备战2022 中考数学 人教版 微专题七 六大常考全等模型

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  微专题七　六大常考全等模型模型一：平移模型模型特点有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行模型示例解题思路及结论常要在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．1. (2021·北京质检)如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE.求证：AD＝CE. 【证明】∵C是AB的中点， ∴AC＝CB，∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B.在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.2．(2020·常州中考)已知：如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD.(1)求证：∠E＝∠F；(2)若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【解析】(1)∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD(SAS)，∴∠E＝∠F；(2)∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°－40°－80°＝60°，答：∠E的度数为60°. 模型二：对称模型模型特点此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合．模型示例解题思路及结论解题时先要确定全等三角形的对应顶点(折叠后重合的顶点)；还要注意其隐含条件，即公共边或公共角等．1. (2020·云南中考)如图，已知AD＝BC，BD＝AC.求证：∠ADB＝∠BCA. 【证明】：在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA(SSS)，∴∠ADB＝∠BCA. 2. (2021·台州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．【解析】(1)在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC(SSS)；(2)过点B作BE⊥AC于点E，如图所示，∵∠BCA＝45°，BC＝10，∴sin ∠BCA＝sin 45°＝＝＝，∴BE＝10，又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10，∴∠BAE＝30°，又∵△ABC≌△ADC，∴∠BAD＝∠BAE＋∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°.模型三：旋转模型模型特点此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的．模型示例解题思路及结论在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．注：遇到共顶点，等线段，考虑用旋转．1. (2021·宜宾中考)如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD.求证：△AOB≌△COD. 【证明】∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠AOD＝∠BOD－∠AOD，即∠COD＝∠AOB，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD(SAS).2. (2020·徐州中考)如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F. (1)求证：AE＝BD；(2)求∠AFD的度数．【解析】(1)∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE.∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD；(2)设BC与AE交于点N，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ANC＝90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B＋∠BNF＝∠A＋∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B＋∠BNF＝90°.模型四：对角互补模型模型特点一个四边形有一对互补的对角模型示例解题思路及结论通常从一个角顶点向另一个角的两条边做垂线，构造出两个直角三角形，并且利用互余关系可得到这两个直角三角形的两组锐角分别对应相等． (2021·德州质检)如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＋∠D＝180°，求证：BC＝CD. 【证明】：如图，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E，作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ABC＋∠D＝180°，∴∠D＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴BC＝CD.模型五：一线三等角型(K型)模型特点三个等角的顶点在同一直线上，称一线三等角模型模型示例解题思路及结论解题关键是利用三等角关系找全等三角形所需的角相等条件(如：∠1＝∠2).1．(2021·南京质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B.(1)求证：AB＝CP；(2)若∠BAC＝120°，则∠ADP＝________°.【解析】(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝∠APD＋∠CPD，且∠APD＝∠B，∴∠CPD＝∠BAP，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD(AAS)，∴AB＝CP；(2)∵∠BAC＝120°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB＝AC，AB＝PC，∴PC＝AC，∴∠CAP＝∠APC＝＝75°.由(1)知：△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴∠ADP＝∠CAP＝75°.答案：752．(2020·苏州中考)问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求证：AB＋CD＝BC.问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求的值．【证明】问题1：∵∠B＝∠APD＝90°，∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠DPC＝90°，∴∠BAP＝∠DPC，又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD(AAS)，∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝BP＋PC＝AB＋CD；问题2：如图②，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由问题1可知，EF＝AE＋DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°，∴BE＝AE，CF＝DF，AB＝AE，CD＝DF，∴BC＝BE＋EF＋CF＝2(AE＋DF)，∴＝＝.模型六：半角模型模型特点一个角包含着这个角的半角模型示例解题思路及结论常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明三角形全等．　(2021·安阳质检)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D和点E均在边BC上，且∠DAE＝45°，试猜想BD，DE，EC应满足的数量关系，并写出推理过程．【解析】BD2＋CE2＝DE2，理由是：∵AB＝AC，∴把△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，∴AD＝AG，BD＝CG，∠B＝∠ACG，∠BAD＝∠CAG，∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴∠ECG＝∠ACB＋∠ACG＝∠ACB＋∠B＝45°＋45°＝90°，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠EAG＝∠CAE＋∠CAG＝∠CAE＋∠BAD＝90°－45°＝45°，∴∠DAE＝∠EAG，在△DAE和△GAE中，，∴△DAE≌△GAE(SAS)，∴DE＝EG，在Rt△ECG中，由勾股定理得：EG2＝CE2＋CG2，即BD2＋CE2＝DE2.