备战2022 中考数学 人教版 专题二 阅读理解问题

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  专题二　阅读理解问题题型一　新定义问题型【典例1】阅读材料：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a＋bi(a，b为实数)的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：(2＋i)＋(3－4i)＝(2＋3)＋(1－4)i＝5－3i；(3＋i)i＝3i＋i2＝3i－1.②若它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1＋2i的共轭复数为1－2i.(1)填空：i3＝____，i4＝____；(2)求(2＋i)2的共轭复数；(3)已知(a＋i)(b＋i)＝1＋3i，求a2＋b2(i2＋i3＋i4…＋i2 018)的值．【思路点拨】(1)根据i2＝－1，则i3＝i2·i，i4＝i2·i2，然后计算；(2)根据完全平方公式计算，出现i2，化简为－1计算，再根据共轭复数的定义即可求解；(3)把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a，b的值，再代入计算即可求解．【自主解答】(1)∵i2＝－1，∴i3＝i2·i＝－1·i＝－i，i4＝i2·i2＝－1·(－1)＝1；答案：－i　1(2)(2＋i)2＝i2＋4i＋4＝－1＋4i＋4＝3＋4i，故(2＋i)2的共轭复数是3－4i；(3)∵(a＋i)(b＋i)＝ab－1＋(a＋b)i＝1＋3i，∴ab－1＝1，a＋b＝3，解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1.当a＝1，b＝2时，a2＋b2(i2＋i3＋i4…＋i2 018)＝1＋4(－1－i＋1＋i…＋1＋i－1)＝－3；当a＝2，b＝1时，a2＋b2(i2＋i3＋i4…＋i2 018)＝4＋1(－1－i＋1＋i…＋1＋i－1)＝3.故a2＋b2(i2＋i3＋i4…＋i2 018)的值为－3或3.1．常考题型：(1)新定义概念问题．(2)新定义运算问题．2．解决方法：根据给出的新概念或新运算阅读材料，理解新定义的内涵与外延，借助新的方法解决问题，在进行计算时要注意运算顺序．1．在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′).给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(－1，3)的“可控变点”为点(－1，－3).(1)若点(－1，－2)是一次函数y＝x＋3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为__(－1，2)__．(2)若点P在函数y＝－x2＋16(－5≤x≤a)的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是－16≤y′≤16，则实数a的取值范围是__a＝4__．2．定义一种对正整数n的运算“F”：(1)当n为奇数时，结果为3n＋5；(2)当n为偶数时，结果为(其中k是使为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行．例如n＝26时，则―→…，那么，当n＝1 796时，第2 021次“F”运算的结果是多少？【解析】根据题意得，当n＝1 796时，第一次运算，＝449；第二次运算，3n＋5＝3×449＋5＝1352；第三次运算，＝169；第四次运算，3×169＋5＝512；第五次运算，＝1；第六次运算，3×1＋5＝8；第七次运算，＝1；可以看出：从第五次开始，结果就只是1，8两个数轮流出现，且当次为偶数时，结果是8，次数是奇数时，结果是1，而2 021是奇数，因此最后结果是1.题型二　新解题方法型【典例2】阅读下面的材料：如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，(1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数；(2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)＝(x＞0)是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝－＝＝.∵0＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1x2＞0.∴＞0.即f(x1)－f(x2)＞0.∴f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)＝(x＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f(x)＝＋x(x＜0)，f(－1)＝＋(－1)＝0，f(－2)＝＋(－2)＝－.(1)计算：f(－3)＝____，f(－4)＝____；(2)猜想：函数f(x)＝＋x(x＜0)是____函数(填“增”或“减”)；(3)请仿照例题证明你的猜想．【思路点拨】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题；(2)由(1)结论可得；(3)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立．【自主解答】(1)∵f(x)＝＋x(x＜0)，∴f(－3)＝－3＝－，f(－4)＝－4＝－.答案：－　－(2)∵－4＜－3，f(－4)<f(－3)，∴函数f(x)＝＋x(x＜0)是增函数．答案：增(3)设x1＜x2＜0，f(x1)－f(x2)＝＋x1－－x2＝(x1－x2)，∵x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数f(x)＝＋x(x＜0)是增函数．1．常考题型：(1)以例题形式给出新的解题方法．(2)以新知识形式给出新的解题方法．2．解决方法：根据阅读材料中给出的新的解题方法，通过分析、归纳、类比等作出合理推断，体会新方法的实质，然后解决给出的问题．1．式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为，这里的符号“∑”是求和的符号，如“1＋3＋5＋7＋…＋99”即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为(2n－1).通过对以上材料的阅读，请计算：＝____(填写最后的计算结果).2．阅读理解：把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，比如：{3，2}，{－2，0，1，－1}，我们称之为集合，其中大括号内的数称为该集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得－2a＋3也是这个集合的元素，我们把这样的集合称为自闭集合．例如：集合{－2，9，7}，因为－2×(－2)＋3＝7，7恰好是这个集合的元素，所以{－2，9，7}是自闭集合．再如：集合{－1，3}，因为－2×(－1)＋3＝5，而5不是这个集合的元素，且－2×3＋3＝－3，而－3也不是这个集合的元素，所以{－1，3}不是自闭集合．(1)判断：集合______自闭集合；(选填“是”或“不是”)(2)若集合{3，x}和集合{－y}都是自闭集合，求x＋y的值．【解析】(1)－2×＋3＝4，4恰好也是集合的元素，∴是自闭集合．答案：是(2)∵集合{3，x}是自闭集合，∴－2×3＋3＝x或－2x＋3＝3或－2x＋3＝x，解得x＝－3或x＝0或x＝1.∵集合{－y}是自闭集合，∴－2×(－y)＋3＝－y，解得y＝－1.∴当x＝－3，y＝－1时，x＋y＝－4；当x＝0，y＝－1时，x＋y＝－1；当x＝1，y＝－1时，x＋y＝0.故x＋y的值是－4或－1或0.题型三　新公式应用型【典例3】阅读下列两则材料，回答问题：材料一：因为(＋)(－)＝()2－()2＝a－b，所以我们将(＋)与(－)称为一对“有理化因式”，有时我们可以通过构造“有理化因式”求值．例如：已知－＝2，求＋的值．解：(－)×(＋)＝(25－x)－(15－x)＝10，∵－＝2，∴＋＝5.材料二：如图，点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，以AB为斜边作Rt△ABC，则C(x2，y1)，于是AC＝|x1－x2|，BC＝|y1－y2|，所以AB＝，反之，可将代数式的值看作点(x1，y1)到点(x2，y2)的距离．例如＝＝＝，所以可将代数式的值看作点(x，y)到点(1，－1)的距离；(1)利用材料一，解关于x的方程：－＝2，其中x≤2；(2)利用材料二，求代数式＋的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范围．【思路点拨】(1)根据材料一类比计算(－)(＋)的值，利用换元法解方程，可得结论；(2)把根式下的式子转化成平方＋平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间线段最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式．【自主解答】(1)∵(－)(＋)＝14－x－(2－x)＝12，－＝2，∴＋＝12÷2＝6；设＝a，＝b，则解得∴∵x≤2，解得x＝－2；(2)＋＝＋＝＋＝＋.所以可将看作点(x，y)到点(1，6)的距离；可将看作点(x，y)到点(－3，2)的距离；∴当代数式＋取最小值，即点(x，y)与点(1，6)，(－3，2)在同一条直线上，并且点(x，y)位于点(1，6)、(－3，2)之间，∴＋的最小值＝＝4，且－3≤x≤1.设过(x，y)，(1，6)，(－3，2)的直线解析式为：y＝kx＋b，∴解得：∴y＝x＋5(－3≤x≤1).1．常考题型：(1)新数学公式的具体应用．(2)新变换法则的具体应用．2．解决方法：读懂题目提供的新公式或法则，与已学知识相结合，把新定义问题转化为已学知识解决具体问题．1．阅读材料：已知，如图1所示，在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，内切圆O的半径为r.连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S＝S△OBC＋S△OAC＋S△OAB＝BC·r＋AC·r＋AB·r＝(a＋b＋c)r，∴r＝.(1)类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图2所示，各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求四边形的内切圆半径r；(2)理解应用：如图3所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．【解析】(1)连接OA，OB，OC，OD.作出对应四个三角形的高OE，OF，OG，OH.∵S＝S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD＝ar＋br＋cr＋dr＝(a＋b＋c＋d)r，∴r＝.(2)过点D作DE⊥AB于点E，则AE＝(AB－DC)＝×(21－11)＝5.DE＝＝＝12.BE＝AB－AE＝21－5＝16.BD＝＝＝20.∵AB∥DC，∴＝＝.又∵＝＝＝，∴＝.即＝.2．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝______BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为______．猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．【解析】(1)①当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′.∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′.∵∠BAC＝60°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC.答案：②当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为4.理由：∵∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4.答案：4(2)猜想AD＝BC.证明：如图，延长AD至点Q，使得DQ＝DA，连接B′Q，C′Q，则四边形AC′QB′是平行四边形，∴QB′＝AC′，QB′∥AC′，∴∠QB′A＋∠B′AC′＝180°，∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，∴∠QB′A＝∠BAC .又由题意得QB′＝AC′＝AC，AB′＝AB，∴△AQB′≌△BCA，∴AQ＝BC＝2AD，即AD＝BC.