2021年浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年浙江省杭州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.如图， 内接于 ，假设 ，那么 的度数是〔   〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
2.将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是〔   〕
A.             B.             C.             D. 
3.⊙O的半径为2，点P在⊙O内，那么OP的长可能是〔   〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
4.以下是有关圆的一些结论，其中正确的选项是〔   〕
A. 任意三点可以确定一个圆                                    B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦                                       D. 圆内接四边形对角互补
5.四点 ， ， ， ，假设一个二次函数的图象经过这四点中的三点，那么这个二次函数图象的对称轴为〔   〕
A.                                B.                                C.                                D. 
6.如图，在⊙O中，∠AOC=140°，∠ACB=50°，那么∠BAC的度数为〔   〕

A. 20°                                       B. 30°                                       C. 40°                                       D. 50°
7.在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，假设随机摸出一个蓝球的概率为 ，那么随机摸出一个红球的概率为〔   〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
8.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为〔   〕
A. 1： ：                        B. ： ：1                       C. 3：2：1                       D. 1：2：3
9.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，那么PA+PB的最小值为〔   〕


A.                                         B. 1                                        C. 2                                        D. 2
10.点P在函数 图象上，点P关于x轴的对称点在函数 的图象上，那么实数a的取值范围是〔   〕.
A.                         B.                         C.                         D. 
二、填空题
11.小明用0﹣9中的数字给 设置了六位开机密码，但他把最后一位数字忘记了，小明只输入一次密码就能翻开 的概率是________.
12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.假设AB＝10，AE＝1，那么弦CD的长是________.

13.如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，且 ，假设∠BEC=130°，那么∠ACD的度数为________

14.假设一条弦分圆为1：4两局部，那么这条弦所对的圆周角的度数是________.
15.如图，抛物线 与x轴相交于 两点，其中 ，当 时，y________0〔填“>〞“=〞或“<〞号〕.

16.如图， 内接于半径为 的半圆，AB为直径，点M是弧AC的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝________°，当点D恰好为BM的中点时，BM的长为________.

三、解答题
17.假设二次函数 的x与y的局部对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
4
y
0
3
4
3
0
-5
〔1〕求这个二次函数的表达式；
〔2〕当x=﹣2时，y的值.
18.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求以下事件的概率.
〔1〕两次取出的小球的标号相同；
〔2〕两次取出的小球标号的和等于6.
19.如图，在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，点 ，以点C为中心，把 逆时针旋转 后得到 .

〔1〕写出点 、 的坐标，并画出旋转后的图形 ；
〔2〕求点A经过的路径弧 的长〔结果保存 〕.
20.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E ， 连接AD ， BC ， CO

〔1〕当∠BCO＝25°时，求∠A的度数；
〔2〕假设CD＝4 ，BE＝4，求⊙O的半径．
21.如图，斜坡 长10米，按图中的直角坐标系可用 表示，点A，B分别在x轴和y轴上.在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛线可用 表示.

〔1〕求抛物线的表达式及顶点坐标；
〔2〕在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？
22.如图，以 的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB.

〔1〕求证： ；
〔2〕设∠ABD＝α，∠C＝β.用含β的代数式表示α；
〔3〕假设AB＝10，BC＝12，求弦BD的长.
23.抛物线 与直线 .
〔1〕求证：两个函数图象必有交点；
〔2〕当抛物线 的顶点落在直线 上时，求a的值；
〔3〕当 时， ，求a的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ACB=
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出结论.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线y=2x2的顶点坐标为〔0，0〕，
∴抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为〔1，3〕，
∴平移后抛物线的解析式为y=2〔x-1〕2+3.
故答案为：C.
【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=2x2的顶点坐标为〔0，0〕，那么抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标为〔1，3〕，然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵点P在 ⊙O内， ∴OP 故答案为：A.

【分析】当点P在圆内时，OPr，据此分析求解即可.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A. 不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，缺少条件，故本选项错误；
B. 在同圆或等圆中 ， 相等的圆心角所对的弧相等，缺少条件，故本选项错误；
C. 平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，缺少条件，故本选项错误；   
D. 圆内接四边形对角互补，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据确定圆的条件、圆的根本性质、垂径定理的推论和圆内接四边形的性质逐一判断即可.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵点 和点 都在y轴上，而二次函数图象与y轴只有一个交点
∴点A和点D中只有一个点在二次函数图象上
∴点B和点C都在二次函数图象上
∵ 和 的纵坐标相等
∴点B和点C关于二次函数图象的对称轴对称
∴该二次函数图象的对称轴为x=
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象与y轴只有一个交点，故点A和点D中只有一个点在二次函数图象上，那么点B和点C必在二次函数图象上，再根据点B和点C的纵坐标相等，即可得出点B和点C关于二次函数图象的对称轴对称，从而求出结论.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴ .
故答案为：A.
【分析】根据圆周角定理可得， 从而求出， 再次利用圆周角定理可得.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，
随机摸出一个蓝球的概率是 ，
设红球有x个，
∴ ，
解得：x=3
∴随机摸出一个红球的概率是： .
故答案为：C.
【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是 ，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：设圆的半径是r，
那么多边形的半径是r，
那么内接正三角形的边长是2rsin60°= r，
内接正方形的边长是2rsin45°= r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ： ：1．
应选B．
【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，

那么AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON= ∠AON= ×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′= OA= ×1= ，
即PA+PB的最小值= ．
应选：A．

【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题可得AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AON=60°，然后求出∠BON=30°，再根据对称性可得∠B′ON=∠BON=30°，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AB′= OA，即为PA+PB的最小值．
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：设点P的坐标为〔 〕
那么点P关于x轴的对称点坐标为〔 〕
∵点P关于x轴的对称点在函数 的图象上，
∴
整理，得 ，其中1＞0
∴a是x的二次函数，且该函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1
∵
∴当x=1时，a最小，最小值为-2；当x=0时，a=-1；当x=3时，a=2，
∴a的最大值为2
∴
故答案为：C.
【分析】设点P的坐标为〔 〕，求出点P关于x轴的对称点坐标，将其代入一次函数解析式中即可求出a与x的函数关系式，利用二次函数的图象及性质求a的最值即可.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：随意拨动最后一位号码正好开锁的概率是： 。
故答案为： 。
【分析】根据题意， 密码的最后一位数字有10种等可能的结果，其中正确的只有一种，根据概率公式即可算出答案。
12.【答案】 6
【解析】【解答】解：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°，
∵AB＝10，AE＝1，
∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4，
在Rt△COE中，CE＝ ＝3，
∴CD＝2CE＝6，
故答案为：6.
【分析】连接OC，利用垂径定理可得CD＝2CE，∠OEC＝90°，在Rt△COE中，利用勾股定理求出CE＝ ＝3，从而求出CD的长.
13.【答案】 105°
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠BCA＝∠CBD＝∠CDB，
∵∠BEC＝130°，
∴∠BCA＝∠CBD＝25°，∠CED＝50°，
∴∠CDB＝25°，
∴∠ACD＝180°﹣50°﹣25°＝105°.
故答案为：105°.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠BCA＝∠CBD＝∠CDB，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED，再在△CDE中利用三角形的内角和求解即可.
14.【答案】 36°或144°
【解析】【解答】解：连接OA、OB，

∵一条弦AB把圆分成1：4两局部，如图，
∴弧AC′B的度数是 ×360°=72°，弧ACB的度数是360°﹣72°=288°，
∴∠AOB=72°，
∴∠ACB= ∠AOB=36°，
∴∠AC′B=180°﹣36°=144°，
故答案为：36°或144°.
【分析】根据题意画出图形，得出这条弦所对的圆周角有两个，求出两段弧的度数，即可求出答案.
15.【答案】 <
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2x+k〔k＜0〕的对称轴方程是x=1，
又∵x1＜0，
∴x1与对称轴x=1的距离大于1，
∴1-x1＞1，
∴x2-1＞1，
∴1-x1+x2-1＞2，
即x1＜x2-2，
∴当x= x2-2时，抛物线图象在x轴下方，
即y＜0.
故答案是：＜.
【分析】根据抛物线方程求出对称轴方程x=1，然后根据二次函数的图象的对称性知x1与对称轴x=1的距离大于1，可推出x1＜x2-2，所以当x=x2-2时，抛物线图象在x轴下方，即y＜0.
16.【答案】 ；
【解析】【解答】解：〔1〕∵ 是直径
∴
∴
∵点 是弧 的中点
∴
∴
∵ 平分
∴
∴
∴ .
〔 2 〕连接 ，如图：

∵ 是直径
∴
∵
∴
∵点D为 的中点
∴
∴
∴设 ，那么
∵半圆的半径为
∴
∵在 中，
∴
∴ ， 〔不合题意舍去〕
∴
∴ .
故答案为：135，.
【分析】〔1〕根据直径所对的圆周角是 可得到 ，再根据弧的中点定义、同弧所对的圆周角相等、角平分线定义可推导出 ，最后有三角形的内角和定理即可求得答案；
〔2〕在〔1〕的根底上，结合条件添加辅助线“连接 〞，从而构造出等腰 ，利用勾股定理解 即可求得答案.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：把〔﹣1，0〕、〔0，3〕、〔1，4〕代入 ，得
，解得： ，
∴这个二次函数的解析式是 ；

〔2〕解：把x=﹣2代入 ，得 .
【解析】【分析】〔1〕从表格中选取三对数值，然后根据待定系数法求解即可；
〔2〕把x=﹣2代入〔1〕题中的解析式计算即可.
18.【答案】 〔1〕解：
 
1
2
3
4
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
总共有16种可能，其中4种两次取的小球标号一样，
∴P= ；

〔2〕解：有三种情况：2+4=6，3+3=6，4+2=6，
∴P = .
【解析】【分析】〔1〕列出表格展示所有可能的结果，再找到相同小球的情况数，利用概率公式，即可求解；
〔2〕找出两次取出的小球标号的和等于6的情况数，再利用概率公式，即可求解.
19.【答案】 〔1〕解：将点A、B绕点C逆时针旋转 得到 ，然后顺次连接，如下列图 即为所求，点 的坐标为〔-4,2〕，点 的坐标为〔-1,3〕；


〔2〕解：根据勾股定理可得：CA=
∴点A经过的路径弧 的长为：
【解析】【分析】〔1〕将点A、B绕点C逆时针旋转 得到 ，然后顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系即可写出点 、 的坐标；
〔2〕利用勾股定理求出CA的长，然后根据弧长公式计算即可.
20.【答案】 〔1〕解：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠BCO＝25°，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ADE中，∠A＝90°﹣∠D＝90°﹣25°＝65°

〔2〕解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝ CD＝ ，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2 ，
设⊙O的半径为r，那么OC＝r，OE＝BE﹣BO＝4﹣r，
∴ ，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3
【解析】【分析】〔1〕利用圆周角定理即可求解；〔2〕利用垂径定理求出CE的长，设⊙O的半径为r ， 那么OC＝r ， OE＝BE﹣BO＝4﹣r ， 根据勾股定理即可列出方程求出r.
21.【答案】 〔1〕解：令x=0，得y=5，所以B〔0，5〕，
令y=0，得x=5 ，所以A〔5 ，0〕，
将A〔0，5〕、B〔5 ，0〕代入y=- x2+bx+c得，
c=5，-25+5 b+5=0，解得b= ，
所以抛物线的表达式为y=- x2+ x+5.
y=- 〔x-2 〕2+9，所以顶点坐标为〔2 ，9〕.
∴抛物线的表达式为y=- x2+ x+5.
顶点坐标为〔2 ，9〕；

〔2〕解：∵AB=10，OB=5，
∴∠OAB=30°，
∵AC=2，
∴所以C点纵坐标为1，
∴C点的横坐标为4 ，
所以当x=4 时，y=5，
所以1+3.5=4.5＜5，
所以水柱能越过这棵树.
即在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能越过这棵树.
【解析】【分析】〔1〕根据直线与坐标轴交点坐标的特点，求出点A,B的坐标，然后将点A,B的坐标分别代入抛物线的解析式得出关于,b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而即可得出抛物线的解析式，将抛物线的解析式配成顶点式即可得出其顶点坐标；
〔2〕首先找出点C的坐标，然后将其横坐标代入抛物线的解析式算出对应的纵坐标，进而与这棵树的顶端与x轴的直线的距离比大小即可解决问题.
22.【答案】 〔1〕证明：∵AB为直径，OE为半径，
∴∠AEB=90°，OE= AB，
∴∠AEC=180°-∠AEB=90°，
∴∠C+∠CAE=90°， ∠ABE+∠BAE=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠C=∠ABE，
∴ AB=AC，
∴OE= AC ；

〔2〕解：由〔1〕可知:∠C=∠ABE=β，
∴∠CAB=180°-∠C-∠ABE=180°-2β，
∵ AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CAB+∠ABD=90°，
即180°-2β + α=90°，
 α=2β-90°；

〔3〕解：设OE与BD交于点F，

∵AB=10，
∴OB=OE= AB=5，
∵AB=AC，AE平分∠CAB，
∴BE=CE= BC=6， 即点E为BC的中点，
∵∠BDC= 180°-∠ADB=90°，
∴在Rt△BDC中，DE=BE=6，
∴点E在BD的中垂线上，
∵点O在BD的中垂线上，
∴OE垂直平分BD，BD=2BF，
设OF=x，EF=OE-OF=5-x，
根据勾股定理可得: OB2-OF2=BF2=BE2-EF2 ，
即52-x2= 62-〔5-x〕2 ，
解得：x= ，
即OF=  ，
∴BF= = ，
 即BD=2BF= .
【解析】【分析】〔1〕根据直径所对的圆周角是直角和半径、直径的关系可得∠AEB=90°，OE= AB，再根据等角对等边证出AB=AC，即可证出结论；
〔2〕根据三角形的内角和定理求出∠CAB，然后根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
〔3〕设OE与BD交于点F，根据直径的长求出OB和OE，然后根据三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出DE=BE=6，从而证出OE垂直平分BD，BD=2BF，然后设OF=x，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出结论.
23.【答案】 〔1〕证明：联立
整理，得
△=
∴ 有实根
∴两个函数图象必有交点；

〔2〕解：抛物线 的顶点坐标的横坐标为x=
∵抛物线 的顶点落在直线 上
把x=1代入 中，解得：
∴抛物线的顶点坐标为〔1,2〕
将〔1,2〕代入 中，得

解得：a=-1

〔3〕解：当x=2时， ；
当x=-4时，
当a＞0时，
∵
∴
解得：
当a= 时，易知抛物线与一次函数的交点为〔-4,7〕，〔2,1〕
此时也满足当 时， ；
此时 ；
当a＜0时，且两个函数图象只有1个交点时
△=
解得： ，如下列图，此时符合题意；

如下列图，当开口变大时，也符合题意
∴此时
综上所述：a的取值范围为： 或 .
【解析】【分析】〔1〕将解析式联立方程，即可得到关于x的一元二次方程，再求出△的符号即可证出结论；〔2〕根据对称轴公式求出抛物线顶点坐标的横坐标，然后代入一次函数的解析式中即可求出顶点坐标的纵坐标，再把顶点坐标代入二次函数解析式中即可得出结论；
〔3〕分别求出当x=2和当x=-4时， 的值，然后根据a的符号分类讨论，分别求出每种情况下a的取值范围，从而得出结论.