2021年山西省吕梁市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年山西省吕梁市九年级上学期数学期中试卷含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下方程是一元二次方程的是〔    〕
A.                B.                C.                D. 
2.以下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
3.用配方法解方程 ，变形后的结果正确的选项是(   )

4.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是〔    〕
A.            B.            C.            D. 
5.三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60=0一个实数根，那么该三角形的面积是〔   〕
A. 24                                    B. 48                                    C. 24或8                                     D. 8
6.如图，把一个直角三角板△ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，那么∠BDC的度数为〔    〕

A. 15°                                       B. 20°                                       C. 25°                                       D. 30°
7.将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为〔   〕
A.               B.               C.               D. 
8.如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余局部进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为x米，那么可列方程为(    )〔注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形〕

A.                         B. 
C.                                   D. 
9.如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点坐标为〔-1，0〕，与 轴交点为〔0，3〕，其局部图象如下列图，那么以下结论错误的选项是〔    〕
① ；②当 时， 随 的增大而减小；③当 时， ；④关于 的方程 有两个相等的实数根

A. ①③                                    B. ②④                                    C. ③④                                    D. ①②④
10.如图，AB是⊙O的直径，AB=AC且∠BAC=45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF与⊙O相切，OD与BE相交于点H．以下结论错误的选项是〔    〕

A. BD=CD                      B. 四边形DHEF为矩形                      C.                       D. BC=2CE
二、填空题
11.电影?我和我的家乡?首映当日票房突破2.5亿元，两天后票房到达3.6亿元，那么平均每天票房的增长率为________．
12.假设关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 满足________．
13.如图，二次函数 与一次函数 的图象交于点A〔-2，4〕，B〔8，2〕，那么能使 成立的自变量 的取值范围为 ________ ．

14.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在弧BC上〔不与点B，C重合〕，连接BE，CE．假设∠D=40°，那么∠BEC=________度．

15.如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3 ，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，那么线段BE的长度为________．

三、解答题
16.解以下方程
〔1〕
〔2〕
17.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A〔1，1〕，B〔4，2〕，C〔3，4〕.

〔1〕请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1
〔2〕请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
〔3〕在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.
18.如图，矩形ABCD中，AD=3，对角线AC，BD的长是一元二次方程 的两个实数根．

〔1〕求m的值；
〔2〕求矩形ABCD的面积．
19.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ， 宽是4m ． 按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝ 表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m ， 到地面OA的距离为 m ．

〔1〕求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
〔2〕一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ， 宽为4m ， 如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否平安通过？
20.某商店经销一种双肩包，这种双肩包的本钱价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y〔单位:个〕与销售单价x〔单位:元〕有如下关系：y=－x+60〔30≤x≤60〕．设这种双肩包每天的销售利润为w元．

〔1〕求w与x之间的函数解析式；

〔2〕这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
〔3〕如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

21.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆切AB于点D，交BC于点E，交AC于点F，连接CD．

〔1〕假设∠ADC=60°，求证：∠B=∠ACD；
〔2〕在〔1〕的根底上，假设AC=3，求弓形CF的面积．
22.实践与探究
：△ABC和△DOE都是等腰三角形，∠CAB=∠DOE=90°，点O是BC的中点，发现结论：

〔1〕如图1，当OE经过点A，OD经过点C时，线段AE和CD的数量关系是________，位置关系是________．
〔2〕在图1的根底上，将△DOE绕点O顺时针旋转 〔 〕得到图2，那么问题〔1〕中的结论是否成立？请说明理由．
〔3〕如图3在〔2〕的根底上，当AE=CE时，请求出 的度数．
〔4〕在〔2〕的根底上，△DOE在旋转的过程中设AC与OE相交于点F，当△OFC为等腰三角形时，请直接写出 的度数．
23.如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与y轴交于点C〔0，4〕，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为〔﹣2，0〕，抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕假设点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，假设存在，求出点F的坐标和最大值；假设不存在，请说明理由；
〔3〕平行于DE的一条动直线l与直线BC相较于点P，与抛物线相交于点Q，假设以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3.【答案】 D
【解析】【解答】解： ，
，
，
所以 。
故答案为：D。
【分析】将常数项移到方程的右边，左右两边同时加上一次项系数一半的平方16，左边凑成一个完全平方式利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：A.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下.故不符合题意；
B.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ ＞0.故符合题意；
C.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ ＞0，和x轴的正半轴相交.故不符合题意；
D.由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上.故不符合题意.
故答案为：B.

【分析】先根据一次函数的图像判断a的符号，再判断二次函数的图像与实际是否相符合即可判断求解。
5.【答案】 C
【解析】【解答】x2-16x+60=0〔x-6〕〔x-10〕=0，
∴x=6或x=10．
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．
∴高h= ，
∴三角形的面积是8× ÷2= ，
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．
∴三角形的面积是6×8÷2=24，∴S=24或 .
故答案为：C．

【分析】先求出一元二次方程的根，从而得到三角形的三边长，继而确定出三角形的形状，然后分别求出其面积即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠BDC=∠BCD，∠DBC=180﹣30°=150°，
∴∠BDC= (180°﹣150°)=15°；
故答案为：A．
【分析】根据图形旋转的性质得出△ABC≌△EBD，可得出BC=BD，根据图形旋转的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数．
7.【答案】 B
【解析】【解答】将 化为顶点式，得 .将抛物线 向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ，
故答案为：B.

【分析】由题意先将抛物线的解析式根据公式y=a(x+)2+配成顶点式，再根据平移规律“左加右减、上加下减〞可求解。
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：减去小路的局部依旧可以看作是一个矩形，该矩形的长是 米，宽是 米，
列式： ．
故答案为：C．
【分析】把减去小路的局部拼成一个矩形去计算面积，列出方程．
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：当x=-1时，代入得 ，故①符合题意；
根据图象可得：当x＞1时， 随 的增大而减小，故②符合题意；
x=-1关于对称轴对称的点是x=3，当y＜0时，图象在x轴下方，那么x＞3或x＜-1，故③不符合题意；
∵ ，∴ ，当y=3时，直线与图象有2个交点，故方程有2个不相等的实数根，故④不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的性质结合二次函数的图象即可得出结果．
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接AD

∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA=∠BEA =90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAE，
故A符合题意；
∵OA=OB
∴OD是三角形ABC的中位线
∴OD//AC
∴∠DHE =90°=∠BEF，
∵DF与⊙O相切，
∴∠ODF =90°
∴四边形DHEF为矩形
故B符合题意；
∵∠BEA =90°，∠BAC=45°，
∴AE=BE
∴
∵∠DHE =90°
∴OD⊥BE
∴
∴
故C符合题意；
不能得出BC=2CE
故答案为：D
【分析】A、利用直径所对的圆周角是直角，以及等腰三角形的三线合一性质即可得出结论；
B、根据中位线得出OD//AC，再根据矩形的判定即可得出结论
C、根据垂径定理得出 ，再根据等腰直角三角形的性质得出AE=BE，从而得出 ，即可得出
D、不能得出BC=2CE
二、填空题
11.【答案】 20%
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：2.5〔1+x〕2=3.6．
1+x=±1.2
解得， ， 〔舍去〕
即，平均每天票房的增长率为20%，
故答案为：20%．
【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房已经到达2.5亿元，2天后当日票房到达3.6亿元，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可．
12.【答案】 且a≠2
【解析】【解答】解：∵方程为一元二次方程，
∴〔a−2〕≠0，即a≠2，
∵方程有两个不相等实数根，
∴△＝[-〔2a−1〕]2-4〔a−2〕〔a+ 〕=2a+5＞0，
∴a＞− ，
综上得 且a≠2．
故答案为： 且a≠2．
【分析】假设一元二次方程有两不等实数根，那么根的判别式△＝b2−4ac＞0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围，还要注意二次项系数不为0．
13.【答案】 或
【解析】【解答】解答：解：由图象，得
当x＜−2或x＞8时，y1＞y2 ．
故答案为：x＜−2或x＞8．
【分析】根据函数与不等式的关系：抛物线在直线上方的局部是方程的解，可得答案．
14.【答案】 115
【解析】【解答】连接OC，

∵DC切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=40°，
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°，
∴ 的度数是130°，
∴ 的度数是360°-130°=230°，
∴∠BEC= ×230°=115°，
故答案为115．
【分析】连接OC，根据切线的性质求出∠DCO，求出∠COB，即可求出答案．
15.【答案】
【解析】【解答】解：连接CE，作EF⊥BC于F，

由旋转变换的性质可知，∠CAE=60°，AC=AE，
∴△ACE是等边三角形，
∴CE=AC=4，∠ACE=60°，
∴∠ECF=30°，
∴EF= CE=2，
由勾股定理得，CF= = ，
∴BF=BC-CF= ，
由勾股定理得，BE= = ，
故答案为 ．
【分析】连接CE，作EF⊥BC于F，根据旋转变换的性质得到∠CAE=60°，AC=AE，根据等边三角形的性质得到CE=AC=4，∠ACE=60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
三、解答题
16.【答案】 〔1〕




∴
解得，x1=3，x2=9；

〔2〕〔2x﹣1〕2＝x〔3x+2〕﹣7，
4x2﹣4x+1＝3x2+2x﹣7，
x2﹣6x+8＝0，
〔x﹣2〕〔x﹣4〕＝0，
x1＝2，x2＝4．
【解析】【分析】〔1〕原方程移项后，运用因式分解法解方程即可；〔2〕先把原式整理成一般形式，再运用因式分解法求解，即可求出答案．
17.【答案】 〔1〕△A1B1C1如下列图；


〔2〕△A2B2C2如下列图；


〔3〕△PAB如下列图，点P的坐标为：〔2，0〕

【解析】【分析】(1)按题目的要求平移就可以了关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
18.【答案】 〔1〕∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∴一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，

〔2〕把 代入方程，得： ，
∴ ，
∴AC=BD=5，
又∵∠DAB=90°，
∴AB= ，
∴ ．
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程有两个实数根即可得出结果；(2)根据(1)中得出一元二次方程得出两个根，利用勾股定理得出AB的值，即可得出结果．
19.【答案】 〔1〕解：根据题意得B〔0，4〕，C〔3， 〕，
把B〔0，4〕，C〔3， 〕代入y＝﹣ x2+bx+c得
 
解得 ．
所以抛物线解析式为y＝﹣ x2+2x+4，
那么y＝﹣ 〔x﹣6〕2+10，
所以D〔6，10〕，
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；

〔2〕解：由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为〔2，0〕或〔10，0〕，
当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6，
所以这辆货车能平安通过．

【解析】【分析】〔1〕先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；〔2〕由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m ， 那么货运汽车最外侧与地面OA的交点为〔2，0〕或〔10，0〕，然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．
20.【答案】 〔1〕解：w=〔x﹣30〕•y=〔﹣x+60〕〔x﹣30〕=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；

〔2〕解：根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣〔x﹣45〕2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225；

〔3〕解：当w=200时，﹣x2+90x﹣1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50＞42，x2=50不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【解析】【分析】〔1〕设这种双肩包每天的销售利润为w元．根据每天的销售利润等于每件的利润乘以每天的销售数量，即可列出W与x之间的函数关系式；
〔2〕根据〔1〕所得函数解析式的性质，将其配成顶点式即可得出答案；
〔3〕把w=200代入〔1〕所求的函数关系式，求解方程并根据物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元进行检验即可得出答案。

21.【答案】 〔1〕连接OD 

∵AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB
∴∠ODA=∠ODB=90º
∵∠ADC=60°，∠ADO=90°
∴∠ACD=∠ODC=30º
∵OC=OD
∴∠OCD=∠ODC=30°
∴∠BOD=60º
在Rt△DOB中，∠B=30°
∴∠ACD=∠B

〔2〕如图，连接OF，

设半径为
 那么OD=OC=
∵∠B=30°，AC=3
∴BC=2AC=6     
∵在Rt△ODB中，OB=2OD=2
∴BC=OC+OB=           
∴
∴
由〔1〕可知∠ACD=∠OCD=30°
∴∠ACO=60°
∵OC=OF
∴△OCF是等边三角形，∠COF=60°
∴
=
【解析】【分析】〔1〕作半径OD，利用切线的性质证得OD⊥AB，进而证得AC∥OD，根据平行线的性质得到∠ACD=∠CDO，由圆的半径相等证得OC=OD，∠OCD=∠ODC，所以∠ACD=∠CDO=∠OCD=30° ，由三角形外角的性质得到∠DOB=60° 最后利用直角三角形的性质求得 ∠B=30° 问题得证．〔2〕可以通过求扇形OCF的面积和△OCF的面积求得弓形CF的面积．
22.【答案】 〔1〕AE=CD；AE⊥CD
〔2〕中的结论仍然成立
理由如下：连接AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N

∵△ABC是等腰直角三角形，O是BC的中点
∴AO=CO，AO⊥BC 
∴∠AOC=∠EOD=90°
∴∠AOE=∠COD
∵OE=OD
∴△AOE≌△COD(SAS)
∴AE=CD，∠AEO=∠CDO
∵∠CDO+∠OND=90°，且∠OND=∠MNE
∴∠AEO+∠MNE=90°        
∴∠DME=90°
∴DM⊥AE
即DC⊥AE

〔3〕连接OA，如图3，

∵AE=CE，OA=OC
∴OE是AC的垂直平分线
 ∴∠AOE=∠COE=45°
∴ =45°

〔4〕①假设OF=FC时，如图4，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°
∴∠FOC=45°
∵AO⊥BC
∴∠AOC=90°
∴∠AOF=90°-45°=45°，即 =45°；
②当OC=FC时，如图5，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°
∴∠FOC=
∵AO⊥BC
∴∠AOC=90°
∴∠AOF=90°-67.5°=22.5°，即 =22.5°；
综上所述， 的度数为45°或22.5°．
【解析】【解答】解：〔1〕∵△ABC是等腰三角形，∠CAB =90°，
∴∠ACB=45°
∵点O是BC的中点，
∴AO⊥BC
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AO=CO
∵△DOE是等腰三角形，∠DOE=90°，
∴EO=DO
∴EO-AO=DO-CO
即AE=CD
∵OE经过点A，OD经过点C，
∴AE⊥CD
故答案为：AE=CD  AE⊥CD
【分析】〔1〕证明△AOC是等腰直角三角形即可得到结论；〔2〕连接AO，延长DC交AE于点M，设OE，MD相交于点N，证明△AOE≌△COD可得AE=CD，证明∠DME=90°可得AE⊥CD；〔3〕证明OE是AC的垂直平分线即可得到结论；〔4〕分OF=FC和OC=CF两种情况求解即可．
23.【答案】 〔1〕∵抛物线y=a +bx+c(a≠0)过点C(0,4)，
 ∴c=4
∵－ =1
 ∴b=－2a
∵抛物线过点A(－2,0)
∴4a－2b+c=0
∴a=－ ，b=1，c=4
∴抛物线的解析式为：y=- +x+4

〔2〕存在，理由如下：
如下列图，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G.

设点F的坐标为(t， +t+4)，其中0＜t＜4 那么FH= +t+4 ，FG=t，
∴△OBF的面积= OB·FH= ×4×( +t+4)=－ +2t+8， △OFC的面积= OC·FG=2t
∴四边形ABFC的面积=△AOC的面积+△OBF的面积+△OFC的面积=－ +4t+12
∴四边形ABFC的面积=－( -2)2+16，
∴当t=2时，四边形ABFC的面积最大，最大值为16，此时F〔2，4〕

〔3〕∵对称轴为直线x=1，A〔-2，0〕，
∴B〔4，0〕，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设P〔m，-m+4〕，
∵PQ∥DE，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∴Q〔m, - +m+4〕,PQ=DE，
∴|- +m+4-(-m+4)|=4.5-3， m2-4m-3=0
∴m=1〔舍去〕或m=3或m= 或m= ，
∴P〔3，1〕或P〔 ， 〕或P〔 ， 〕
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求抛物线解析式即可；
〔2〕存在，理由，如下列图，连结BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G. 设点F的坐标为(t，  +t+4)，其中0＜t＜4 那么FH=  +t+4 ，FG=t，利用四边形ABFC的面积=△AOC的面积+△OBF的面积+△OFC的面积=－  +4t+12 ，利用二次函数的性质解答即可；
〔3〕 根据平行四边形的性质，可得PQ=DE， 设P〔m，-m+4〕,从而求出Q〔m, -   +m+4〕，由PQ=DE列出关于m的方程，求出m的值即可.