备战2022 中考数学 人教版 微专题十三 解直角三角形的实际应用的基本类型
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微专题十三 解直角三角形的实际应用的
基本类型
模型一：背靠背型
模型 特点 | 两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边两侧 |
模型 原型 | 若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键． 【等量关系】CD为公共边，AD＋BD＝AB |
模型 变式 | 【等量关系】如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB. |
1．(2021·大连期末)如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直(点A、点D、点B在同一条直线上)，若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为( )
A． B． C． D．m cos α
2．(2021·泰安模拟)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是__ __海里．
3．(2021·白银中考)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上).
数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°.
问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).
参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
4．(2020·海南中考)为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行
1 500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°.
(1)填空：∠A＝________度，∠B＝________度；
(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米).
(参考数据：≈1.414，≈1.732)
模型二：母子型
模型 特点 | 两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边同侧且共线 |
模型 原型 | 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键． 【等量关系】BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB |
模型 变式 | 模型演变1 【等量关系】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC； 如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE. 模型演变2 【等量关系】如图⑤，BE＋EC＝BC； 如图⑥，EC－BC＝BE； 如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG. 模型演变3 【等量关系】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG； 如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF, AC＋BD＋DF＝AG |
1．(2021·长春期末)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为( )
A． B． C． D．
2．(2020·德阳中考)如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船再航行__ __海里就开始有触礁的危险．
3．(2021·枣庄中考)2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414)
4．(2020·娄底中考)如实景图，早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5 m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4 m，水平面DC长为2 m，斜面BC的坡度为1∶4.求处于同一水平面上引桥底部AB的长．(结果精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
模型三：拥抱型
模型 特点 | 两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边同侧且不共线 |
模型 原型 | 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键． 【等量关系】BC为公共边 |
模型 变式 | 【等量关系】如图①，BF＋FC＋CE＝BE； 如图②，BC＋CE＝BE； 如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE. |
1．(2021·温州模拟)秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为α和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为(忽略两人的身高与手臂长度)________米．( )
A．120tan α＋120tan β B．＋
C．120cos α＋120cos β D．＋
2．(2021·淄博模拟)如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为__ __．
3.(2021·自贡中考)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1，参考数据tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，≈1.73)
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