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2021年浙江省绍兴市九年级上学期数学期中考试试卷 (1)含答案
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这是一份2021年浙江省绍兴市九年级上学期数学期中考试试卷 (1)含答案，共18页。
九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题〔此题有10个小题，每题4分，共40分〕
1.对于二次函数 的图象，以下说法正确的选项是〔 〕
A. 开口向下 B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是〔1，2〕 D. 与x轴有两个交点
2.如下列图的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.假设铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，那么作出圆的直径是〔 〕
A. 1 cm B. 2 cm C. 4 cm D. cm
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相同.小明通过屡次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，那么袋子中红球的个数最有可能是〔 〕
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
4.对于函数 ，使得 随 的增大而增大的 的取值范围是〔 〕
A. B. C. D.
5.将抛物线 通过平移得到 ，那么以下平移过程正确的选项是〔 〕
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点 ， 那么二次函数y=x2－mx－5(m为实数)的零点的个数是〔 〕
A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定
7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，点A的坐标是〔－2，3〕，点C的坐标是〔1，2〕，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是〔 〕
A. 〔0，0〕 B. 〔－1，1〕 C. 〔－1，0〕 D. 〔－1，－1〕
8.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状〔抛物线所在平面与墙面垂直，如图〕.如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，那么水流落地点B离墙距离是〔 〕
A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 5米
9.锐角∠AOB如图，〔1〕在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ,交射线OB于点D，连接CD；〔2〕分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于弧PQ点M，N；〔3〕连接OM，MN. 根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是〔 〕
A. ∠COM=∠COD B. 假设OM=MN，那么∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD
10.如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，那么函数y＝ax2+〔b﹣2〕x+c的图象可能是〔 〕
A. B. C. D.
二、填空题〔此题有6个小题，每题5分，共30分〕
11. ，那么 ＝________.
12.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早顶峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟〕的数据，统计如下：
30≤t≤35
35＜t≤40
40＜t≤45
45＜t≤50
合计
A
59
151
166
124
500
B
50
50
122
278
500
C
45
265
167
23
500
早顶峰期间，乘坐________〔填“A〞，“B〞或“C〞〕线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大.
13.如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E.假设∠CDB＝30°，OA＝2，那么AB的长为________.
14.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，假设选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ 〔x﹣6〕2+4，那么选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
15.如下列图，把球放在长方体纸盒内，球的一局部露出盒外，其截面如下列图，EF＝CD＝4 cm，那么球的半径为________cm.
16.如图，直线l： ，一组抛物线的顶点B1〔1，y1〕，B2〔2，y2〕，B3〔3，y3〕…Bn〔n，yn〕〔n为正整数〕依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1〔x1 ， 0〕，A2〔x2 ， 0〕，A3〔x3 ， 0〕…，An+1〔xn+1 ， 0〕〔n为正整数〕，设x1=d〔0＜d＜1〕假设其中一条抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，那么我们把这条抛物线就称为：“美丽抛物线〞.那么当d〔0＜d＜1〕的大小变化时能产生美丽抛物线相应的d的值是________.
三、 解答题〔此题有8个小题，共80分〕
17.抛物线的解析式为y= -3x2+6x+9.
〔1〕求它的对称轴；
〔2〕求它与x轴，y轴的交点坐标.
18.小强同学报名参加运动会，有以下5个工程可供选择:径赛工程:100m，200m，400m〔分别用A1、A2、A3表示〕；田赛工程:跳远，跳高〔分别用B1、B2表示〕.
〔1〕小强同学从5个工程中任选一个，恰好是田赛工程的概率为________；
〔2〕小强同学从5个工程中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率.
19.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点.
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
20.如图，点A，B的坐标分别为(0，0)，(4，0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′.
〔1〕画出△AB′C′.
〔2〕写出点C′的坐标.
〔3〕求旋转过程中点B所经过的路径长.
21.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：
①抛物线型；②圆弧型. 这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米.
〔1〕如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
〔2〕如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
〔3〕在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.
22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具.
〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价在40元的根底上上涨x元〔x＞0〕，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价〔元〕
x+40
销售量y〔件〕
________
销售玩具获得利润w〔元〕
________
〔2〕在〔1〕问条件下，假设商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？
〔3〕在〔1〕问条件下，假设玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
23.我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A〔4，0〕，B〔﹣4，0〕，D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°〔A、D、C按顺时针方向排列〕，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
〔1〕求证：△ABC是半直角三角形；
〔2〕求证：∠DEC＝∠DEA；
〔3〕假设点D的坐标为〔0，8〕，求AE的长。
24.如图，二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，AC＝BC.
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点E是线段AB上一动点〔不与A，B重合〕，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
〔3〕点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？假设存在，求出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
答案解析局部
一、选择题〔此题有10个小题，每题4分，共40分〕
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=〔x-1〕2+2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为〔1，2〕，与x轴没有交点，
应选项ABD错误，选项C正确.
故答案为C.
【分析】根据抛物线的图象和性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为〔1，2〕，与x轴没有交点，即可得出答案.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm.
故答案为：C.
【分析】根据圆的概念：在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆，线段AB叫做半径，得出圆的半径为2cm，即可得出圆的直径是4cm.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个.
故答案为：A.
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=-x2-2x-2=-〔x+1〕2-1，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x≤-1时，y随x的增大而增大.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的图象得出抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，再根据抛物线的性质得出在对称轴的左侧y随x的增大而增大，即可得出答案.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵y=x2+4x+1=〔x+2〕2-3，
∴把抛物线y=x2+4x+1向右平移2个单位，向上平移3个单位得到抛物线y=x2.
故答案为：D.
【分析】先把抛物线的解析式化为y=〔x+2〕2-3，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可得出答案.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：令y=0，得x2-mx-5=0，
∴△=〔-m〕2-4×1×〔-5〕=m2+20≥0，
∴方程x2-mx-5=0有两个不相等的实数根，
∴ 二次函数y=x2-mx-5(m为实数)的零点的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程x2-mx-5=0有两个不相等的实数根，即可得出二次函数y=x2-mx-5(m为实数)的零点的个数是2个.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，
∴点M即为这条圆弧所在圆的圆心，
∴ 圆心M的坐标是 〔-1，1〕.
故答案为：B.
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，得出点M即为这条圆弧所在圆的圆心，根据图形即可求解.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解： 如图，以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
根据题意得出抛物线的顶点为M〔1，〕，
∴设抛物线的解析式为：y=a〔x-1〕2+，
把点A〔0，10〕代入抛物线解析式得：10=a+ ，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-〔x-1〕2+，
令y=0时，那么-〔x-1〕2+=0，
解得：x1=-1〔舍去〕，x2=3，
∴OB=3〔米〕，
∴水流下落点B离墙距离为3米.
故答案为：B.
【分析】 以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，根据题意利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=0，得出一元二次方程，求出方程的解，即可得出答案．
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接CM，DN，ON，由作图知CM=CD=DN，
∴ ∠COM=∠COD，故A正确；
∵ON=OM=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴ ∠COM=∠AOB=∠BON=20°，故B正确；
∵OM=OC=OD， ∠COM=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCM=∠OCD=80°，
∴∠DCM=160°，
∵∠CMN=∠AON=20°，
∴∠DCM+∠CMN=180°，
∴ MN∥CD，故C正确；
∵CM+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴MN＜3CD，故D错误.
故答案为：D.
【分析】A.由作图知CM=CD=DN，根据圆心角、弧、弦定理得出∠COM=∠COD=∠BON，故A正确；
B.先证出△OMN是等边三角形，得出∠MON=60°，即可证出∠AOB=20° ，故B正确；
C.先求出∠DCM=160°，∠CMN=20°，从而得出∠DCM+∠CMN=180°，即可得出 MN∥CD，故C正确；
D.根据两点之间线段最短得出CM+CD+DN＞MN，即可得出MN＜3CD，故D错误.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴一元二次方程ax2+〔b-2〕x+c=0有两个不相等的实数根，
∴ 函数y＝ax2+〔b-2〕x+c的图象与x轴有两个交点，
∵a＞0，-＞0，
∴-＞0，
∴ 函数y＝ax2+〔b-2〕x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知：a＞0，-＞0，方程ax2+〔b-2〕x+c=0有两个不相等的实数根，得出函数y＝ax2+〔b-2〕x+c的图象与x轴有两个交点，对称轴x=-＞0，即可得出答案.
二、填空题〔此题有6个小题，每题5分，共30分〕
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：.
【分析】根据比例的合比性质可直接求解.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，
∴乘坐C路线上的公交车， 从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大.
故答案为：C.
【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，即可得出答案.
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵ OC⊥AB于点E，
∴AE=BE，，
∴∠AOC=2∠CDB=2×30°=60°，
∴AE=，
∴AB=2AE=.
故答案为：.
【分析】根据垂径定理得出AE=BE，， 再根据圆周角定理得出∠AOC=2∠CDB=60°，从而求出AE的长，即可求出AB的长.
14.【答案】 y=﹣ 〔x+6〕2+4
【解析】【解答】解：由题意可得出：y=a〔x+6〕2+4，
将〔﹣12，0〕代入得出，0=a〔﹣12+6〕2+4，
解得：a=﹣ ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣ 〔x+6〕2+4．
故答案为：y=﹣ 〔x+6〕2+4．
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
15.【答案】 2.5
【解析】【解答】解：如图，取EF的中点M，作点M作MN⊥AD于BC于点N，取球心为点O，连接OF，
设OF＝x，那么OM＝4-x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2 ，
∴〔4-x〕2＋22＝x2 ，
解得：x＝2.5，
∴ 球的半径为2.5cm.
故答案为：2.5.
【分析】取EF的中点M，作点M作MN⊥AD于BC于点N，取球心为点O，连接OF，设OF＝x，得出OM＝4-x，MF＝2，利用勾股定理列出方程，解方程求出x的值，即可得出球的半径.
16.【答案】 或
【解析】【解答】解：∵直线l的解析式为，
∴当x=1时，y=，
∴ B1〔1，〕，
当x=2时，y=，
∴ B2〔2，〕，
∵ A1〔d，0〕，A2〔2-d，0〕，
假设B1为直角顶点，那么A1A2的中点〔1，0〕到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
∴1-d=，
∴d=，
同理：假设B2为直角顶点，那么A2A3的中点〔2，0〕到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
∴2-〔2-d〕= ，
∴d=，
假设B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，
∴ d的值是或.
故答案为：或.
【分析】先求出点B1和B2的坐标，根据题意得出A1和A2的坐标，假设B1为直角顶点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列出等式，求出d的值，同理假设B1为直角顶点，列出等式求出d的值，假设B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，即可求解.
三、 解答题〔此题有8个小题，共80分〕
17.【答案】 〔1〕解：∵x＝﹣ ＝1，∴对称轴为直线x＝1
〔2〕解：令x＝0，得y＝9；
令y＝0，得x＝﹣1或3，
故与x轴的交点为〔﹣1，0〕〔3，0〕，与y轴的交点为〔0，9〕.
【解析】【分析】〔1〕直接代入对称轴的公式即可求解；
〔2〕令x=0求出y的值，得出抛物线与y轴的交点坐标，令y=0求出x的值，得出抛物线与x轴的交点坐标.
18.【答案】 〔1〕
〔2〕解：画树状图得:
∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的12种情况，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率为:
【解析】【分析】〔1〕由题意可知一共有5种结果，田赛工程有2项，然后利用概率公式可求解。
〔2〕由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的情况数，然后利用概率公式进行计算即可。
19.【答案】 〔1〕解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，
∴ ，∴a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣1
〔2〕解：图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4.
【解析】【分析】〔1〕把点A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕的坐标代入抛物线的解析式，求出a，b，c的值，即可求解；
〔2〕画出直线y=x+1，观察图象可得，当1＜x＜4时， 一次函数的图象在二次函数的图象的上面，即可得出答案.
20.【答案】 〔1〕解：见以下列图：
〔2〕解：根据旋转的性质，点C′的坐标为〔﹣2，5〕
〔3〕解：点B所经过的路径长= .
【解析】【分析】〔1〕作出△ABC各点绕点A按逆时钟旋转90°所得的对称点，再顺次连接即可；
〔2〕 根据旋转的性质，直接写出点C′的坐标；
〔3〕根据弧长公式代入数值进行计算，即可求解.
21.【答案】 〔1〕解：抛物线的解析式为y＝ax2+c，
又∵抛物线经过点C〔0，8〕和点B〔16，0〕，
∴0＝256a+8，a＝﹣ .
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8〔﹣16≤x≤16〕
〔2〕解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，
设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2
∴R2＝〔R﹣8〕2+162 ， 解得R＝20；
〔3〕解：①在抛物线型中设点F〔x，y〕在抛物线上，x＝OE＝16﹣4＝12，
EF＝y＝3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，那么OH＝D E′＝16﹣4＝12，O F′＝R＝20，
在Rt△OH F′中，H F′＝ =16，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4〔米〕
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米.
【解析】【分析】〔1〕设抛物线的解析式为y＝ax2+c，把点C〔0，8〕和点B〔16，0〕代入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可求解；
〔2〕 设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点， 设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出R的值，即可求解；
〔3〕 ①在抛物线型中设点F〔x，y〕在抛物线上，求出EF=3.5， ②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， 求出HF′=16，HE′=12，从而求出E′F′＝HF′﹣HE′=4，即可求解.
22.【答案】 〔1〕600﹣10x；﹣10x2+500x+6000
〔2〕解：列方程得：﹣10x2+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40.
∴该玩具销售单价应定为50元或80元；
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
〔3〕解：销售单价为在40元的根底上上涨x，
根据题意得 ，解得：4≤x≤6，
W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10〔x﹣25〕2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，
∴当4≤x≤6时，y随x增大而增大，
∴当x＝6时，W最大值＝8640〔元〕，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.
【解析】【解答】〔1〕由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，
销售玩具获得利润为：W＝〔40+x﹣30〕〔600﹣10x〕＝﹣10x2+500x+6000；
故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000
【分析】〔1〕根据题意得出销售量为y＝600﹣10x，再利用利润=一件的利润×销售量即可求解；
〔2〕根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可求解；
〔3〕根据题意列出粗不等式组，求出不等式组的解集，再根据二次函数的性质求解即可.
23.【答案】 〔1〕证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝45°，
∵∠ABE＝∠ADE＝45°， ∴△ABC是半直角三角形
〔2〕证明：∵OM⊥AB，OA＝OB， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠DEB＝∠DAB， ∴∠DBA＝∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆， ∴∠DBA+∠DEA＝180°，
∵∠DEB+∠DEC＝180°， ∴∠DEA＝∠DEC；
〔3〕解：如图1，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为〔0，8〕，∴OM＝8﹣r，
由OM2+OA2＝MA2得：〔8﹣r〕2+42＝r2 ，
解得r＝5， ∴⊙M 的半径为5，
∵∠ABE＝45° ∴∠EMA＝2∠ABE＝90°，
∴EA2＝MA2+ME2＝52+52＝50，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据角平分线的定义得出∠ADE＝45°，根据圆周角定理得出∠ABE＝∠ADE＝45°， 根据新定义即可得出△ABC是半直角三角形；
〔2〕根据线段垂直平分线的性质及圆周角定理得出∠DBA＝∠DEB，再根据圆内接四边形的性质得出 ∠DBA+∠DEA＝180°， 再根据邻补角的定义得出∠DEB+∠DEC＝180°，即可求出∠DEA＝∠DEC；
〔3〕 连接AM，ME，设⊙M的半径为r，得出OM＝8﹣r，利用勾股定理求出r＝5，得出⊙M 的半径为5，再根据圆周角定理得出∠EMA＝2∠ABE＝90°， 然后利用勾股定理即可得出AE的长.
24.【答案】 〔1〕解：∵点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，∴B〔4，5〕，
把A〔﹣1，0〕和B〔4，5〕代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得： ，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
〔2〕解：如图1，∵直线AB经过点A〔﹣1，0〕，B〔4，5〕，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2﹣2t﹣3〕，
∴EF＝〔t+1〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕＝﹣〔t﹣ 〕2+ ，
∴当t＝ 时，EF的最大值为 ，
∴点E的坐标为〔 ， 〕，
∴S△ABF＝ ＝ ＝ .
〔3〕解：存在， y＝x2﹣2x﹣3＝〔x﹣1〕2﹣4，∴设P〔1，m〕，
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2 ，
∴〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2+〔4+1〕2+52＝〔1+1〕2+m2 ，
解得：m＝8，∴P〔1，8〕；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2 ，
∴〔1+1〕2+m2+〔4+1〕2+52＝〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2 ，
解得：m＝﹣2，∴P〔1，﹣2〕；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2 ，
∴〔1+1〕2+m2+〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2＝〔4+1〕2+52 ，
解得：m＝6或﹣1，∴P〔1，6〕或〔1，﹣1〕；
综上，点P的坐标为〔1，8〕或〔1，﹣2〕或〔1，6〕或〔1，﹣1〕.
【解析】【分析】〔1〕求出点B的坐标，再把点A，B的准备带入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可求出抛物线的解析式；
〔2〕利用待定系数法求出直线的解析式为y＝x+1， 设点E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2﹣2t﹣3〕，得出 EF=-〔t﹣ 〕2+ ， 根据二次函数的性质得出当t＝ 时，EF的最大值为 ，从而得出点E的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解；
〔3〕 设P〔1，m〕， 分三种情况讨论： ①以点B为直角顶点时， ②以点A为直角顶点时， ③以点P为直角顶点时， 分别根据勾股定理列出方程，解方程求出m的值，即可求解.
九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题〔此题有10个小题，每题4分，共40分〕
1.对于二次函数 的图象，以下说法正确的选项是〔 〕
A. 开口向下 B. 对称轴是x=﹣1 C. 顶点坐标是〔1，2〕 D. 与x轴有两个交点
2.如下列图的圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，点A与点B的距离是2 cm.假设铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，那么作出圆的直径是〔 〕
A. 1 cm B. 2 cm C. 4 cm D. cm
3.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相同.小明通过屡次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，那么袋子中红球的个数最有可能是〔 〕
A. 5 B. 10 C. 12 D. 15
4.对于函数 ，使得 随 的增大而增大的 的取值范围是〔 〕
A. B. C. D.
5.将抛物线 通过平移得到 ，那么以下平移过程正确的选项是〔 〕
A. 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C. 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D. 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点 ， 那么二次函数y=x2－mx－5(m为实数)的零点的个数是〔 〕
A. 1 B. 2 C. 0 D. 不能确定
7.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，点A的坐标是〔－2，3〕，点C的坐标是〔1，2〕，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是〔 〕
A. 〔0，0〕 B. 〔－1，1〕 C. 〔－1，0〕 D. 〔－1，－1〕
8.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状〔抛物线所在平面与墙面垂直，如图〕.如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面 米，那么水流落地点B离墙距离是〔 〕
A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 5米
9.锐角∠AOB如图，〔1〕在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ,交射线OB于点D，连接CD；〔2〕分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于弧PQ点M，N；〔3〕连接OM，MN. 根据以上作图过程及所作图形，以下结论中错误的选项是〔 〕
A. ∠COM=∠COD B. 假设OM=MN，那么∠AOB=20° C. MN∥CD D. MN=3CD
10.如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，那么函数y＝ax2+〔b﹣2〕x+c的图象可能是〔 〕
A. B. C. D.
二、填空题〔此题有6个小题，每题5分，共30分〕
11. ，那么 ＝________.
12.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路.为了解早顶峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时〔单位：分钟〕的数据，统计如下：
30≤t≤35
35＜t≤40
40＜t≤45
45＜t≤50
合计
A
59
151
166
124
500
B
50
50
122
278
500
C
45
265
167
23
500
早顶峰期间，乘坐________〔填“A〞，“B〞或“C〞〕线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大.
13.如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E.假设∠CDB＝30°，OA＝2，那么AB的长为________.
14.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，假设选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣ 〔x﹣6〕2+4，那么选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
15.如下列图，把球放在长方体纸盒内，球的一局部露出盒外，其截面如下列图，EF＝CD＝4 cm，那么球的半径为________cm.
16.如图，直线l： ，一组抛物线的顶点B1〔1，y1〕，B2〔2，y2〕，B3〔3，y3〕…Bn〔n，yn〕〔n为正整数〕依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1〔x1 ， 0〕，A2〔x2 ， 0〕，A3〔x3 ， 0〕…，An+1〔xn+1 ， 0〕〔n为正整数〕，设x1=d〔0＜d＜1〕假设其中一条抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，那么我们把这条抛物线就称为：“美丽抛物线〞.那么当d〔0＜d＜1〕的大小变化时能产生美丽抛物线相应的d的值是________.
三、 解答题〔此题有8个小题，共80分〕
17.抛物线的解析式为y= -3x2+6x+9.
〔1〕求它的对称轴；
〔2〕求它与x轴，y轴的交点坐标.
18.小强同学报名参加运动会，有以下5个工程可供选择:径赛工程:100m，200m，400m〔分别用A1、A2、A3表示〕；田赛工程:跳远，跳高〔分别用B1、B2表示〕.
〔1〕小强同学从5个工程中任选一个，恰好是田赛工程的概率为________；
〔2〕小强同学从5个工程中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率.
19.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点.
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.
20.如图，点A，B的坐标分别为(0，0)，(4，0)，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′.
〔1〕画出△AB′C′.
〔2〕写出点C′的坐标.
〔3〕求旋转过程中点B所经过的路径长.
21.某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：
①抛物线型；②圆弧型. 这座桥的跨度L＝32米，拱高h＝8米.
〔1〕如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴， AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；
〔2〕如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；
〔3〕在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案中分别求桥墩的高度.
22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具.
〔1〕不妨设该种品牌玩具的销售单价在40元的根底上上涨x元〔x＞0〕，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价〔元〕
x+40
销售量y〔件〕
________
销售玩具获得利润w〔元〕
________
〔2〕在〔1〕问条件下，假设商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价应定为多少元？
〔3〕在〔1〕问条件下，假设玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
23.我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形.类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A〔4，0〕，B〔﹣4，0〕，D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°〔A、D、C按顺时针方向排列〕，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD.显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形.
〔1〕求证：△ABC是半直角三角形；
〔2〕求证：∠DEC＝∠DEA；
〔3〕假设点D的坐标为〔0，8〕，求AE的长。
24.如图，二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，AC＝BC.
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点E是线段AB上一动点〔不与A，B重合〕，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；
〔3〕点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？假设存在，求出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
答案解析局部
一、选择题〔此题有10个小题，每题4分，共40分〕
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=〔x-1〕2+2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为〔1，2〕，与x轴没有交点，
应选项ABD错误，选项C正确.
故答案为C.
【分析】根据抛物线的图象和性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为〔1，2〕，与x轴没有交点，即可得出答案.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AB=2cm，
∴圆的直径是4cm.
故答案为：C.
【分析】根据圆的概念：在一个平面内，线段AB绕它固定的一个端点A旋转一周，另一个端点B所形成的图形叫做圆，线段AB叫做半径，得出圆的半径为2cm，即可得出圆的直径是4cm.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得
答：袋子中红球有5个.
故答案为：A.
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.25左右列出关于x的方程，求出x的值即可得答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=-x2-2x-2=-〔x+1〕2-1，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，
∴当x≤-1时，y随x的增大而增大.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的图象得出抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，再根据抛物线的性质得出在对称轴的左侧y随x的增大而增大，即可得出答案.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵y=x2+4x+1=〔x+2〕2-3，
∴把抛物线y=x2+4x+1向右平移2个单位，向上平移3个单位得到抛物线y=x2.
故答案为：D.
【分析】先把抛物线的解析式化为y=〔x+2〕2-3，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可得出答案.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：令y=0，得x2-mx-5=0，
∴△=〔-m〕2-4×1×〔-5〕=m2+20≥0，
∴方程x2-mx-5=0有两个不相等的实数根，
∴ 二次函数y=x2-mx-5(m为实数)的零点的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程x2-mx-5=0有两个不相等的实数根，即可得出二次函数y=x2-mx-5(m为实数)的零点的个数是2个.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，
∴点M即为这条圆弧所在圆的圆心，
∴ 圆心M的坐标是 〔-1，1〕.
故答案为：B.
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，作线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点M，得出点M即为这条圆弧所在圆的圆心，根据图形即可求解.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解： 如图，以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
根据题意得出抛物线的顶点为M〔1，〕，
∴设抛物线的解析式为：y=a〔x-1〕2+，
把点A〔0，10〕代入抛物线解析式得：10=a+ ，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为：y=-〔x-1〕2+，
令y=0时，那么-〔x-1〕2+=0，
解得：x1=-1〔舍去〕，x2=3，
∴OB=3〔米〕，
∴水流下落点B离墙距离为3米.
故答案为：B.
【分析】 以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，根据题意利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=0，得出一元二次方程，求出方程的解，即可得出答案．
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接CM，DN，ON，由作图知CM=CD=DN，
∴ ∠COM=∠COD，故A正确；
∵ON=OM=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴ ∠COM=∠AOB=∠BON=20°，故B正确；
∵OM=OC=OD， ∠COM=∠AOB=∠BON=20°，
∴∠OCM=∠OCD=80°，
∴∠DCM=160°，
∵∠CMN=∠AON=20°，
∴∠DCM+∠CMN=180°，
∴ MN∥CD，故C正确；
∵CM+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴MN＜3CD，故D错误.
故答案为：D.
【分析】A.由作图知CM=CD=DN，根据圆心角、弧、弦定理得出∠COM=∠COD=∠BON，故A正确；
B.先证出△OMN是等边三角形，得出∠MON=60°，即可证出∠AOB=20° ，故B正确；
C.先求出∠DCM=160°，∠CMN=20°，从而得出∠DCM+∠CMN=180°，即可得出 MN∥CD，故C正确；
D.根据两点之间线段最短得出CM+CD+DN＞MN，即可得出MN＜3CD，故D错误.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴一元二次方程ax2+〔b-2〕x+c=0有两个不相等的实数根，
∴ 函数y＝ax2+〔b-2〕x+c的图象与x轴有两个交点，
∵a＞0，-＞0，
∴-＞0，
∴ 函数y＝ax2+〔b-2〕x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知：a＞0，-＞0，方程ax2+〔b-2〕x+c=0有两个不相等的实数根，得出函数y＝ax2+〔b-2〕x+c的图象与x轴有两个交点，对称轴x=-＞0，即可得出答案.
二、填空题〔此题有6个小题，每题5分，共30分〕
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ＝ .
故答案为：.
【分析】根据比例的合比性质可直接求解.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，
∴乘坐C路线上的公交车， 从甲地到乙地“用时不超过45分钟〞的可能性最大.
故答案为：C.
【分析】根据统计表获取信息，样本容量相同，C路线上的公交车用时超过45分钟的频数最小，其频率也最小，即可得出答案.
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵ OC⊥AB于点E，
∴AE=BE，，
∴∠AOC=2∠CDB=2×30°=60°，
∴AE=，
∴AB=2AE=.
故答案为：.
【分析】根据垂径定理得出AE=BE，， 再根据圆周角定理得出∠AOC=2∠CDB=60°，从而求出AE的长，即可求出AB的长.
14.【答案】 y=﹣ 〔x+6〕2+4
【解析】【解答】解：由题意可得出：y=a〔x+6〕2+4，
将〔﹣12，0〕代入得出，0=a〔﹣12+6〕2+4，
解得：a=﹣ ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣ 〔x+6〕2+4．
故答案为：y=﹣ 〔x+6〕2+4．
【分析】根据题意得出A点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
15.【答案】 2.5
【解析】【解答】解：如图，取EF的中点M，作点M作MN⊥AD于BC于点N，取球心为点O，连接OF，
设OF＝x，那么OM＝4-x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2 ，
∴〔4-x〕2＋22＝x2 ，
解得：x＝2.5，
∴ 球的半径为2.5cm.
故答案为：2.5.
【分析】取EF的中点M，作点M作MN⊥AD于BC于点N，取球心为点O，连接OF，设OF＝x，得出OM＝4-x，MF＝2，利用勾股定理列出方程，解方程求出x的值，即可得出球的半径.
16.【答案】 或
【解析】【解答】解：∵直线l的解析式为，
∴当x=1时，y=，
∴ B1〔1，〕，
当x=2时，y=，
∴ B2〔2，〕，
∵ A1〔d，0〕，A2〔2-d，0〕，
假设B1为直角顶点，那么A1A2的中点〔1，0〕到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
∴1-d=，
∴d=，
同理：假设B2为直角顶点，那么A2A3的中点〔2，0〕到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
∴2-〔2-d〕= ，
∴d=，
假设B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，
∴ d的值是或.
故答案为：或.
【分析】先求出点B1和B2的坐标，根据题意得出A1和A2的坐标，假设B1为直角顶点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半列出等式，求出d的值，同理假设B1为直角顶点，列出等式求出d的值，假设B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数，即可求解.
三、 解答题〔此题有8个小题，共80分〕
17.【答案】 〔1〕解：∵x＝﹣ ＝1，∴对称轴为直线x＝1
〔2〕解：令x＝0，得y＝9；
令y＝0，得x＝﹣1或3，
故与x轴的交点为〔﹣1，0〕〔3，0〕，与y轴的交点为〔0，9〕.
【解析】【分析】〔1〕直接代入对称轴的公式即可求解；
〔2〕令x=0求出y的值，得出抛物线与y轴的交点坐标，令y=0求出x的值，得出抛物线与x轴的交点坐标.
18.【答案】 〔1〕
〔2〕解：画树状图得:
∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的12种情况，恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的概率为:
【解析】【分析】〔1〕由题意可知一共有5种结果，田赛工程有2项，然后利用概率公式可求解。
〔2〕由题意可知此事件是抽取不放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及恰好是一个田赛工程和一个径赛工程的情况数，然后利用概率公式进行计算即可。
19.【答案】 〔1〕解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，
∴ ，∴a＝ ，b＝﹣ ，c＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝ x2﹣ x﹣1
〔2〕解：图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4.
【解析】【分析】〔1〕把点A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕的坐标代入抛物线的解析式，求出a，b，c的值，即可求解；
〔2〕画出直线y=x+1，观察图象可得，当1＜x＜4时， 一次函数的图象在二次函数的图象的上面，即可得出答案.
20.【答案】 〔1〕解：见以下列图：
〔2〕解：根据旋转的性质，点C′的坐标为〔﹣2，5〕
〔3〕解：点B所经过的路径长= .
【解析】【分析】〔1〕作出△ABC各点绕点A按逆时钟旋转90°所得的对称点，再顺次连接即可；
〔2〕 根据旋转的性质，直接写出点C′的坐标；
〔3〕根据弧长公式代入数值进行计算，即可求解.
21.【答案】 〔1〕解：抛物线的解析式为y＝ax2+c，
又∵抛物线经过点C〔0，8〕和点B〔16，0〕，
∴0＝256a+8，a＝﹣ .
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+8〔﹣16≤x≤16〕
〔2〕解：设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点，
设⊙O的半径为R，在Rt△OBD中，OB2＝OD2+DB2
∴R2＝〔R﹣8〕2+162 ， 解得R＝20；
〔3〕解：①在抛物线型中设点F〔x，y〕在抛物线上，x＝OE＝16﹣4＝12，
EF＝y＝3.5米；
②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，
OH⊥F′E′于H，那么OH＝D E′＝16﹣4＝12，O F′＝R＝20，
在Rt△OH F′中，H F′＝ =16，
∵HE′＝OD＝OC﹣CD＝20﹣8＝12，E′F′＝HF′﹣HE′＝16﹣12＝4〔米〕
∴在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高3.5米； 圆弧型桥墩高4米.
【解析】【分析】〔1〕设抛物线的解析式为y＝ax2+c，把点C〔0，8〕和点B〔16，0〕代入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可求解；
〔2〕 设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，CD⊥AB于D，延长CD经过O点， 设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出R的值，即可求解；
〔3〕 ①在抛物线型中设点F〔x，y〕在抛物线上，求出EF=3.5， ②在圆弧型中设点F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′， 求出HF′=16，HE′=12，从而求出E′F′＝HF′﹣HE′=4，即可求解.
22.【答案】 〔1〕600﹣10x；﹣10x2+500x+6000
〔2〕解：列方程得：﹣10x2+500x+6000＝10000，解得：x1＝10，x2＝40.
∴该玩具销售单价应定为50元或80元；
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
〔3〕解：销售单价为在40元的根底上上涨x，
根据题意得 ，解得：4≤x≤6，
W＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10〔x﹣25〕2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝25，
∴当4≤x≤6时，y随x增大而增大，
∴当x＝6时，W最大值＝8640〔元〕，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元.
【解析】【解答】〔1〕由题意得，销售量为：y＝600﹣10x，
销售玩具获得利润为：W＝〔40+x﹣30〕〔600﹣10x〕＝﹣10x2+500x+6000；
故答案为：600﹣10x，﹣10x2+500x+6000
【分析】〔1〕根据题意得出销售量为y＝600﹣10x，再利用利润=一件的利润×销售量即可求解；
〔2〕根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可求解；
〔3〕根据题意列出粗不等式组，求出不等式组的解集，再根据二次函数的性质求解即可.
23.【答案】 〔1〕证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝45°，
∵∠ABE＝∠ADE＝45°， ∴△ABC是半直角三角形
〔2〕证明：∵OM⊥AB，OA＝OB， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠DEB＝∠DAB， ∴∠DBA＝∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆， ∴∠DBA+∠DEA＝180°，
∵∠DEB+∠DEC＝180°， ∴∠DEA＝∠DEC；
〔3〕解：如图1，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为〔0，8〕，∴OM＝8﹣r，
由OM2+OA2＝MA2得：〔8﹣r〕2+42＝r2 ，
解得r＝5， ∴⊙M 的半径为5，
∵∠ABE＝45° ∴∠EMA＝2∠ABE＝90°，
∴EA2＝MA2+ME2＝52+52＝50，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据角平分线的定义得出∠ADE＝45°，根据圆周角定理得出∠ABE＝∠ADE＝45°， 根据新定义即可得出△ABC是半直角三角形；
〔2〕根据线段垂直平分线的性质及圆周角定理得出∠DBA＝∠DEB，再根据圆内接四边形的性质得出 ∠DBA+∠DEA＝180°， 再根据邻补角的定义得出∠DEB+∠DEC＝180°，即可求出∠DEA＝∠DEC；
〔3〕 连接AM，ME，设⊙M的半径为r，得出OM＝8﹣r，利用勾股定理求出r＝5，得出⊙M 的半径为5，再根据圆周角定理得出∠EMA＝2∠ABE＝90°， 然后利用勾股定理即可得出AE的长.
24.【答案】 〔1〕解：∵点A〔﹣1，0〕，C〔4，0〕，∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，∴B〔4，5〕，
把A〔﹣1，0〕和B〔4，5〕代入二次函数y＝x2+bx+c中得：
，解得： ，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
〔2〕解：如图1，∵直线AB经过点A〔﹣1，0〕，B〔4，5〕，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，解得： ，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，
∴设点E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2﹣2t﹣3〕，
∴EF＝〔t+1〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕＝﹣〔t﹣ 〕2+ ，
∴当t＝ 时，EF的最大值为 ，
∴点E的坐标为〔 ， 〕，
∴S△ABF＝ ＝ ＝ .
〔3〕解：存在， y＝x2﹣2x﹣3＝〔x﹣1〕2﹣4，∴设P〔1，m〕，
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝PA2 ，
∴〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2+〔4+1〕2+52＝〔1+1〕2+m2 ，
解得：m＝8，∴P〔1，8〕；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2＝PB2 ，
∴〔1+1〕2+m2+〔4+1〕2+52＝〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2 ，
解得：m＝﹣2，∴P〔1，﹣2〕；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2＝BA2 ，
∴〔1+1〕2+m2+〔4﹣1〕2+〔m﹣5〕2＝〔4+1〕2+52 ，
解得：m＝6或﹣1，∴P〔1，6〕或〔1，﹣1〕；
综上，点P的坐标为〔1，8〕或〔1，﹣2〕或〔1，6〕或〔1，﹣1〕.
【解析】【分析】〔1〕求出点B的坐标，再把点A，B的准备带入抛物线的解析式，求出b，c的值，即可求出抛物线的解析式；
〔2〕利用待定系数法求出直线的解析式为y＝x+1， 设点E〔t，t+1〕，那么F〔t，t2﹣2t﹣3〕，得出 EF=-〔t﹣ 〕2+ ， 根据二次函数的性质得出当t＝ 时，EF的最大值为 ，从而得出点E的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解；
〔3〕 设P〔1，m〕， 分三种情况讨论： ①以点B为直角顶点时， ②以点A为直角顶点时， ③以点P为直角顶点时， 分别根据勾股定理列出方程，解方程求出m的值，即可求解.
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