备战2022 中考数学 人教版 微专题八 对称性质在折叠问题中的应用

微专题八  对称性质在折叠问题中的应用

模型一：平行四边形的折叠

1．(2021·德州德城区质检)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C)

A．66°    B．104°    C．114°    D．124°

2．(2021·宝鸡岐山县模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将

△APF沿PF折叠，得到△A′PF，连接BA′，则△BA′F周长的最小值为__2＋2__．

3．(2021·山西中考)综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．

独立思考：(1)请解答老师提出的问题；

实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．

问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

【解析】(1)结论：EF＝BF.

理由：如图①，作FH∥AD交BE于H.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵FH∥AD，

∴DE∥FH∥CB，

∵DF＝CF，

∴＝＝1，

∴EH＝HB，

∵BE⊥AD，FH∥AD，

∴FH⊥EB，

∴EF＝BF.

(2)结论：AG＝BG.

理由：如图②，连接CC′.

∵△BFC′由△BFC翻折得到，

∴BF⊥CC′，FC＝FC′，

∵DF＝FC，

∴DF＝FC＝FC′，

∴∠CC′D＝90°，

∴CC′⊥GD，

∴DG∥BF，

∵DF∥BG，

∴四边形DFBG是平行四边形，

∴DF＝BG，

∵AB＝CD，DF＝CD，

∴BG＝AB，

∴AG＝GB.

(3)如图③，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T.

∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ，

∴DJ＝＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝2，AB∥CD，

∴AJ＝＝＝2，

∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，

∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，

∴四边形DJBH是矩形，

∴BH＝DJ＝4，

∴A′H＝A′B－BH＝5－4＝1，

∵tan A＝＝＝2，

设AT＝x，则MT＝2x，

∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，

∴MT＝TB＝2x，

∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，

∵tan A＝tan A′＝＝2，

∴NH＝2，

∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，

∴S四边形BHNM＝S△A′BM－S△NHA′＝－×1×2＝.

模型二：矩形的折叠

1．(2021·东营市广饶县模拟)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：

①四边形CFHE是菱形；

②∠DCE＝∠ECH；

③线段BF的取值范围为3≤BF≤5；

④当点H与点A重合时，EF＝2.

其中正确的有________个(B)

A．1    B．2    C．3    D．4

2.(2021·兴安盟模拟)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF∶S△FCE＝__4__．

3．(2021·菏泽中考)在矩形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．

(1)如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；

(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；

(3)当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．

【解析】(1)如图1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，

∴∠PEF＝∠PFE，

∴PE＝PF.

(2)如图2，连接AC交EF于O，连接PM，PO.

∵AE∥CF，

∴∠EAO＝∠FCO，

∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，

∴△AEO≌△CFO(AAS)，

∴OE＝OF，

∵PE＝PF，

∴PO平分∠EPF，

∵AD＝BC，AE＝FC，

∴ED＝BF，

由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，

∴PE－EH＝PF－BF，

∴PB＝PH，

∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，

∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL)，

∴PM平分∠EPF，

∴P，M，O共线，

∵PO⊥EF，OE＝OF，

∴点M在线段EF的垂直平分线上．

(3)如图3，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC.

在Rt△BCD中，tan ∠CBD＝＝，

∴∠CBD＝30°，

∴∠ABO＝∠OAB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，

∴点G运动的路径的长＝＝π.

4．(2020·贵港中考)已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．

(1)如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝________，EF＝________；

(2)如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA.

①求证：四边形MEPF是平行四边形；

②当tan ∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．

【解析】(1)∵将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，

∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，

∵CE2＝BE2＋BC2，

∴(6－BE)2＝BE2＋12，

∴BE＝2，

∴CE＝4，∵cos ∠CEB＝＝，

∴∠CEB＝60°，∴∠AEF＝∠FEC＝60°，

∵AB∥DC，

∴∠AEF＝∠CFE＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF＝CE＝4；

答案：2　4

(2)①∵将矩形ABCD折叠，

∴FG∥EP，

∴∠MFO＝∠PEO，

∵点O是EF的中点，

∴EO＝FO，

又∵∠EOP＝∠FOM，

∴△EOP≌△FOM(AAS)，

∴FM＝PE，

又∵MF∥PE，

∴四边形MEPF是平行四边形；

②如图2，连接AP交EF于H，

∵将矩形ABCD折叠，

∴AE＝EP，∠AEF＝∠PEF，∠G＝∠D＝90°，

AD＝PG＝2，∴EF⊥PA，PH＝AH，

∵四边形MEPF是平行四边形，

∴MO＝OP，

∴MA∥EF，

∴∠MAP＝∠FHP＝90°，

∴∠MAP＝∠DAB＝90°，

∴∠MAD＝∠PAB，

∴tan ∠MAD＝tan ∠PAB＝＝，

∴PB＝AB＝×6＝2，

∵PE2＝BE2＋BP2，

∴(6－BE)2＝BE2＋4，

∴BE＝，

∴PE＝6－BE＝，

∴四边形MEPF的面积＝PE×PG＝×2＝.

模型三：菱形的折叠

1．(2021·沈阳沈河区质检)如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的大小为(D)

A．78°　　　B．75°　　　C．60°　　　D．45°

2．(2021·盐城亭湖区质检)如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上．若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则AF＝__2.1__．

3．(2021·杭州西湖区质检)如图1，菱形纸片ABCD，∠A＝45°.对其进行如下操作：

把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH(如图2)，连接DG，DH.设两条折痕的延长线交于点O.

(1)请在图2中将图形补充完整，并求∠EOF的度数．

(2)四边形DGOH是菱形吗？说明理由．

【解析】(1)如图2，延长EG，FH交于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°，

∴AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，

∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH，

∴AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，

DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C＝∠CDH＝45°，

∵∠EOF＋∠OED＋∠OFD＋∠ADC＝360°，

∴∠EOF＝360°－90°－90°－135°＝45°；

(2)四边形DGOH是菱形．理由如下：

∵∠ADC＝135°，

∠ADG＝∠CDH＝45°，

∴∠GDC＝∠ADH＝90°，

且GE⊥AD，HF⊥CD，∴GE∥DH，GD∥HF，

∴四边形DGOH是平行四边形，

∵AE＝DE＝AD，

DF＝FC＝CD，AD＝CD，

∴DE＝DF，且∠ADG＝∠CDH＝45°，

∠DEG＝∠DFH＝90°，

∴△DEG≌△DFH(ASA)

∴DG＝DH，

∴四边形DGOH是菱形．

模型四：正方形的折叠

1．(2021·绍兴越城区期末)小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数为(B)

A.60°    B．45°    C．22.5°    D．30°

2.(2021·焦作山阳区质检)如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13 cm，则线段CE的长为__7__cm__．

3．(2021·济南槐荫区质检)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF.

(1)求证：△DAG≌△DFG；

(2)求证：BG＝2AG；

(3)求S△BEF的值．

【解析】(1)由折叠可知，DF＝DC＝DA，

∠DFE＝∠C＝90°，

∴∠DFG＝∠A＝90°，

在Rt△ADG和Rt△FDG中，

，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，

(2)∵正方形边长是12，∴BE＝EC＝EF＝6，

设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，

由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，

即：(x＋6)2＝62＋(12－x)2，

解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，

∴BG＝2AG，

(3)如图，过点B作BH⊥GE，垂足为H，

由(2)得，BG＝12－4＝8，BE＝6，GE＝10，

∴BH＝＝＝，

∴S△BEF＝EF×BH＝×6×＝.