备战2022 中考数学 人教版 微专题五 与中点有关的问题
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微专题五 与中点有关的问题
模型一：遇边的中线求面积，构造“中线等分面积”
模型特点 | 三角形中出现(或多次出现)中线 |
模型示例 | … |
解题思路 及结论 | 如图，AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD ＝S△ABC(△ABD与△ACD是等底同高的 两个三角形) |
1．(2021·安丘模拟)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，BE的中点，若△ABC的面积为12 cm2，则△CEF的面积为( )
A．0.75 cm2 B．1.5 cm2 C．3 cm2 D．6 cm2
2．(2021·东莞模拟)如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是__ __．
模型二：遇边上的中点，构造三角形的中位线
模型 特点 | 多个中点出现或平行 ＋中点(中点在平行线上) | |
模型 示例 | ||
解题 思路 及结 论 | 如图①，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE.则有： DE∥BC，DE＝BC. | 如图②，在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，则有：AE＝EC，DE＝BC. |
如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
模型三：遇直角三角形斜边上的中点，构造斜边上的中线
模型特点 | 在直角三角形中，有斜边上的中点 |
模型 示例 | |
解题思路 及结论 | 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点．作斜边上的中线CD，则有：CD＝AD＝BD＝AB；有时有中点无直角，要寻找直角，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”．此模型作用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换． |
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝( )
A．125° B．145° C．175° D．190°
2．(2021·枣庄模拟)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是__ __ .
模型四：遇等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”
模型 特点 | 在等腰三角形中，底边有中点 |
模型 示例 | |
解题 思路 及结论 | 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边中点， 连接AD.则有：BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC. 这样利用“三线合一”的性质，可用来解决线段相等、 平行问题及角度之间的数量关系． |
(2020·荆门中考)△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝2，D为BC的中点，AE＝AB，则△EBD的面积为( )
A． B． C． D．
模型五：遇边的垂线经过边的中点，构造等腰三角形
模型特点 | 经过线段的中点，出现线段的垂线 |
模型示例 | |
解题思 路及结论 | 如图，若点D是BC中点，DE⊥BC，连接BE，根据垂直平分线的性质可以得到：BE＝CE. |
1. (2020·南京中考)如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝__ __．
2．(2021·徐州质检)如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
(1)求证：DC＝BE；
(2)若∠AEC＝66°，求∠BCE的度数．
模型六：遇边的中点或中线(类中线)，倍长中线构造全等三角形
模型 特点 | 三角形中出现中线或类中线(与中点有关的线段)，要求证明线段间的数量关系 | |
模型 示例 | ||
解题思 路及结 论 | 如图①，在△ABC中，点D为BC的中点，延长AD到点E，使得DE＝AD，连接BE.则有： △ADC≌△EDB. | 如图②，在△ABC中，点D为BC的中点，延长ED到点F，使DF＝ED，连接CF. 则有：△BED≌△CFD. |
1. (2019·临沂中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是__ __．
2．(2020·泰安中考)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°.
(1)如图(1)，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；
(2)如图(2)，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD.
求证：①EB＝DC，
②∠EBG＝∠BFC.
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