人教版 (2019)必修 第二册3 万有引力理论的成就同步练习题

2020-2021学年人教版（2019）必修第二册

7.3万有引力理论的成就 课时作业12（含解析）

1．1930 年美国天文学家汤博发现冥王星，当时错估了冥王星的质量，以为冥王星比地球还大，所以命名 为大行星。然而，现代的观测正在改变我们对行星系统的认识。经过近 30 年对冥王星的进一步观测，发现它的直径只有 2300 公里，比月球还要小。2006 年 8 月 24 日召开的第 26 届国际天文学联合会（IAU）大会上通过决议，冥王星将不再位于“行星”之列，而属于矮行星，并提出了行星的新定义。行星新定义中有一点是行星的质量必须足够大。假如冥王星的轨道是一个圆形，在以下给出的几个条件中能估测出其质量的是（万有引力常量 G 已知）（　　）

A．冥王星围绕太阳运转的周期和轨道半径

B．冥王星围绕太阳运转的线速度和冥王星的半径

C．冥王星的卫星查龙（charon）围绕冥王星做圆周运动的加速度和冥王星的半径

D．冥王星的卫星查龙（charon）围绕冥王星做圆周运动的线速度和轨道半径

2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为（　　）

A．8×1010 kg B．7×1022 kg C．5×1019 kg D．7×1013 kg

3．假设某星球和地球都是球体，该星球的质量是地球质量的2倍，该星球的半径是地球半径的3倍，那么该星球表面的重力加速度与地球表面处的重力加速度之比为（　　）

A．2：9 B．18：1 C．2：3 D．6：1

4．探月工程三期飞行试验器于2014年10月24日2时在中国西昌卫星发射中心发射升空，飞行试验器飞抵距月球6万千米附近进入月球引力影响区，开始月球近旁转向飞行，最终进入距月球表面的圆形工作轨道。设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

A．飞行试验器绕月球运行的周期为

B．在飞行试验器的工作轨道处的重力加速度为

C．飞行试验器在工作轨道上的绕行速度为

D．由题目条件可知月球的平均密度为

5．我们可以采用不同方法“称量”地球。例如，卡文迪许在实验室里通过测量铅球之间的作用力，推算出引力常量G，就可以“称量”地球。已知引力常量G，利用下列数据可以“称量”地球质量的是（　　）

A．月球绕地球做圆周运动的周期和速度

B．月球绕地球做圆周运动的周期和月球的半径

C．地球绕太阳做圆周运动的周期和速度

D．地球绕太阳做圆周运动的周期和地球与太阳的距离

6．已知地球与月球的质量之比及半径之比分别为a、b，则关于近地卫星与近月卫星做匀速圆周运动的下列判断正确的是（　　）

A．周期之比约为

B．加速度之比约为

C．速度之比约为

D．从近地轨道进入到地月转移轨道，卫星必须减速

7．“嫦娥二号”卫星是在绕月极地轨道上运动的，加上月球的自转，卫星能探测到整个月球的表面。卫星CCD相机已对月球背面进行成像探测，并获取了月球部分区域的影像图。假设卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时距月球表面高为H，绕行的周期为TM；月球绕地球公转的周期为TE，半径为R0。地球半径为RE，月球半径为RM。若忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响，则月球与地球质量之比为（　　）

A． B． C． D．

8．假设月球绕地球做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出地球的质量，这两个物理量可以是（　　）

A．月球的线速度和角速度

B．月球的质量和轨道半径

C．月球的运行周期和轨道半径

D．地球的半径和月球表面的重力加速度

9．某行星绕太阳公转的半径为r，公转周期为T，万有引力常量为G，由此可求出（　　）

A．行星的质量 B．太阳的质量

C．行星的线速度 D．太阳的密度

10．已知引力常量G和下列某几组数据，就能计算出地球的质量，这几组数据是（　　）

A．飞船绕月球运行的周期及飞船离月球中心的距离

B．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离

C．月球绕地球运行的周期及月球离地心的距离

D．人造地球卫星的线速度及卫星到地心的距离

11．(1)开普勒第三定律指出：行星绕太阳运动椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式（已知引力常量为G，太阳的质量为）。

(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为，月球绕地球运动的周期为，地球半径取6400km，试估算地球的质量M和密度。（，计算结果均保留一位有效数字）

12．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧测力计一把，C．已知质量为的物体一个，D．天平一台（附砝码一盒）在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道上绕行圈所用时间为，飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行第二次测量，科学家利用上述两次测量数据便可计算出月球的半径和质量。若已知引力常量为。

(1)简述机器人是如何进行第二次测量的；

(2)试利用测量数据（用符号表示）计算月球的半径和质量。

13．如图是我国自主建设的北斗导航系统示意图。2019年9月23日5时10分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第四十七、四十八颗北斗导航卫星，向实现全球组网又迈出了坚实的一步。北斗卫星导航系统由不同轨道卫星构成，如图所示，1为赤道；2为近地卫星轨道，在该轨道上运行的卫星，绕行半径可近似为地球半径R；3为赤道上空的地球静止同步卫星轨道，在该轨道上运行的卫星，绕行半径为r；4为轨道平面与赤道平面有一定夹角的倾斜地球同步轨道，在该轨道上卫星运行周期与地球自转周期相同。将各轨道看作圆形轨道。

(1)求静置于赤道上的物体与轨道3上的卫星的向心加速度大小之比；

(2)求轨道3上的卫星与轨道4上的卫星的绕行半径之比；

(3)请判断静置于赤道上的物体与轨道2上的卫星谁的绕行线速度更大，并说明理由。

14．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入。

（1）若已知地球半径为，地球表面的重力加速度为，月球绕地球运动的周期为，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径。

（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为的某处以速度水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为。已知月球半径为，引力常量为，试求出月球的质量。

15．木星是绕太阳公转的行星之一，而木星的周围又有卫星绕木星公转，万有引边常量为G．

(1)如果要通过观测求得木星的质量，需要测量哪些量？试推导用这些量表示的木星质量的计算式；

(2)已知木星的半径为R，测得木星的质量为M，求木星的第一宇宙速度．

16．经过逾6 个月的飞行，质量为40kg的洞察号火星探测器终于在北京时间2018 年11 月27 日03：56在火星安全着陆．着陆器到达距火星表面高度800m时速度为60m/s，在着陆器底部的火箭助推器作用下开始做匀减速直线运动；当高度下降到距火星表面100m时速度减为10m/s．该过程探测器沿竖直方向运动，不计探测器质量的变化及火星表面的大气阻力，已知火星的质量和半径分别为地球的十分之一和二分之一，地球表面的重力加速度为g = 10m/s2．求：

(1)火星表面重力加速度的大小；

(2)火箭助推器对洞察号作用力的大小.

17．2014年10月8日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图所示．已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为，引力常量为G．试求月球的第一宇宙速度v1和“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h．

18．半径R=4500km的某星球上有一倾角为30o的固定斜面，一质量为1kg的小物块在力F作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F始终与斜面平行．如果物块和斜面间的摩擦因数，力F随时间变化的规律如图所示（取沿斜面向上方向为正），2s末物块速度恰好又为0，引力常量．试求：

（1）该星球的质量大约是多少？

（2）要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？（计算结果均保留二位有效数字）

参考答案

1．D

【详解】

AB．研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：

其中r为卫星的轨道半径，T为卫星的公转周期。M为行星的质量也就是中心体的质量。所以已知冥王星围绕太阳运转的周期和轨道半径可求解太阳的质量；已知冥王星围绕太阳运转的线速度和冥王星的半径也不能求解冥王星的质量，故AB错误。
CD．冥王星的卫星查龙（charon）围绕冥王星做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式

可得

则已知冥王星的卫星查龙（charon）围绕冥王星做圆周运动的加速度a和冥王星的半径不可求解冥王星的质量；已知冥王星的卫星查龙（charon）围绕冥王星做圆周运动的线速度v和轨道半径r′可求解冥王星的质量；选项C错误，D正确；

故选D。

2．B

【详解】

由

得

又r＝R月＋h=1940km，T=127min=7620s，代入数据得月球质量

M≈7×1022 kg

故选B。

3．A

【详解】

不考虑星球自转，万有引力等于重力

解得

则

A正确，BCD错误。

故选A。

4．B

【详解】

ABC．飞行试验器绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力

再结合黄金代换式

得飞行试验器绕月球运行的周期、加速度和线速度分别为

，，

AC错误，B正确；

D．由黄金代换式、月球的体积公式和密度公式

，，

可求得月球的平均密度为

D错误。

故选B。

5．A

【详解】

A．根据月球绕地球做圆周运动的周期和速度由可求解月球到地球的距离r，根据可求解地球的质量，选项A正确；

B．根据，则已知月球绕地球做圆周运动的周期T和月球的半径R不能求解地球的质量，选项B错误；

C．已知地球绕太阳做圆周运动的周期和速度由可求解地球到太阳的距离r，根据可求解太阳的质量，选项C错误；

D．根据，已知地球绕太阳做圆周运动的周期和地球与太阳的距离，可求解太阳的质量，选项D错误。

故选A。

6．A

【详解】

A．根据

解得

可得

故A正确；

B．根据

解得

可知

故B错误；

C．根据

解得

可知

故C错误；

D．从近地轨道进入到地月转移轨道，要做离心运动，所以要加速，故D错误。

故选A。

7．C

【详解】

由牛顿第二定律得

万有引力定律公式为

月球绕地公转时由万有引力提供向心力，故有

同理，探月卫星绕月运动时有

联立解得

故ABD错误，C正确。

故选C。

8．AC

【详解】

月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。

A．已知月球的线速度和角速度，则轨道半径为，根据

即可求出地球的质量，故A正确；

B．根据可知，月球的质量可以约去，只知道轨道半径不能求出地球的质量，故B错误；

C．根据可知，由月球的运行周期和轨道半径可以求出地球的质量，故C正确；

D．由可知，由地球的半径R和地球表面的重力加速度可以求出地球的质量，而不是月球表面的重力加速度，故D错误。

故选AC。

9．BC

【详解】

A．根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量，故A错误；

B．研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式

得

故B正确；

C．根据可求解行星的线速度，选项C正确；

D．不知道太阳的体积，所以不能求出太阳的密度．故D错误．

故选BC．

10．CD

【详解】

根据

解得

则已知行星（或卫星）的周期T和半径r可计算中心天体的质量M。

A．已知飞船绕月球运行的周期及飞船离月球中心的距离可计算月球的质量，选项A错误；

B．已知地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离可计算太阳的质量，选项B错误；

C．已知月球绕地球运行的周期及月球离地心的距离可计算地球的质量，选项C正确；

D．由

可得

可知，已知人造地球卫星的线速度及卫星到地心的距离可计算地球的质量，选项D正确。

故选CD。

11．(1)；(2)；。

【详解】

(1)根据牛顿第二定律

又根据开普勒第三定律

由上两式得

(2)对地月系统

得

地球的密度

12．(1)见解析；(2)；

【详解】

(1)机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小。

(2)飞船在靠近月球表面的圆形轨道上绕行时有

在月球表面第二次测量时有

又

联立解得

，

13．(1)(2)(3)轨道2上的线速度更大

【详解】

(1)由

解得

(2)由万有引力公式

得

由于轨道3和轨道4上卫星的运行周期相同，因而轨道半径比为1∶1

(3)轨道2上的卫星绕行线速度更大，由

得静置于赤道上物体的线速度小于轨道3上卫星的线速度。又

解得

因此轨道3上卫星线速度小于轨道2上卫星线速度。因此轨道2上的卫星绕行线速度更大。

14．（1）  （2）

【详解】

(1)设地球质量为M，根据万有引力定律及向心力公式得：

万有引力等于重力：

联立解得：

(2)设月球表面处的重力加速度为，小球飞行时间为

根据题意得：

下落高度：

万有引力等于重力：

联立解得：

15．(1) 需要测木星的卫星绕木星公转的轨道半径r和周期T，  (2)

【详解】

(1)需要测木星的卫星绕木星公转的轨道半径r和周期T

对木星的卫星，根据万有引力提供向心力得：

解得：

M

(2)对木星的近地卫星，根据万有引力提供向心力得：

m()2R

解得：

v

16．(1)   (2)F=260N

【分析】

火星表面或地球表面的万有引力等于重力，列式可求解火星表面的重力加速度；根据运动公式求解下落的加速度，然后根据牛顿第二定律求解火箭助推器对洞察号作用力.

【详解】

（1）设火星表面的重力加速度为g火，则

解得g火=0.4g=4m/s2

（2）着陆下降的高度：h=h1-h2=700m，设该过程的加速度为a，则v22-v12=2ah

由牛顿第二定律：mg火-F=ma

解得F=260N

17．；

【解析】

【详解】

（1）设月球的质量为M，月球表面处引力等于重力，G＝mg月
第一宇宙速度为近月卫星运行速度，由万有引力提供向心力
得
所以月球第一宇宙速度
（2）卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力
得

卫星周期T＝t/n

轨道半径r=R+h
解得

【点睛】

本题要掌握万有引力提供向心力和重力等于万有引力这两个重要的关系，要能够根据题意选择恰当的向心力的表达式．

18．（1）    （2）6.0km/s

【解析】

【详解】

（1）假设星球表面的重力加速度为g，小物块在力F1=20N作用过程中，有：F1-mgsinθ-μmgcosθ=ma1

小物块在力F2=-4N作用过程中，有：F2+mgsinθ+μmgcosθ=ma2

且有1s末速度v=a1t1=a2t2

联立解得：g=8m/s2．

由G=mg

解得M=gR2/G．代入数据得M=2.4×1024kg

（2）要使抛出的物体不再落回到星球，物体的最小速度v1要满足mg=m

解得v1==6.0×103ms=6.0km/s

即要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要6.0km/s的速度．

【点睛】

本题是万有引力定律与牛顿定律的综合应用，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；第二题，由重力或万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．