点三　相似三角形的实际应用

【典例3】

 (2020·温州中考)如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2.测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为__      __米，BC为__      __米．

运用相似三角形解决实际问题的一般步骤

1．由实际问题抽象出几何图形．

2．根据几何图形判定得出相似三角形．

3．根据相似三角形的性质得到方程．

4．解方程求出有关线段长度．

5．写出实际问题的答案．

1．(2021·河北中考)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝(     )

A．1 cm　　　B．2 cm　　　C．3 cm　　　D．4 cm

2．(2020·上海中考)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为__      __米．

3.(2020·凉山州中考)如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？

考点四　位似

【典例4】

 (2020·重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为(     )

A．    B．2    C．4    D．2

　(1)注意位似和相似的关系：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．

(2)注意位似中心的位置：位似中心可能在图形外，也可能在图形内或图形上．

(3)注意关于原点的位似：在平面直角坐标系中，一个图形关于原点的位似图形有两个，一个同象限，一个异象限．

1．(2020·河北中考)在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是(     )

A．四边形NPMQ    B．四边形NPMR

C．四边形NHMQ    D．四边形NHMR

2．(2021·嘉兴中考)如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是__      __．

3．(2019·百色中考)如图，△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为__      __．

4.(2020·宁夏中考)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(4，1)，C(1，1).

(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；

(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1∶2的△A2B2C2.

　如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4 cm，BC＝10 cm，求BD的长．

 (变换条件)(2019·宜宾中考)如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝__      __．

　(变换条件和问法)(2020·怀化中考)如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D＝30°.

(1)求证：CD是⊙O的切线．

(2)分别过A，B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E，F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G.求证：CG2＝AE·BF.