2021年山西省孝义市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年山西省孝义市九年级上学期数学期中试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.“保护生态，人人有责〞．以下生态环保标志中，是中心对称图形的是〔   〕
A.       B.       C.       D. 
2.方程 的解是〔   〕
A.                       B.                       C.                       D. 
3.用配方法解方程 时，配方结果正确的选项是〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
4.将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2〔x+4〕2+1，以下平移正确的选项是〔    〕
A. 先向左平移4个单位，再向上平移1个单位           B. 先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C. 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位           D. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位
5.在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为〔   〕

6.点 ， ， 在函数 〔 为常数〕的图象上，那么 ， ， 的大小关系是〔   〕
A.                      B.                      C.                      D. 
7.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．如图2中的图案是由图1所示的根本图案以点 为旋转中心，顺时针〔或逆时针〕旋转角度 ，依次旋转五次而组成，那么旋转角 的值不可能是〔   〕

A. 36°                                     B. 72°                                     C. 144°                                     D. 216°
8.二次函数 的图象如下列图，那么以下结论正确的选项是〔   〕

A.                                                                                B. 
C. 关于 的方程 有两个相等的实数根     D. 
9.对于二次函数 〔 ， 是常数〕中自变量 与函数 的局部对应值如下表：

…

0
1
2
3
4
…

…
10
5
2
1
2
5
…
以下结论正确的选项是〔   〕
A. 函数图象开口向下                                              B. 当 时，
C. 当 时， 随 的增大而增大                     D. 方程 有两个不相等的实数根
10.日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律.小慧在2021年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数〔如图2〕，发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，那么这9个数中，中间的数 是〔   〕
日
一
二
三
四
五
六


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31













图1
图2
A. 17                                         B. 18                                         C. 19                                         D. 20
二、填空题
11.在平面直角坐标系中，点 与点 关于原点对称，那么点 的坐标是________．
12.关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么 的值是________．
13.“十三五〞时期，我国新型城镇化建设坚持以人的城镇化为核心，更加注重提升人民群众的获得感和幸福感．2021年，我国城镇常住人口到达84843万人，常住人口城镇化率为超过60%．以下列图是2021年—2021年我国城镇常住人口统计图.假设设2021年到2021年我国城镇常住人口的年平均增长率为 ，那么可列方程________．

14.如图，在 中， ， ， .将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，连接 ．那么 ________．

15.“卢沟晓月〞是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁.古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明〞于此，并题“卢沟晓月〞，立碑于桥头.卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 约为22米，假设按如下列图方式建立平面直角坐标系，那么主桥拱所在抛物线可以表示为 ，那么主桥拱最高点 与其在水中倒影 之间的距离为________米．

三、解答题
16.  
〔1〕求出抛物线 与 轴， 轴的交点坐标；
〔2〕抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求出该抛物线的函数关系表达式．
17.如图， 中， ， ， 与 交于点 ．求证 ．

18.利用如下列图正方形网格，解决以下问题．

实践操作：
〔1〕将 以点 为中心，顺时针旋转90°得到 ，画出 ；
〔2〕作出 关于 轴对称的 ．
观察发现：
〔3〕经过一次图形变化就可以得到 ，这种图形变化是________〔填“平移〞“旋转〞或“轴对称〞〕．
19.阅读以下材料，完成相应任务：
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法〞解一元二次方程，对于关于 的一元二次方程 ，还可以利用下面的方法求解．
将方程整理，得 .        ……………………第1步
变形得 .    ……………………第2步
得 .                ……………………第3步
于是得 ，即 .……第4步
当 时，得 .……………………第5步
得 ， .………………第6步
当 时，该方程无实数解. ……………………………第7步
学习任务：
〔1〕上述材料的第2步到第3步依据的一个数学公式是________；以第4步到第5步将一元二次方程“降次〞为两个一元一次方程，表达的数学思想主要是________．
〔2〕请用材料中提供的方法，解以下方程：
① ；② ．
20.图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到 ， ，且 ．于是他们抽象出如下两个数学问题：

〔1〕问题〔1〕：假设中间区域 的边 ，求 的长度；
〔2〕问题〔2〕：假设中间区域 的面积为 ，求 的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
21.新冠疫情发生以来，中国蓬勃开展的消费市场、数字经济成为经济开展新的增长点，短视频和直播带货等新零售的快速崛起，让中国互联网经济持续火爆．吕梁某乡镇农贸公司以“吕梁有好礼，金秋消费季〞为主题，开展直播带货活动，销售当地的一种特色农产品．公司在直播带货销售期间发现，该农产品每天的销售量 与销售单价 〔元 〕之间近似满足一次函数关系，其函数图象如下列图：

〔1〕求出 与 之间的函数关系式；
〔2〕假设该农产品的本钱价为10元/千克，该农贸公司每天销售该特产的利润为 元，求：当销售单价 为多少元/千克时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
22.综合与实践
问题情境
从“特殊到一般〞是数学探究的常用方法之，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．
如图1，在 中， ， ， 为 边上的中线， 为 上一点，将 以点 为旋转中心，逆时针旋转90°得到 ， 的延长线交线段 于点 ．探究线段 ， ， 之间的数量关系．

〔1〕数学思考
请你在图1中证明 ；
〔2〕特例探究
如图2，当 垂直于 时，求证： ；
〔3〕类比再探
请判断〔2〕的结论在图1中是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由．
23.综合与探究
如图，抛物线 经过点 ， ，与 轴交于另一点 〔点 在点 的右侧〕，点 是第四象限内抛物线上的动点．

〔1〕求抛物线的函数解析式及点 的坐标；
〔2〕假设 的面积为 ，请直接写出 关于 的函数关系表达式，并求出当 的值为多少时， 的值最大？最大值为多少？
〔3〕是否存在点 ，使得 ？假设存在，求出点 的坐标；假设不存在，请说明理由．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：D．

【分析】根据中心对称图形的含义，判断得到答案即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】 。
故答案为：D。

【分析】根据因式分解法解一元二次方程
3.【答案】 A
【解析】【解答】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为〔x﹣3〕2＝17，
故答案为：A ．
【分析】利用配方法把方程 变形即可.
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为〔0，0〕，
抛物线y＝2〔x+4〕2+1的顶点坐标为〔﹣4，1〕，
∵点〔0，0〕先向左平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点〔﹣4，1〕，
∴抛物线y＝2x2先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝2〔x+4〕2+1．
故答案为：A．
【分析】根据顶点的平移方向即可得答案.
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x〔x﹣1〕＝36，
故答案为：A ．
【分析】共有x个队参加比赛，那么每队参加〔x-1〕场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵y=-3〔x-2〕2+m，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=2，
A〔4，y1〕关于直线x=2的对称点是〔0，y1〕，
∵-3＜0＜1，
∴y2＞y1＞ y3
故答案为：D

【分析】根据二次函数的性质、对称轴，由三个点的横坐标，判断得到纵坐标的大小关系即可。
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形
∴ =n×72°〔0＜n≤5且n为正整数〕
∴不可能为36°
故答案为：A

【分析】根据旋转的性质，多边形的内角，计算得到答案即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故A选项不符合题意；
对称轴为x=- =1，得2a=-b，
∴2a+b=0，故B不符合题意；
由图像可得二次函数的图象与x轴有两个交点，故 有两个相等的实数根的说法不符合题意，故C不符合题意；
∵对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点得横坐标小于2，
∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故D符合题意；
【分析】开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定即可。
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：由表格可得：二次函数 的对称轴为：直线 ，
∴a=1>0，即开口向上，故A不符合题意；
当 时， ，故B符合题意；
当 时， 随 的增大而增大，故C不符合题意；
∵对称轴为：直线 ，
∴ ，解得：b=-4，
由表格得二次函数经过点 ，
∴c=5，
∴二次函数的解析式为： ，
∴ ，
∴二次函数与x轴没有交点，即方程 没有实数根；故D不符合题意；
故答案为：B．

【分析】根据二次函数自变量和函数值的变化关系，判断得到结论即可。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，
那么 ， ， ， ，
∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴ ，解得 ，取正数， ．
故答案为：C．

【分析】根据日历的特点，即可得到i=e+8，a=e-8，列出一元二次方程，求出e的值即可。
二、填空题
11.【答案】 〔-4，3〕
【解析】【解答】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴点 B 的坐标是〔-4，3〕，
故答案为：〔-4，3〕．

【分析】根据题意，由关于原点对称的点的坐标的性质，得到点B的坐标即可。
12.【答案】 0或4
【解析】【解答】解：由关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，那么有：
，解得： ；
故答案为：0或4．

【分析】根据题意，方程根的判别式等于0，求出k的值即可。
13.【答案】 81347〔1+x〕2=84843
【解析】【解答】解：由题意及图形可得：81347〔1+x〕2=84843；
故答案为81347〔1+x〕2=84843．

【分析】根据题意和图形，列出方程即可。
14.【答案】
【解析】【解答】解：∵将 以点 为中心，逆时针旋转60°，得到 ，
∴AC´=AC，∠CAC´=60°，
在 中， ， ， ，
∴AC=AB cos∠BAC=4×cos30°=4× = ，
∠BAC´=∠BAC+∠CAC´=90°，
∴AC´= ，
在Rt△BAC´中，∠BAC´=90°，AB=4，AC´= ，
．
故答案为： ．

【分析】根据旋转的性质得到AC'=AC，从而得到∠BAC'-∠BAC+∠CAC'=90°，根据余弦函数得到AC的值，从而得到AC的长，在三角形BAC中，根据勾股定理求出BC的长度即可。
15.【答案】 26
【解析】【解答】解：由题意知OA=22，抛物线经过点A(22，0)，代入解析式中：
得到： ，求得 ，
∴抛物线的顶点坐标为(11，13)，
∴主桥拱最高点 与其在水中倒影 之间的距离为2×13=26，
故答案为：26米．

【分析】根据OA的长度，即可得到抛物线经过点〔22,0〕，进而求出k的值，最高点P和水中倒影点P'的距离为2k。
三、解答题
16.【答案】 〔1〕解：当y＝0时， ，
解得x1＝1，x2＝3.
∴与x轴的交点为〔1，0〕，〔3，0〕.
当x＝0时，y＝－9．
∴与y轴的交点坐标为〔0，－9〕．

〔2〕解：设抛物线的函数关系表达式为y＝a〔x－2〕²－4．
把〔0，－1〕代入，得4a－4＝－1．
解得a＝ ．
所以抛物线的函数关系表达式为 ，
即 ．
【解析】【分析】〔1〕分别令x=0或y=0，即可得到抛物线与x轴和y轴的交点坐标；
〔2〕设出抛物线的顶点式，根据〔0，-1〕的坐标，求出答案即可。
17.【答案】 证明：∵ ，
∴CD = AB，
∴ CD- CA= AB - AC，
∴ AD = BC.
又∵∠A=∠C，∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB.
∴DP=BP.
【解析】【分析】根据题意，证明△APD≌△CPB，继而由全等三角形的对应边相等，求出DP=BP即可。
18.【答案】 〔1〕解：所作图形如下列图；


〔2〕解：所作图形如下列图；


〔3〕轴对称
【解析】【解答】解：〔3〕由〔1〕〔2〕图像可得 经过一次图形变化就可以得到 ，这种图形变化是轴对称；
故答案为：轴对称．

【分析】〔1〕以三角形ABC的三边，顺时针旋转得到图形即可；
〔2〕作出三角形ACB关于x轴对称的三个顶点的坐标，作出图形即可；
〔3〕根据轴对称的性质，即可得到答案。
19.【答案】 〔1〕平方差公式[或〔a+b〕〔a-b〕=a²-b²〕]；转化思想
〔2〕解：①整理，得
变形，得 ，
得
得
得
得x1=-1 ，x2=-9
②移项，二次项系数化为1，得
整理，得
变形，得
得
得
得
解得 ，
【解析】【分析】〔1〕根据平方差公式以及转化的数学思想，解出答案即可；
〔2〕直接根据题意中的求解方法得到答案即可。
20.【答案】 〔1〕解：∵四边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，BE=BF=DG=DH.
∴∠AEH=∠AHE=∠BEF=∠BFE=45°，∴∠HEF=90°.
同理∠EFG=∠FGH=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
设AE=xcm，那么BE=〔100-x〕cm.
根据勾股定理可得EH= xcm，EF= 〔100-x〕cm.
∴ 〔100-x〕=2 x.
解得x= .
答:AE的长度是 cm.

〔2〕解：设AE的长为tcm，由〔1〕可知，EH= tcm，EF= 〔100-t〕cm.
根据题意可得 〔100-t〕· t=4800.
整理，得t²-100t+2400=0.
解得t1=40，t2=60.
当t=40时，100-t=60.
当t-60时，100-t=40〔不会题意，舍去〕.
∴t=40.
答：AE的长度为40cm.
【解析】【分析】〔1〕根据正方形的性质，判断得到等腰直角三角形，即可推出四边形EFGH为矩形，设AE=x，根据勾股定理计算得到EH和EF的值，根据EF=2EH为等量关系，列出方程解得答案即可。
〔2〕设AE的长为x，根据勾股定理求出EH，EF，继而由EFGH的面积为4800为等量关系，列出方程即可。
21.【答案】 〔1〕解：设y与x的函数关系式是y=kx+b.
把〔14，640〕，〔30，320〕代入，得 .
解得k=-20，b=920.
∴y与x的函数关系式y=-20x+920.

〔2〕解：W=〔x-10〕〔-20x+920〕.
∵W=-20〔x-28〕²+6480.
∵-20＜0，∴当x=28时，W有最大值，最大值为6480.
答：当销售单价为28元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为6480元．
【解析】【分析】〔1〕设出一次函数的解析式，代入两个点的坐标，得到函数的解析式即可；
〔2〕根据利润的公式，列出方程，根据二次函数的最值，求出答案即可。
22.【答案】 〔1〕证明：根据旋转图形的性质，可得△AEC≌△BFC，
∴∠FBC=∠EAC．
又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，
∴∠BDP+∠FBC=90°，
∴∠BPD=180°-〔∠BDP+∠FBC〕=90°，
∴AP⊥BE．

〔2〕证明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，
∴四边形CEPF是矩形．
∵CE=CF   
∴四边形CEPF是正方形．
∴CE=EP=FP． 
又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°
∴△CED≌△BPD，
∴CE=BP．
∴EP+FP=2CE=2BP．

〔3〕解：成立．
理由如下：过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H．

∵△BFC由△AEC逆时针90°旋转得到，
∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．
∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，
∴∠CEG=∠CFH．
∵∠CGE=∠CHF=90°，
∴△CEG≌△CFH，
∴CH=CG，EG=FH．
 ∴EP+FP=GP+HP
∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，
∴四边形CGPH是正方形．
又〔2〕可知，GP+PH=2BP，
∴EP+PF=2BP．
【解析】【分析】〔1〕根据旋转的性质，即可得到△AEC≌△BFC，得到∠FBC=∠EAC，继而由三角形的内角和定理证明AP⊥BE即可；
〔2〕首先证明四边形CEPF为正方形，得到CE=FP，继而证明△CED≌△BPD，得到CE=BP，即可得到答案；
〔3〕过点C作CG⊥AD，垂足为G，CH⊥BP，垂足为H，根据〔1〕的方法证明得到答案即可。
23.【答案】 〔1〕解：把A〔0，4〕，B〔1，0〕代入 ，
得 ，
解得：b＝ ，c＝4，
∴抛物线的解析式为 ，
当y＝0时， ，
解得x1＝1，x2＝5，
∴点C的坐标为〔5，0〕.

〔2〕解：过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交AC于点E.，并标记点A到PE的距离为 、点C到PE的距离为 ，

∴S△APC＝S△APE＋S△PCE＝ ＝ ，
设直线AC的解析式为y＝kx＋d，
把点A〔0，4〕，C〔5，0〕代入y＝kx＋d，
得 ，解得k＝－ ，d＝4，
所以，直线AC的解析式为： ，
点E坐标可以表示为〔m， 〕，点P坐标表示为〔m， 〕，
所以， ＝ ，
S△APC＝ ＝ ，
S关于m的函数关系表达式为： 〔1＜m＜5〕，
∵ ＝ .
∴当m＝ 时，S的值最大，最大值为 .

〔3〕解：存在点P，使得∠PCO＝∠ACB，
当ED＝PD时，可得EC＝PC，这时∠PCO＝∠ACB.，
而点E坐标可以表示为〔m， 〕，点P坐标表示为〔m， 〕，
∴ED＝ ，PD＝ ，
∴ ＝ ，
解得：m＝2或m＝5〔舍去〕，
当m＝2时， ＝－ ，
∴点P的坐标为〔2，－ 〕.
【解析】【分析】〔1〕将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，令y=0，计算得到答案即可；
〔2〕根据题意，由三角形的面积公式，利用割补法求出面积即可；
〔3〕当ED=PD时，即可得到EC=PC，此时∠PCD=∠ACB，根据两点之间的距离公式列方程得到答案即可。