2021年山东省济南市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年山东省济南市九年级上学期数学期中试卷含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下关于x的方程是一元二次方程的是〔    〕
A. ax2＋bx＋c＝0                  B. x2＋2x＝                   C. 〔a2＋1〕x2＝0                  D. x2＋y2＝1
2.如下列图的几何体，它的俯视图是〔   〕

A.                      B.                      C.                      D. 
3.一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得〔    〕
A. 〔x＋3〕2＝3                B. 〔x﹣3〕2＝3                C. 〔x＋3〕2＝12                D. 〔x﹣3〕2＝12
4.在一个不透明的袋子中装有假设干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为〔    〕
A. 5个                                       B. 6个                                       C. 7个                                       D. 8个
5.如图，两条直线被第三条平行所截， ， ， ，那么 的长为〔   〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
6.线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC的长为〔    〕
A. 5﹣                              B.                              C. 15﹣3                              D. 5 ﹣5
7.函数 与 〔 〕在同一平面直角坐标系的图象可能是〔    〕
A.                                           B.                        
C.                                           D. 
8.如下列图，在一边靠墙〔墙足够长〕的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，假设设栅栏AB的长为x米，那么以下各方程中，正确的选项是〔    〕

A. x〔55﹣x〕＝375     B. x〔55﹣2x〕＝375     C. x〔55﹣2x〕＝375     D. x〔55﹣x〕＝375
9.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，那么△ABC的面积为〔    〕

A. 61                                         B. 62                                         C. 63                                         D. 64
10.点A〔﹣1，y1〕、B〔﹣2，y2〕、C〔3，y3〕都在反比例函数y＝ 的图象上，那么y1、y2、y3的关系是〔    〕
A. y2＞y1＞y3                       B. y2＞y3＞y1                       C. y3＞y1＞y2                       D. y3＞y2＞y1
11.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，假设盲区EB的长度是6米，那么车宽FA的长度为〔    〕米．

A.                                         B.                                         C.                                         D. 2
12.如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点， ＝ ，那么 的值为〔    〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题
13.假设 = ，那么 =       ．
14.关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是       ．
15.如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是〔6，2〕，△OAB和△OCD的相似比为2：1，那么点D的坐标为       ．

16.如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，那么旗杆和标杆之间距离CE长      米．

17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为       ．

18.一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝ 的图象交于点A〔1，a〕，点O为坐标原点，射线OA交反比例函数y＝ 的图象于点B，假设 ，那么m的值为       ．
三、解答题
19.解方程：
〔1〕﹣4x﹣3＝0；
〔2〕2x〔x﹣1〕＝x﹣1
20.如图， ， ， ， ，求BD和BC的长．

21.2021年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯穿．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯穿．

〔1〕一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为________；
〔2〕当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
22.2021年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为〞超级传播者〞．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
〔1〕请判断最初的这名病毒携带者是〞超级传播者〞吗？求他每轮传染的人数；
〔2〕假设不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
23.如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动〔不与端点重合〕，过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．

〔1〕证明：△ADF∽△DCE；
〔2〕当CF＝1时，求EC的长．
24.定义：假设两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程〞．例如x2＝4和〔x﹣2〕〔x＋3〕＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程〞．
〔1〕根据所学定义，以下方程属于“同伴方程〞的有________；〔只填写序号即可〕
①〔x﹣1〕2＝9；②x2＋4x＋4＝0；③〔x＋4〕〔x﹣2〕＝0
〔2〕关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2＋3x＋m﹣1＝0为“同伴方程〞，求m的值；
〔3〕假设关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0〕同时满足a＋b＋c＝0和a﹣b＋c＝0，且与〔x＋2〕〔x﹣n〕＝0互为“同伴方程〞，求n的值．
25.如图，在平面直角坐标系中，点A〔2，m〕在正比例函数y＝ x〔x＞0〕的图象上，反比例函数y＝ 〔x＞0〕的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝ x〔x＞0〕的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．

〔1〕求该反比例函数的表达式；
〔2〕观察图象，请直接写出当x＞0时， x≤ 的解集；
〔3〕假设S△ABP＝1，求B点坐标；
〔4〕点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？假设存在，求出点Q坐标；假设不存在，请说明理由．
26.在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图1所示，∠C＝90°，点A与点D重合，点B与点E重合，CA＝kCB．

〔1〕操作发现：当k＝1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，发现此情况下线段BE和线段AD存在特殊的数量和位置关系：数量关系：________；位置关系：________；〔请直接写出答案〕
〔2〕问题产生：当k＝1时，如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转α〔0°＜α＜90°〕，连接BE、AD，在此情况下〔1〕中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；
〔3〕问题延伸：将〔2〕中的条件“k＝1〞调整为“k＝2〞，如图3，其它条件不变：
①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系；
②在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，假设BC＝1，求点C到直线AD的距离．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、当a≠0时，ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、a2＋1≠0，故〔a2＋1〕x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故答案为：C．

【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】俯视图是从上面看得到的图形，上面一层是3个正方形并排，下面一层是1个正方形靠左。
故答案为：D。
【分析】根据俯视图看到的图形进行判断即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：x2﹣6x＝3，
方程两边加上9得：x2﹣6x＋9＝12，
写成平方得形式：〔x﹣3〕2＝12.
故答案为：D．

【分析】方程两边加上9，再把方程左边写成完全平方的形式即可。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：设红球有x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x≈6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即红球有6个，
故答案为：B．

【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式再进行计算得出答案。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解： ，
，
， ， ，
，
，
．
故答案为：D．

【分析】根据平行线分线段比例得出， 将数据代入即可求出答案。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，AB＝10，
∴AC＝ AB＝ ×10＝5 ﹣5，
故答案为：D．

【分析】根据黄金分割的定义得出AC＝ AB，即可得出答案。
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：当k＞0时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，无符合的图象；
当k＜0时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B选项，
故答案为：B．
【分析】分两种情况，当k＞0时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限；当k＜0时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限；据此逐一进行分析即可.
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：设栅栏AB的长为x米，那么AD＝BC＝ 米，
根据题意可得， x〔55﹣x〕＝375，
故答案为：A．

【分析】设栅栏AB的长为x米，那么AD＝BC＝ 米，根据题意即可列出方程。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AD＝3BD，
∴ ，
∴ = ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积＝ ，
故答案为：D．

【分析】先求出， 再求出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵在反比例函数y＝ 中，k＝1＞0，
∴此函数图象在一、三象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A〔﹣1，y1〕，B〔﹣2，y2〕在第三象限，
∴y1＜y2＜0，
∵3＞0，
∴C〔3，y3〕点在第一象限，
∴y3＞0，
∴y1 ， y2 ， y3的大小关系为y3＞y2＞y1 ．
故答案为：D．

【分析】先根据函数解析式中的比例系数K，确定函数图像所在的象限，在根据各象限内点的坐标，特征及函数的增减性解答即可。
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，过点 作 ，垂足为 ，交 于点 ，那么 ，
设 米，由 得， ，

四边形 是矩形，
，
，
，
即 ，
，
，
，
解得， ，
故答案为： ．

【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可。
12.【答案】 B
【解析】【解答】解： 四边形 为矩形，
，
又 ，
， ，
，
，
，
设 ，
点 是 中点，
，
，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ．

【分析】由矩形的性质及得出， ， 进而判定， 根据相似三角形的性质得出比例式，设 ，用含a的式子分别表示出FC、BC，再计算  的值。
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = = ；
故答案为： ．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
14.【答案】 k＞﹣4
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×〔﹣k〕＞0，
解得：k＞﹣4.
故答案为k＞﹣4.

【分析】根据题意，利用根的判别式列出不等式求解即可。
15.【答案】 〔3，1〕
【解析】【解答】解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是〔6，2〕，
∴点D的坐标为：〔6× ，2× 〕即〔3，1〕．
故答案为：〔3，1〕．

【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点的坐标。
16.【答案】 24
【解析】【解答】解：如图，延长 交 的延长线于 ，设 米， 米．

由题意， 米， 米， 米．
，
，
，
，
解得 ，
经检验 是分式方程的解，
，
，
，
，
，
经检验 是分式方程的解，
〔米 ，
故答案为：24．

【分析】如图，延长 交 的延长线于 ，设 米， 米．利用相似三角形的性质分别求出x、y即可。
17.【答案】 2 或
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝ ＝ ＝4 ，
∵D为AB的中点，
∴AD＝ AB＝4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①假设△ADE∽△ABC，那么 ＝ ，
即 ，
解得AE＝2 ，
②假设△AED∽△ABC，那么 ＝ ，
即 ＝ ，
解得AE＝ ，
综上所述，AE的长为2 或 ．
故答案为：2 或 ．

【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据线段中点的定义求出AD，再根据两边对应成比例夹角相等，两个三角形相似，分两种情况列式求解即可。
18.【答案】 4
【解析】【解答】解：将点A的坐标代入一次函数和反比例函数表达式得： ，
解得 ，
故点A〔1，1〕，那么OA＝ ，
那么OA的表达式为y＝x，
假设 ，那么OB＝2 ，
设点B〔t，t〕，
那么OB＝ t＝2 ，解得t＝2，
故点B〔2，2〕，
将点B的坐标代入
得： ，
解得m＝4，
故答案为4.

【分析】求出点A的坐标，那么OA的表达式为y＝x，假设 ，那么OB＝2 ，设点B〔t，t〕，那么OB＝ t＝2 ，解得t＝2，故点B〔2，2〕，即可求解。
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：∵ ﹣4x＝3，
∴ ﹣4x＋4＝3＋4，
即 ＝7，
那么x﹣2＝ ，
∴ ＝2＋ ， ＝2﹣ ；

〔2〕解：∵2x〔x﹣1〕﹣〔x﹣1〕＝0，
∴〔x﹣1〕〔2x﹣1〕＝0，
那么x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得 ＝1， ＝0.5．
【解析】【分析】〔1〕利用配方法求解一元二次方程即可；
〔2〕先移项，再利用因式分解法求解即可。
 
 
20.【答案】 解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵ ，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
【解析】【分析】根据相似三角形的性质列出比例式带入计算即可。
21.【答案】 〔1〕
〔2〕解：根据题意画图如下：

共有9种等情况数，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种，
那么两名乘客选择不同闸口通过的概率是 ＝ ．
【解析】【解答】解：〔1〕∵有A、B、C三个闸口，
 
∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为 ；
故答案为： ；
【分析】〔1〕直接根据概率公式求解即可；
〔2〕根据题意先画出树状图，得出所有等可能情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，再根据概率公式即可得出答案。
 
22.【答案】 〔1〕解：设每人每轮传染 人，
依题意，得： ，得： ， 〔不合题意，舍去〕，
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者〞；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者〞；他每轮传染的人数8人

〔2〕解：81×〔1＋8〕＝729〔人〕，
所以假设不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【解析】【分析】〔1〕设每人每轮传染  人， 依题意得出关于x的一元二次方程，解之得出x的值，将其正值与10比较即可得出结论；
〔2〕根据经过3轮传染厚病毒携带者的人数=经过两轮传染后，病毒携带者的人数×〔1+每人每轮传染的人数〕即可求出结论。
 
 
23.【答案】 〔1〕解： 四边形 是矩形，
， ．
又 ，
， ，
；

〔2〕解： ，
，
， ，
，
， ，
，
．
【解析】【分析】〔1〕根据相似三角形的判定得出即可；
〔2〕根据相似三角形的性质解答即可。
 
24.【答案】 〔1〕①②
〔2〕解：一元二次方程 的解为 ， ，
当相同的根是 时，那么 ，解得 ；
当相同的根是 时，那么 ，解得 ；
综上， 的值为1或 ；

〔3〕解： 关于 的一元二次方程 同时满足 和 ，
关于 的一元二次方程 的两个根是 ， ；
的两个根是 ， ，
关于 的一元二次方程 与 互为“同伴方程〞，
或 ．
【解析】【解答】解：〔1〕①
 
解得： ， ，
② ，
解得： ，
③ ，
解得 ，
所以，属于“同伴方程〞的有①②
故答案是：①②；
【分析】〔1〕利用题中的新定义判断即可；
〔2〕根据题中的新定义，列出有关于M的方程，求出方程的解即可得到M的值；
〔3〕求出两个方程的根，根据“同伴方程〞的定义即可得出N的值。
25.【答案】 〔1〕解：当x＝2时，y＝ x＝3，故点A〔2，3〕，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝ ，解得k＝6，
故反比例函数表达式为y＝

〔2〕解：观察图象，请直接写出当x＞0时， x≤ 的解集为0＜x≤2
〔3〕解：设点B〔m， 〕，
那么S△ABP＝ ×BP×〔xB﹣xA〕＝ × ×|〔m﹣2〕|＝1，
解得m＝3或1.5〔舍弃〕，
故点B的坐标为〔3，2〕

〔4〕解：存在，理由：
设点Q的坐标为〔t， 〕，点P〔n，0〕，
∵△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故AP＝QP，∠APQ＝90°，
过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

∵∠APM＋∠QPN＝90°，∠QPN＋∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，AP＝QP，
∵△AMP≌△PNQ〔AAS〕，
∴AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝ 且t﹣n＝3，
解得t＝6，
故点Q〔6，1〕．
【解析】【分析】〔1〕用待定系数法求解即可；
〔2〕观察图像即可求解；
〔3〕S△ABP＝  ×BP×〔xB﹣xA〕＝  ×  ×|〔m﹣2〕|＝1，即可求解；
〔4〕证明△AMP≌△PNQ〔AAS〕，那么AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝  且t﹣n＝3，即可求解。
 
26.【答案】 〔1〕相等；垂直
〔2〕解：延长DA、BE交于点H，

由题意知，CB＝CA＝CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝90°，
∵∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△CBE和ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD〔SAS〕，
∴∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，
∵∠BEC＋∠HEC＝180°，
∴∠ADC＋∠HEC＝180°，
在四边形HECD中，∠ECD＝90°，
∴∠H＝90°，即BE⊥AD；
故〔1〕的结论成立；

〔3〕解：①如图2，连接AD交BE的延长线于点H，

由题意知： ，∠BCA＋∠ECD＝90°，
∵∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠EAC＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴ ，∠ADC＝∠BEC，
∵∠BEC＋∠HEC＝180°，
∴∠ADC＋∠HEC＝180°，
∵在四边形HECD中，∠ECD＝90°，
∴∠BHD＝90°，即BE⊥AD，
故BE＝ AD且BE⊥AD；

②如图3，过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，
由①知，∠B＝∠BEC＝∠CAD，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△BMC∽△DNC，
∴ ，
由三角形ABC的面积得：BC×AC＝CM×AB，
那么CM＝ ，
故CN＝ ，
即点C到直线AD的距离为 ．
【解析】【解答】解：〔1〕将△DCE绕点C顺时针旋转90°时，此时△ABD为等腰直角三角形，
 
故BE＝AD且BE⊥AD，
故答案为：相等，垂直；
【分析】〔1〕将△DCE绕点C顺时针旋转90°，此时△ABD为等腰直角三角形，即可求解；
〔2〕证明△BCE≌△ACD〔SAS〕，那么∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，而∠BEC＋∠HEC＝180°，那么∠ADC＋∠HEC＝180°，即可求解；
〔3〕①证明△BCE∽△ACD，那么  ， ∠ADC＝∠BEC，进而求解；②证明△BMC∽△DNC，那么  ， 进而求解。