备战2022 中考数学 人教版 第十五讲 三角形与多边形练习题

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  第十五讲　三角形与多边形三角形的分类1．三角形按边分可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形三类．(×)2．锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．(√)3．等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形．(√)三角形中的边角关系1．三边关系：两边的和__大于__第三边，两边的差__小于__第三边．2．三角的关系：(1)内角和定理：三角形三个内角的和等于__180°__．(2)三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的__和__．【知识拓展】三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．3．边角关系：在同一个三角形中，等边对__等角__，等角对__等边__，大边对大角，小边对1．三边关系的引申：三角形的任意一条边，总是大于其他两边的差，而小于其他两边的和．2．内角和定理在直角三角形中的应用：已知直角三角形可得两锐角互余，此为性质；已知两锐角互余可得直角三角形，此为判定．3．区分相邻与不相邻：三角形的一个外角和相邻的内角互补，比不相邻的任一内角都大．三角形中的重要线段1．注意位置：三角形的三条中线和三条角平分线都在三角形内部，三条中位线也都在三角形内部，而三角形的三条高并不一定都在三角形内部．2．是否相交：三角形的三条中线、三条角平分线和三条高线(或所在直线)都相交于一点，而三角形的三条中位线不相交于一点．3．概念辨析：①三角形的中线和中位线不同：前者只有一个端点是边的中点，后者两个端点都是边的中点．②三角形的角平分线和角的平分线不同：前者是线段，后者是射线．③三角形的高和边的垂直平分线不同：前者是线段且过顶点，后者是直线不一定过顶点．多边形1．多边形的性质(1)内角和公式：n(n≥3)边形的内角和等于__(n－2)×180°__．(2)外角和定理：n边形的外角和都等于__360°__．(3)对角线：过n边形的一个顶点可以引__(n－3)__条对角线，n边形共有____条对角线．2．正多边形的性质(1)各边__相等__，各内角__相等__，各外角__相等__．(2)正n边形有__n__条对称轴．(3)正n边形(n≥3)的每一个内角为____(从内角和的角度考虑)或180°－(从外角和的角度考虑)，每一个外角为____．(4)对称性：正n边形中，①当n为奇数时，是轴对称图形，但不是中心对称图形；②当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．1．任一多边形内角和都是180°的整数倍．(√)2．正多边形每个顶点处各取一个外角，它们相等．(√)3．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．(×)考点一　三角形的三边关系【典例1】(2020·宿迁中考)在△ABC中，AB＝1，BC＝，下列选项中，可以作为AC长度的是(A)A．2    B．4    C．5    D．6【思路点拨】根据三角形三边关系可得，三角形的任一边大于其他两边的差，而小于其他两边的和，可以得到AC长度的取值范围，从而确定出正确选项．【例题变式】(变换条件和问法)(2020·绍兴中考)长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(B)A．4    B．5    C．6    D．7【思路点拨】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．三角形三边关系的巧用1．判断能否组成三角形：如果较短的两条线段之和大于较长的第三条线段，那么这三条线段能组成一个三角形，否则不能组成一个三角形．2．已知两边求第三边：设三角形的两边长分别为a，b(a＞b)，则第三边长c必须满足条件：a－b＜c＜a＋b，由此便可确定第三边长的范围．3．证明线段不等关系：若是和的大小关系则采用三角形的两边之和大于第三边，若是差的大小关系则采用三角形两边之差小于第三边．1．(2019·淮安中考)下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是(B)A.2 cm，3 cm，4 cm　　 B．1 cm，2 cm，3 cmC．3 cm，4 cm，5 cm     D．4 cm，5 cm，6 cm2．(2021·宜宾中考)若长度分别是a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是(C)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8考点二　三角形的内角和及外角的性质【典例2】(2020·泰州中考)如图，将分别含有30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为__140°__．【思路分析】根据三角形外角性质求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可．1．应用三角形内角和定理求角的度数的三种类型：(1)直接根据两已知角求第三个角；(2)依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；(3)在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．2．应用三角形外角性质的两个技巧：(1)若研究的角比较多，常设法利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，将各个分散的角转化到一个三角形中去．(2)探究角度之间的不等关系，多用三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．1．(2021·湖北中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为(D)A．40°　　　　B．50°　　　　C．60°　　　　D．70°2．(2021·盐城中考)将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为(C)A．45°    B．60°    C．75°    D．105°3．(2020·杭州中考)如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F.若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝__20°__．4．(2020·襄阳中考)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝__40__°.考点三　三角形的四条重要线段【典例3】(2020·烟台中考)如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为(A)A.1.7    B．1.8    C．2.2    D．2.4【思路点拨】由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度．三角形的重心有关的结论：1．重心是三角形三边中线的交点．2．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1. 3．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．1．(2019·泰州中考)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是(A)A．点D    B．点E    C．点F    D．点G2．(2019·永州中考)如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G.设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1∶S2＝____．考点四　多边形的内角和与外角和【典例4】(2020·遂宁中考)已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为__36__度．【思路点拨】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(n－2)＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【例题变式】(变换条件和问法)(2020·烟台中考)已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为__1260°__．【思路点拨】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．　与多边形的角有关的解题方法(1)对于任何多边形，若已知每个内角的度数，求边数，则直接利用多边形内角和公式．(2)对于正多边形，若已知每个外角的度数，求边数，则直接用360°除以外角的度数．(3)对于正多边形，若已知内角与外角的关系求边数，则可先根据内角与相邻外角互补，求出每个内角或外角的度数，然后利用上述(1)或(2)的方法求解，也可先得出内角和与外角和的关系，然后通过列方程求解．1．(2021·北京中考)下列多边形中，内角和最大的是(D)2．(2020·扬州中考)如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为(B)A．100米    B．80米    C．60米    D．40米3．(2021·广安中考)一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．4．(2020·福建中考)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC＝__30__度．人教八年级上册　P8　T6　一个等腰三角形的一边长为6 cm，周长为20 cm，求其他两边的长．【思路点拨】已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形．【自主解答】①底边长为6 cm，则腰长为：(20－6)÷2＝7，所以另两边的长为7 cm，7 cm，能构成三角形；②腰长为6 cm，则底边长为：20－6×2＝8，底边长为8 cm，另一个腰长为6 cm，能构成三角形．因此另两边长为8 cm，6 cm或7 cm，7 cm.答：这个等腰三角形的其它两边的长为8 cm，6 cm或7 cm，7 cm.　(变换问法)(2021·包头自主招生)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为(A)A．2 cm    B．4 cmC．6 cm    D．8 cm　(变换条件和问法)(2020·齐齐哈尔中考)等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是__10或11__．