备战2022 中考数学 人教版 微专题六 与角平分线有关的问题
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微专题六 与角平分线有关的问题
模型一：过角平分线上一点向角两边作垂线
模型 特点 | 过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段，得到垂线段相等 |
模型 示例 | |
解题思 路及结论 | 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴PB＝PA，∴Rt△AOP≌Rt△BOP. |
1．(2019·湖州中考)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( )
A．24 B．30 C．36 D．42
2．(2021·铜仁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：
步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC，AB于点D，E.
步骤2：分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M.
步骤3：作射线AM交BC于点F.
则AF的长为( )
A．6 B．3 C．4 D．6
模型二：利用角平分线，构造对称图形
模型 特点 | 在角的平分线的两边上截长补短，构造全等三角形 |
模型示例 | |
解题思 路及结 论 | 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA. |
1．(2021·临沂模拟)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，
求证：AB＝AC＋CD.
2．(2021·齐齐哈尔质检)阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C.求证：AB＋BD＝AC.”
李老师给出了如下简要分析：要证AB＋BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：
方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝__ __即可，这就将证明线段和差问题__ __为证明线段相等问题，只要证出△__ __≌△__ __，得出∠B＝∠AED及BD＝__ __，再证出∠__ __＝__ __，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD.只要证AF＝AC即可，此时先证∠__ __＝∠C，再证出△__ __≌△__ __，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
模型三：作角平分线的垂线构造等腰三角形
模型 特点 | 从角一边上的一点作角平分线的垂线，构造等腰三角形，利用“三线合一”解题 |
模型 示例 | |
解题思 路及结 论 | 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，Rt△AOP≌Rt△BOP，△AOB是等腰三角形 |
1. (2021·深圳质检)如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为( )
A．2 B．4
C． D．5
2．(2021·武汉质检)如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE.
模型四：过角平分线上一点作角一边的平行线构造等腰三角形
模型 特点 | 过角平分线上的一点作角一边的平行线， 从而构造等腰三角形 |
模型示例 | |
解题思 路及结论 | 如图， 点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，则△QOP为等腰三角形 |
1．(2021·高邮质检)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3.5，DE＝6，则线段EC的长为( )
A．3 B．4 C．2 D．2.5
2．(2021·广安模拟)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝__ __．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
模型五：两内角平分线交角
模型特点 | 三角形的两内角平分线相交 |
模型示例 | |
解题思 路及结论 | 如图，若点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A |
(2021·巴中模拟)如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB.若∠BOC＝110°，则∠A＝__ __．
模型六：两外角平分线交角
模型特点 | 三角形的两外角平分线相交 |
模型示例 | |
解题思 路及结论 | 如图，若点P是外角∠CBF和∠BCE平分线的交点，则∠P＝90°－∠A |
(2021·江阴质检)如图，AD，CD是△ABC两个外角的角平分线，若∠BAC＝60°，∠BCA＝80°，则∠B＝__ __°，∠D＝__ __°.
模型七：一内角一外角平分线交角
模型 特点 | 三角形的内角平分线与外角平分线相交 |
模型 示例 | |
解题思 路及结论 | 如图，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，则∠P＝ ∠A |
1．(2019·大庆中考)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是( )
A.15° B．30° C．45° D．60°
2．(2021·绍兴模拟)如图，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O重合).
(1)如图1，若∠MON＝90°，∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝__________°；
(2)如图2，若∠MON＝n°，∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；
(3)如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN与∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
(4)如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问：随着点A，B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
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