教科版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的规律5 自由落体运动学案

这是一份教科版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的规律5 自由落体运动学案，共13页。


一、自由落体运动
1．定义：只在重力作用下，物体由静止开始下落的运动．
2．物体的下落可看作自由落体运动的条件：空气阻力的影响很小而可以忽略的情况下，且下落高度不是很大．
二、伽利略对落体运动规律的探究
1．问题提出
推翻亚里士多德的观点，找出落体运动具体遵循的规律．
2．提出猜想
物体下落的过程是一个速度随时间均匀增大的过程，其速度与时间成正比，即v∝t.
基于v∝t的假设，得出x∝t2的推论．
3．实验验证
让小球从阻力很小、倾角为α的斜槽上滚下，每一个由静止开始滚下的小球到每个相等的时间间隔末，运动的距离之比为1∶4∶9∶16……，证实了x∝t2，即v∝t.
4．合理外推
当斜面的倾角逐渐加大直到90°，小球就成为落体运动，小球的运动仍应当满足下落距离与时间的平方成正比的关系．
三、自由落体运动的规律
1．自由落体运动的性质：自由落体运动是初速度为零，加速度a恒定的匀加速直线运动．
2．速度、位移与时间的关系式：v＝at，x＝eq \f(1,2)at2.
四、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示．
2．方向：竖直向下．
3．大小：
(1)地球上不同的地方，g的大小是不同的．
(2)一般计算中：可以取g＝9.8 m/s2或10 m/s2.
1．判断下列说法的正误．
(1)在空气中自由释放的物体都做自由落体运动．(×)
(2)自由释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动．(√)
(3)自由落体加速度的方向垂直地面向下．(×)
(4)伽利略通过实验的观察与计算，直接得到自由落体运动的规律．(×)
(5)伽利略根据斜面实验结论进行合理的外推，得到自由落体运动的规律．(√)
2．质量为2m的物体A从高h处由静止下落，质量为m的物体B从高eq \f(1,4)h处由静止下落，不计空气阻力，则A、B两物体下落的加速度之比为 ；下落时间之比为tA∶tB＝ ；落地前瞬间的速度之比vA∶vB＝ .
答案 1∶1 2∶1 2∶1
一、伽利略对落体运动规律的研究
伽利略通过对自由落体运动的研究得出了科学的研究方法：
(多选)伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图1所示，可大致表示其实验和思维的过程．对这一过程的分析，下列说法正确的是( )
图1
A．甲图是实验现象，丁图是经过合理的外推得到的结论
B．丁图是实验现象，甲图是经过合理的外推得到的结论
C．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
D．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显
答案 AC
二、自由落体运动与自由落体加速度
导学探究
如图2所示，在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快，在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落快慢相同．
图2
(1)为什么物体下落快慢相同？
(2)空气中的落体运动在什么条件下可看作自由落体运动？
答案 (1)因为没有空气阻力 (2)空气的阻力作用可以忽略
知识深化
1．自由落体运动
(1)自由落体运动是初速度v0＝0、加速度a＝g的匀加速直线运动，是匀变速直线运动的一个特例．
(2)自由落体是一种理想模型，这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力．
(3)运动图像：自由落体运动的v－t图像(如图3)是一条过原点的倾斜直线，斜率k＝g.
图3
2．自由落体加速度(重力加速度)
(1)方向：总是竖直向下，但不一定垂直地面；
(2)大小：①在同一地点，重力加速度都相同．
②地球上纬度不同的地点重力加速度不同，其大小随纬度的增加而增大，赤道上最小，两极处最大，但各处的重力加速度都接近9.8 m/s2，一般计算中，g取9.8 m/s2或10 m/s2.
(多选)下列说法正确的是( )
A．初速度为零、竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B．仅在重力作用下的运动叫作自由落体运动
C．物体只在重力作用下由静止开始下落的运动叫作自由落体运动
D．当空气阻力可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
答案 CD
解析 自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，选项A、B错误，C正确．当空气阻力比较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动，选项D正确．
(多选)关于自由落体加速度，下列说法正确的是( )
A．物体的质量越大，下落时加速度就越大
B．在同一高度同时由静止释放一大一小两个金属球，二者同时着地，说明二者运动的加速度相同，这个加速度就是当地的自由落体加速度
C．北京的自由落体加速度为9.8 m/s2，说明在北京做自由落体运动的物体每经过1 s速度增加9.8 m/s
D．北京和深圳的自由落体加速度方向都竖直向下
答案 BCD
解析 自由落体运动是忽略空气阻力的运动，无论质量大小，下落时加速度都是g，选项A错误；在同一高度释放的金属球受到的空气阻力远小于小球的重力，金属球做自由落体运动，故球运动的加速度为当地自由落体加速度，选项B正确；加速度等于单位时间内速度的变化量，当地自由落体加速度为9.8 m/s2，则物体在该处做自由落体运动的过程中，每秒速度都增加9.8 m/s，选项C正确；地球表面各处的自由落体加速度值大小略有差别，其方向均竖直向下，选项D正确．
三、自由落体运动的规律
1．自由落体运动的基本公式
匀变速直线运动规律eq \(――→,\s\up7(特例))自由落体运动规律
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(vt＝v0＋at,x＝v0t＋\f(1,2)at2,vt2－v02＝2ax))eq \(――→,\s\up7(v0＝0),\s\d5(a＝g))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(vt＝gt,h＝\f(1,2)gt2,v t 2＝2gh))
2．匀变速直线运动的一切推论公式，如平均速度公式、位移差公式、初速度为零的匀加速直线运动的比例式，都适用于自由落体运动．
(2021·永安一中月考)从离地面500 m处自由落下一个小球，不计空气阻力，取g＝
10 m/s2，求：
(1)小球落到地面需要的时间；
(2)开始下落后第1 s内的位移大小和最后1 s内的位移大小；
(3)下落时间为总时间一半时的位移大小．
答案 (1)10 s (2)5 m 95 m (3)125 m
解析 (1)小球做自由落体运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2
可得t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×500,10)) s＝10 s.
(2)第1 s内的位移
h1＝eq \f(1,2)gt12＝eq \f(1,2)×10×12 m＝5 m
前9 s内的位移
h9＝eq \f(1,2)gt92＝eq \f(1,2)×10×92 m＝405 m
最后1 s内的位移
Δh＝h－h9＝500 m－405 m＝95 m.
(3)t′＝eq \f(t,2)＝5 s
位移h5＝eq \f(1,2)gt′2＝eq \f(1,2)×10×52 m＝125 m.
针对训练 (2021·扬州中学月考)一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为1 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5 s内的位移是18 m(未落地)，则( )
A．小球在2 s末的速度是20 m/s
B．小球在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
C．该星球上的重力加速度为5 m/s2
D．小球在前5 s内的位移是50 m
答案 D
解析 小球在第5 s内的位移是18 m，则第5 s内的平均速度v＝18 m/s，B错误；第5 s内的平均速度等于4.5 s时刻的速度，故该星球上，宇航员所在处的重力加速度g0＝＝eq \f(v,t)＝
eq \f(18,4.5) m/s2＝4 m/s2，C错误；小球在2 s末的速度v2＝g0t2＝8 m/s，A错误；小球在前5 s内的位移h＝eq \f(1,2)g0t52＝50 m，D正确.
1．(自由落体运动的理解)(多选)(2020·威海市模拟)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．物体由静止开始下落的运动就是自由落体运动
B．如果物体所受空气阻力比重力小得多，空气阻力可以忽略不计，这时物体由静止开始下落的运动可看作自由落体运动
C．一个棉花团由静止开始下落的运动就是自由落体运动
D．熟透的苹果从树枝上静止下落的运动可视为自由落体运动
答案 BD
2．(伽利略对自由落体运动的研究)(多选)有关伽利略对自由落体运动的研究过程，下列叙述正确的是( )
A．运用逻辑推理，认为重物与轻物下落得同样快
B．猜想落体运动一定是最简单的变速运动
C．通过实验验证，得出自由落体运动的速度与位移成正比的结论
D．通过实验验证，得出自由落体运动的位移与时间的平方成正比的结论
答案 ABD
解析 伽利略根据亚里士多德的论断，假定大的石块下落速度为8 m/s，小石块下落速度为
4 m/s，把它们捆在一起，大石块会被小石块拖着而减慢，所以速度会小于8 m/s，但两石块捆在一起会更重，下落速度应当大于8 m/s，这样得出了相互矛盾的结论，伽利略认为，重物体与轻物体下落一样快，所以运动归谬推理否定了亚里士多德关于重的物体下落快、轻的物体下落慢的错误论断，选项A正确；伽利略提出“自由落体”是一种最简单的直线运动——匀加速直线运动，选项B正确；伽利略为“冲淡”重力，设计用斜面来研究小球在斜面上运动的情况，他将在斜面实验中得出的结论做了合理的外推，从而得到了自由落体运动的位移与时间的平方成正比的结论，选项C错误，D正确．
3．(自由落体运动规律的应用)(多选)一物体从某高度处开始做自由落体运动，从开始到落到地面的平均速度为10 m/s(g取10 m/s2)，则下列说法正确的是( )
A．下落一半高度时的瞬时速度为10 m/s
B．落地瞬间的速度是20 m/s
C．物体下落的高度是20 m
D．第3 s内物体下落25 m
答案 BC
解析 根据平均速度eq \x\t(v)＝eq \f(v0＋v,2)，解得物体落地时的速度v＝2×10 m/s＝20 m/s；根据v2＝2gh，v′2＝2g·eq \f(h,2)得，下落一半高度时的速度v′＝eq \f(\r(2),2)v＝10eq \r(2) m/s，故A错误，B正确．物体下落的高度h＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(202,2×10) m＝20 m，故C正确．物体落地的时间t＝eq \f(v,g)＝eq \f(20,10) s＝2 s，则第3 s内下落的位移为零，故D错误．
4．(自由落体运动规律的应用)如图4所示，一滴雨滴从离地面20 m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用Δt＝0.2 s的时间通过一个窗口，窗口的高度为2 m，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
图4
(1)雨滴落地时的速度大小；
(2)雨滴落地前最后1 s内的位移大小；
(3)屋檐离窗的上边框有多高．
答案 (1)20 m/s (2)15 m (3)4.05 m
解析 (1)设雨滴自由下落的时间为t，根据自由落体运动公式h＝eq \f(1,2)gt2得t＝2 s.
则雨滴落地时的速度v＝gt＝20 m/s.
(2)雨滴在第1 s内的位移为h1＝eq \f(1,2)gt12＝5 m
则雨滴落地前最后1 s内的位移大小为h2＝h－h1＝15 m.
(3)由题意知窗口的高度h3＝2 m，设屋檐距窗的上边框距离为h0，雨滴从屋檐运动到窗的上边框所用时间为t0，则
h0＝eq \f(1,2)gt02.
又h0＋h3＝eq \f(1,2)g(t0＋Δt)2
联立解得h0＝4.05 m.
考点一 伽利略对自由落体运动的研究
1．(多选)伽利略认为自由落体运动是最简单的变速运动，即它的速度是均匀变化的，速度的均匀变化意味着( )
A．速度与时间成正比
B．速度与位移成正比
C．速度与时间的二次方成正比
D．位移与时间的二次方成正比
答案 AD
解析 自由落体为加速度恒定不变的运动，故可知其速度与时间成正比；而位移与时间的二次方成正比．故选A、D.
2．关于伽利略对自由落体运动的研究，下列叙述错误的是( )
A．伽利略认为，如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快
B．伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
C．伽利略采用了斜面实验，“冲淡”了重力的作用，便于运动时间的测量
D．伽利略把实验和逻辑推理和谐地结合起来，从而发展了人类的科学思维方式和科学研究方法
答案 B
考点二 自由落体运动与自由落体加速度
3．下列关于自由落体运动的说法正确的是( )
A．自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动
B．从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动
C．在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动
D．只在重力作用下的运动必定是自由落体运动
答案 A
解析 自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，故A正确；从竖直上升的热气球吊篮中掉下来的物体具有向上的初速度，所以不是自由落体运动，故B错误；在空气中下落的雪花受到的空气阻力不能忽略不计，不是自由落体运动，故C错误；只在重力作用下但初速度不为零的运动不是自由落体运动，故D错误．
4．(多选)关于自由落体运动，下列说法正确的是( )
A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C．自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等
D．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
答案 CD
5．(多选)下列关于重力加速度的说法正确的是( )
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向
B．在地球上的不同地方，g的大小一般是不同的，但差别不大
C．在地球上同一地点，轻石块与重石块做自由落体运动的加速度是相同的
D．纬度越低的地方，重力加速度g值越小
答案 BCD
解析 重力加速度是矢量，方向总是竖直向下．地球上同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度都是相同的，地球上不同地方g的大小一般是不同的，但差别不大，纬度越低的地方，g值越小．故B、C、D正确．
考点三 自由落体运动规律的应用
6．(多选)一小球从空中足够高的地方由静止释放，不计空气阻力(g取10 m/s2)．下列说法正确的是( )
A．第2 s末小球的速度为20 m/s
B．前2 s内小球的平均速度为20 m/s
C．第2 s内小球的位移为10 m
D．前2 s内小球的位移为20 m
答案 AD
解析 小球做自由落体运动，第2 s末小球的速度为v＝gt＝10×2 m/s＝20 m/s，故A正确；前2 s内小球的位移为h2＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)×10×4 m＝20 m，前2 s内小球的平均速度为eq \x\t(v)＝eq \f(h2,t)＝
eq \f(20,2) m/s＝10 m/s，故B错误，D正确；第1 s内小球的位移为h1＝eq \f(1,2)gt12＝eq \f(1,2)×10×12 m＝5 m，故第2 s内小球的位移为Δh＝h2－h1＝20 m－5 m＝15 m，故C错误．
7．(多选)甲、乙两物体，m甲＝2m乙，甲从2H高处自由落下，1 s后乙从H(H>1 m)高处自由落下，不计空气阻力，在两物体落地之前，下列说法正确是( )
A．落地之前同一时刻甲的速度大
B．落地之前同一时刻两物体的速度相同
C．各自下落1 m时，两物体速度相同
D．落地瞬间甲、乙的瞬时速度之比为2∶1
答案 AC
解析 因为甲、乙两物体都做自由落体运动，它们的初速度为零，加速度为g，甲任意时刻的速度为：v＝gt，乙任意时刻的速度v′＝g(t－1)，所以两物体下落过程中，在同一时刻甲的速度大于乙的速度，故A正确，B错误；各自下落1 m时，根据速度位移关系公式有：v2＝2gh，故v＝eq \r(2gh)＝eq \r(2g)，两物体速度相同，C正确；由v＝eq \r(2gh)，可知落地瞬间甲、乙的瞬时速度之比为eq \r(2)∶1，故D错误．
8．(多选)(2020·新泰一中高一上质量检测)为了测出楼房的高度，让一小石块从楼顶自由下落，不计空气阻力，重力加速度已知，测出下列哪个物理量就可以算出楼房的高度( )
A．石块下落到地面的总时间
B．石块落地前的瞬时速度
C．石块落地前最后1 s的位移
D．石块的质量
答案 ABC
解析 根据位移—时间公式x＝eq \f(1,2)gt2，知道下落的总时间，可以求出楼房的高度，故A正确；根据2gx＝v2可知，知道石块落地前的瞬时速度就可以求出楼房的高度，故B正确；设运动时间为t，由落地前最后1 s的位移根据Δx＝xt－xt－1，即eq \f(1,2)gt2－eq \f(1,2)g(t－1 s)2＝Δx，可以算出下落的总时间，由A项分析可知，可以求出楼房的高度，故C正确；已知石块的质量无法求出楼房的高度，故D错误．
9.(多选)(2021·南昌二中高一上期中)如图1所示，竖直方向上的线段AE被分成四段长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE.一物体从A点由静止释放，不计空气阻力，下列结论正确的是( )
图1
A．物体通过每一部分的过程中速度增量相等
B．物体到达各点的速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
C．物体从A点运动到E点的全过程平均速度eq \x\t(v)＝vB
D．物体经过各段的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶3∶5∶7
答案 BC
解析 自由落体运动是匀加速直线运动，故通过相等位移对应的时间不相等，所以物体通过每一部分的过程中速度增量不相等，A错误；由v2＝2gh得vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，B正确；因为hAB∶hBE＝1∶3，且物体做初速度为零的匀变速运动，所以B点对应AE的中间时刻，所以物体从A点运动到E点的全过程平均速度eq \x\t(v)＝vB，C正确；tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3))，D错误．
10．(多选)(2021·长安一中高一上期中)一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底(g＝10 m/s2)，则( )
A．第1个小球落至井底时的速度为50 m/s
B．第1个小球落至井底时的速度为25 m/s
C相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D．第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m
答案 ACD
解析 第1个小球自由下落的时间t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×125,10)) s＝5 s，根据题意，第1个球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此空中有9个球在下落，并存在10个相等的时间间隔Δt，故Δt＝eq \f(t,10)＝0.5 s，根据vt＝eq \r(2gh)，得vt＝50 m/s，第9个小球下落的高度为h9＝eq \f(1,2)×10×(0.5×2)2 m＝5 m，第7个小球下落的高度为h7＝eq \f(1,2)×10×(0.5×4)2 m＝20 m，故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故选A、C、D.
11.(多选)(2020·任丘第一中学高一期末)如图2所示，在一个水平桌面上方有三个金属小球a、b、c，高度分别为h1、h2、h3，且h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后由静止依次释放小球a、b、c，三小球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则( )
图2
A．三小球到达桌面时的速度大小之比是3∶2∶1
B．三小球运动时间之比为eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
C．小球b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D．小球b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差
答案 BC
解析 由v2＝2gh，得v＝eq \r(2gh)，则三小球落到桌面时的速度大小之比v1∶v2∶v3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，A错误；又由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，则三小球运动时间之比t1∶t2∶t3＝eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，B正确；设小球b与a开始下落的时间差为Δt1，小球c与b开始下落的时间差为Δt2，则由B选项的分析可得Δt1∶Δt2＝(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)，比值小于1，因此小球b与a开始下落的时间差小于小球c与b开始下落的时间差，C正确，D错误．
12.(多选)(2020·济宁市期中)小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了如图3中1、2、3、4、5所示的小球在运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度均为d.根据图中的信息，下列判断正确的是( )
图3
A．位置1是小球释放的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为eq \f(d,T2)
D．小球在位置3的速度为eq \f(7d,2T)
答案 BCD
解析 小球做自由落体运动，由静止开始运动的连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7…，而题图中位移之比为2∶3∶4∶5，故位置1不是小球释放的初始位置，选项A错误，B正确．由a＝eq \f(Δx,T2)得a＝eq \f(d,T2)，选项C正确．小球在位置3的速度v3＝eq \f(3d＋4d,2T)＝eq \f(7d,2T)，选项D正确．
13.(2020·奉新一中高一上学期期末)如图4所示，直杆长l1＝0.5 m，圆筒高l2＝3.7 m．直杆位于圆筒正上方H＝0.8 m处．直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取
10 m/s2)，求：
图4
(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间；
(2)直杆穿越圆筒所用的时间．
答案 (1)0.4 s (2)0.6 s
解析 (1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，上端离开圆筒下端的时间为t2，根据自由落体运动规律有
H＝eq \f(1,2)gt12，解得t1＝eq \r(\f(2H,g))＝eq \r(\f(2×0.8,10)) s＝0.4 s.
(2)根据自由落体运动规律有l1＋H＋l2＝eq \f(1,2)gt22，
解得t2＝eq \r(\f(2l1＋H＋l2,g))＝eq \r(\f(2×0.5＋0.8＋3.7,10)) s＝1 s，
则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6 s.
14．跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，当距离地面125 m时打开降落伞，伞张开后运动员就以大小为14.3 m/s2的加速度做匀减速直线运动，到达地面时的速度为5 m/s，取g＝10 m/s2.问：
(1)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？
(2)离开飞机后，运动员经过多长时间才能到达地面？(结果保留三位有效数字)
答案 (1)305 m (2)9.85 s
解析 (1)设运动员自由下落的高度为h1，打开伞前瞬间的速度为v1，有v12＝2gh1
打开降落伞后做匀减速运动时满足：v22－v12＝2ah2
联立解得h1＝180 m，v1＝60 m/s
所以总高度为H＝h1＋h2＝(180＋125) m＝305 m.
(2)设第一过程经过的时间是t1，有h1＝eq \f(1,2)gt12
第二过程经过的时间是t2＝eq \f(v2－v1,a)
所以总时间为t＝t1＋t2≈9.85 s.