2021年浙江省宁波市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年浙江省宁波市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共23页。试卷主要包含了选择题〔每题4分，共40分〕，填空题〔每题5分，共30分〕，解答题(第17题6分，第18等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题〔每题4分，共40分〕
1.在 中，∠C=90°，sinA= ，那么tanA=〔   〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 
2.圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，那么该直线与圆O的位置关系是〔   〕
A. 相切                                 B. 相交                                 C. 相离                                 D. 以上都不对
3.线段 =1， =4，线段 是线段 ， 的比例中项，那么线段 的长度是〔   〕
A. 2                                        B.                                         C. 16                                        D. 
4.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝12，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D两点，那么△PCD的周长是〔   〕

A. 12                                         B. 18                                         C. 24                                         D. 30
5.以下说法中：⑴三点确定一个圆；⑵直径所对的圆周角是直角；⑶平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；⑷相等的圆心角所对的弧相等；⑸圆内接四边形的对角互补.其中正确的个数为〔   〕
A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
6.一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，那么n等于〔   〕
A. 180                                       B. 120                                       C. 90                                       D. 60
7.如图，在△ABC中， ， ， ，点F为边BC上一点，那么以下条件不能保证△FDB与△ADE相似的是〔   〕

A. ∠A=∠BFD                      B. DF//AC                      C.                       D. 
8.如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，假设CE=2BE，那么∠E的余弦值为 〔   〕

A.                                          B.                                          C.                                          D. 
9.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点G在CA的延长线上，GB=GE，假设BE+CG=10， ，那么AF的长为〔   〕

A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 2
10.如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，那么此圆的面积为〔   〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
二、填空题〔每题5分，共30分〕
11. 〔 为锐角〕，满足方程 ，那么 =________.
12.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，那么∠BDF的度数是________.

13.如图，AB是半圆O的直径，且AB=4，∠BAC＝30°，那么 的长为 ________.

14.如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC，BC于点D，E.作DF//BC交AB于点F，假设△ABC的面积为18，那么四边形BEDF的面积为________.

15.如图，在锐角△ABC中，AB= ，BC=4，∠C=45°.假设点D是AC边上的一点，将△BCD沿BD所在直线翻折得到△BDF，BF交AC于E，DF//AB，那么AC=________，DE=________.

16.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是对角线AC上的动点，点F是边BC上的动点，点P是半径为1的⊙B上的动点， 那么PE+EF的最小值为________.

三、解答题(第17题6分，第18、19题各9分，第20—22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分〕
17.计算：
18.⊙O的半径为r=2，弦AB= ，点B是 的中点， AB与CD交于点E.

〔1〕求圆心O到弦AB的距离；
〔2〕求∠AEC的度数.
19.如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们顶点都在格点上.
                      
        图1                                  
〔1〕△ABC与△DEF是否相似？请说明理由；
〔2〕请在空白网格上画出△MNP～△ABC，并指出相似比.△MNP～△ABC ,相似比为________〔要求△MNP三个顶点都在格点上，并与△ABC、△DEF都不全等〕
20.如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上.

〔1〕求DM的长.
〔2〕求旗杆AB的高度.〔结果保存根号〕
21.如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60m，拱高PD=18m.

〔1〕求圆弧所在的圆的半径r的长.
〔2〕当洪水泛滥到跨度只有30m时，要采取紧急措施，假设拱顶离水面只有4m，即PE=4m时，是否要采取紧急措施？
22.如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC= ，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限.点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t〔秒〕.请解答以下问题：
备用图
〔1〕当CP⊥OA时，求t的值；
〔2〕以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切,且切点不在菱形的边上时，求出t的值.
23.定义：假设一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，那么称这个四边形为“友爱四边形〞，这条对角线叫“友爱线〞.

〔1〕如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与四边形ABCE，其中是被AC分割成的“友爱四边形〞的是  ________；
〔2〕如图2，四边形ABCD是“友爱四边形〞，对角线AC是“友爱线〞，同时也是∠BCD的角平分线，假设△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，求友爱四边形ABCD的周长；
〔3〕如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为 ，点D是∠ABC的平分线上一点，连接AD，CD.假设四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形〞，求BD的长.
24.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，CD⊥AB于D，P为AB延长线上一点，∠BCP=∠BCD.

〔1〕求证：PC是⊙O的切线；
〔2〕点E是⊙O上一点，∠ACE=2∠BCP，延长CD交BE于F，CF=10.
①求CP的长；
②假设BE=9，求⊙O的半径.

答案解析局部
一、选择题〔每题4分，共40分〕
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图

在Rt△ABC中，∠C=90°
∴ 
设BC=4x，那么AB=5x，
∴
∴.
故答案为：D.
【分析】利用锐角三角函数的定义可得到BC与AB的比值，设BC=4x，那么AB=5x，利用勾股定理求出AC的长；然后利用锐角三角函数的定义求出tanA的值。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，
∴4＞3即d＞r，
∴该直线与圆O相离.
故答案为：C.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；由此可得答案。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵线段a=1，c=4，线段b是线段a，c的比例中项，
∴b2=ac
∴b2=4
解之：b=2〔取正值〕.
故答案为：A.
【分析】利用线段b是线段a，c的比例中项，可得到b2=ac，然后代入求值。

4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长：PC+CE+PD+DE=PC+AC+PD+DB=PA+PB=12+12=24.
故答案为：C.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，再证明△PCD的周长就是PA+PB的长，然后代入计算。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故〔1〕错误；
直径所对的圆周角是直角，故〔2〕正确；
平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故〔3〕错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故〔4〕错误；
圆内接四边形的对角互补，故〔5〕正确；
∴正确的结论的序号为：〔2〕和〔5〕一共2个.
故答案为：B.
【分析】利用不在同一直线上的三点确定一个圆，可对〔1〕作出判断；利用圆周角定理，可对〔2〕作出判断；利用垂径定理可对〔3〕作出判断；利用圆心角，弧，弦之间的关系定理，可对〔4〕作出判断；利用圆内接四边形的性质，可对〔5〕作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：
解之：n=90°.
故答案为：C.
【分析】利用扇形的面积公式及圆的面积公式，建立方程，解方程求出n的值。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、∵AC=3AD，AB=3AE
∴
∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ADE，
∴∠B=∠AED
∴当∠A=∠BFD时，△FDB∽△ADE，故A不符合题意；
B、当DF∥AC时
∴∠BDF=∠A，
∵∠B=∠AED
∴△FDB∽△ADE，故B不符合题意；
C、当， 不能证明△FDB∽△ADE，故C符合题意；
D、∵， ∠B=∠AED
∴△FDB∽△ADE，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用可证得△ABC和△ADE的两边对应成比例，再根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质，可得到∠B=∠AED，再由∠A=∠BFD，可推出△FDB∽△ADE，可对A作出判断；利用平行线的性质，可证得∠BDF=∠A，∠B=∠AED，可得到△FDB∽△ADE，可对B作出判断；根据C选项不能证明△FDB∽△ADE，可对C作出判断；然后根据两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，可知△FDB∽△ADE，可对D作出判断。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OC，

∵CE是圆O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵CE=2BE
设BE=x，那么CE=2x，
设OC=OB=r，那么OE=r+x，
∴OC2+CE2=OE2
∴r2+〔2x〕2=〔r+x〕2
解之：
∴
∴.
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用切线的性质可得到∠OCE=90°，设BE=x，那么CE=2x，用含x，r小的代数式表示出OE，利用勾股定理建立方程，就看求出r的值，再求出OE的长，然后利用锐角三角函数的定义求出∠E的余弦值。
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：过点G作GH⊥BC于点H，

∴∠GHC=90°
∵
设AG=3a，BE=2a，EC=x，
∵△ABC和△DEC是等边三角形，  
∴∠C=∠DEC=∠ABC=60°，
∴DE∥AB
∴∠HGC=90°-∠C=90°-60°=30°，
∴GC=2CH
∵GB=GE，GH⊥BC，                                                                                                                        
∴BH=HE，
∴，
∴即
∴
解之：x=3a
∴CE=3a.
∴CG=AC+AG=BE+CE+AG=2a+3a+3a=8a.
那么BE+CG=2a+8a=10
解之：a=1.
∵AF∥DE
∴
∴.
故答案为：C.
【分析】过点G作GH⊥BC于点H，利用条件设AG=3a，BE=2a，EC=x，利用等边三角形的性质，可证得∠C=∠DEC=∠ABC=60°，同时可求出∠HGC=30°，利用直角三角形的性质可证得GC=2CH，利用等腰三角形的性质，可证得BH=HE，然后建立关于a，x的方程，解方程求出x的值，即可得到CE的长，从而可求出CG的长，根据BE+CG=10，建立关于a的方程，解方程求出a的值；然后根据平行线分线段成比例定理可求出AF的长。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：过点O作OM⊥AB于点M，过点O作⊥CN于点N。连接OC，OA，

∴AM=BM=2，
设OF=x，OA=OC=r，那么OM=8+x，NC=8-x，ON=2+4=6,
在Rt△AOM和Rt△ONC中
OA2=OM2+AM2 ， OC2=ON2+NC2,
∴r2=〔8+x〕2+22 ， r2=〔8-x〕2+62 ，
解之：r=， x=1
∴圆的面积为.
故答案为：B.
【分析】过点O作OM⊥AB于点M，过点O作⊥CN于点N。连接OC，OA，利用垂径定理求出AM，BM的长，设OF=x，OA=OC=r，可表示出OM，NC，ON的长，在Rt△AOM和Rt△ONC中，利用勾股定理建立关于x，r的方程组，解方程组求出r，x的值；然后利用圆的面积公式可求出此圆的面积。
二、填空题〔每题5分，共30分〕
11.【答案】
【解析】【解答】解：〔3x-2〕〔x-1〕=0
∴3x-2=0或x-1=0
解之：
∵sinα〔α为锐角〕是原方程的根，
∴0＜sinα＜1
∴sinα=.
故答案为：.
【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据0＜sinα＜1，可得到sinα的值。
12.【答案】 54°
【解析】【解答】解：连接OC，OD，

∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是直径，
∴BC=DC，AF⊥CD
∴∠CBD=∠CDB
∴∠BCD=〔5-2〕×180°÷5=108°，∠COD=360°÷5=72°
∴∠COF=∠COD=36°，∠CDB=〔180°-108°〕÷2=36°
∵弧CF=弧CF，
∴∠CDF=∠COF=×36°=18°.
∴∠BDF=∠CDF+∠CDB=18°+36°=54°.
故答案为：54°.
【分析】连接OC，OD，利用五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是直径，可证得BC=DC，AF⊥CD，利用等腰三角形的性质可证得∠CBD=∠CDB，从而可求出∠BCD，∠COD的度数，由此可求出∠COF的度数，∠CDB的度数；再利用圆周角定理求出∠CDF的度数；然后根据∠BDF=∠CDF+∠CDB，就可求出∠BDF的度数。
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵OC=OA，
∴∠A=∠C=30°，
∴∠COB=∠A+∠C=30°+30°=60°，
∴ 的长为.
故答案为：.
【分析】利用等腰三角形的性质可求出∠C的度数，利用三角形的外角的性质求出∠COB的度数；然后利用弧长公式可求出弧AC的长。
14.【答案】 8
【解析】【解答】解：延长CP交AB于M．

∵点P是△ABC的重心，
∴CP：PM＝2：1，
∵DE∥AB，
∴CE：BE=CP：PM=AD：CD＝2：1，
∴AD：CD＝1：2，
∴CE：CB＝2：3，AD：AC＝1：3，
∵ED∥AB，DF∥BC，
∴△CED∽△CBA，△AFD∽△ABC，
∴S△CED＝×S△ABC＝8，S△AFD＝×S△ABC＝2，
∴S平行四边形BEDF＝S△ABC−S△CED−S△AFD＝18−8−2＝8．
【分析】延长CP交AB于M．利用三角形的重心定理可证得CP：PM＝2：1，利用平行线分线段成比例定理去证明CE：CB＝2：3，AD：AC＝1：3，同时可证得△CED∽△CBA，△AFD∽△ABC；然后利用相似三角形的性质可求出△CED和△AFD的面积，由此可求出四边形BEDF的面积。
15.【答案】 ；
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥AC于点G，

∴∠BGC=90°
∵∠C=45°，
∴∠C=∠GBC=45°，
∴BG=CG
∴2BG2=BC2即2BG2=16
解之：BG=CG=.
在Rt△ABG中

∴;
∵将△BCD沿BD所在直线翻折得到△BDF，BF交AC于E，DF//AB，   
∴∠C=∠F=∠ABE，∠FBD=∠DBC
∵∠A=∠A
∴△ABE∽△ACB，
∴即
解之：；
∵∠ABD=∠ABE+∠FBD，∠ADB=∠C+∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD=
∴.
故答案为：， .
【分析】过点B作BG⊥AC于点G，利用条件即勾股定理可求出BG，CG的长，利用勾股定理求出AG的长，由此可得到AC的长；再利用折叠的性质，可得到∠C=∠F=∠ABE，∠FBD=∠DBC，利用相似三角形的判定定理证明△ABE∽△ACB，利用相似三角形的性质求出AE的长；然后证明∠ABD=∠ADB，利用等角对等边可求出AD的长，由此可求出DE的长。

 
16.【答案】
【解析】【解答】解：将△ABC沿AC折叠，点B落在B1处，过点B作BH⊥CB1于点H，交AC于点E1 ， 过点E1作E1F1⊥BC于点F1

∴AC平分∠BCB1 ， ∠1=∠2
∴E1F1=E1H
∴PE+EF=P1E+E1H=PH，
利用两点之间线段最短，可知此时PE+EF的值最小.  
∵∠2+∠3=90°，∠1+∠5=90°，∠3=∠4
∴∠3=∠5=∠4
∴AB=BE1=3
∵∠1=∠1，∠E1F1C=∠ABC=90°
∴△E1F1C∽△ABC
∴即
设E1F1=3x，CF1=4x
∴BF1=4-4x，
在Rt△BE1F1中
E1F12+BF12=BE12
∴〔3x〕2+〔4-4x〕2=9
解之：x1=1，x2=
∴E1F1=
∴PH=BE1-BP+E1F1==.
故答案为：.
【分析】将△ABC沿AC折叠，点B落在B1处，过点B作BH⊥CB1于点H，交AC于点E1 ， 过点E1作E1F1⊥BC于点F1 ， 利用角平分线的性质易证E1F1=E1H，由此可推出PE+EF=P1E+E1H=PH， 利用垂线段最短可知此时PE+EF的值最小；再利用相似三角形的判定可证得△E1F1C∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设E1F1=3x，CF1=4x，可表示出BF1 ， 利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到E1F1的长；然后求出PH的长即可。
三、解答题(第17题6分，第18、19题各9分，第20—22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分〕
17.【答案】 解：原式=
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的乘法法那么进行计算，然后利用合并同类二次根式。
18.【答案】 〔1〕解：过点O作OG⊥AB于点G，连接OB交CD于点F，

∴.
在Rt△BGO中
.
∴圆心O到弦AB的距离为1.
〔2〕解：连接OB交CD于点F，
在Rt△OBG中，OB=2，OG=1
OG=OB
∴∠B=30°，
∵ 点B是 的中点，
∴OB⊥CD
∴∠EFB=90°
∴∠AEC=∠FEB=90°-∠B=90°-30°=60°.
【解析】【分析】〔1〕过点O作OG⊥AB于点G，连接OB交CD于点F，利用垂径定理可求出BG的长，再利用勾股定理求出OG的长。
〔2〕连接OB交CD于点F，在Rt△OBG中，可求出∠B=30°，再利用垂径定理可证得∠EFB=90°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AEC的度数。

19.【答案】 〔1〕结论：△ABC∽△DEF
∵

∴
∴，
∴△ABC∽△DEF.
〔2〕
【解析】【解答】解：〔2〕如图


∴
∴
∴△MNP～△ABC .
故答案为：.
【分析】〔1〕利用勾股定理分别求出DE，DF，FE，AB，CB，AC的长，然后求出两个三角形对应的三边之比，由此可证得这两个三角形的三边对应成比例，由此可作出判断。
〔2〕根据△ABC的形状画出△MNP，再利用勾股定理求出△MNP的三边长；然后证明这两个三角形的三边对应成比例，由此可证得结论。
20.【答案】 〔1〕解：∵斜坡CM的坡比i＝1：3，CD=2
∴
∴MD=2×3=6.
答:DM的长为6m.
〔2〕解：过点C作CF⊥AB于点F，

由题意可知∠AMB=60°，∠ACF=30°，
∴∠BAM=30°，
∴AM=2BM
设BM=xm，那么AM=2x，BD=x+6   
在Rt△ABM中

∴AF=
∵∠CDM=∠B=∠CFB=90°，
∴四边形BDCF是矩形，
∴BF=CD=2，CF=BD=x+6
在Rt△ACF中
即
解之：x=
∴.
答：旗杆AB的高度为m.
【解析】【分析】〔1〕利用坡度的定义可求出MD的长。
〔2〕过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知∠AMB=60°，∠ACF=30°，利用直角三角形的性质，可证得AM=2BM，设BM=xm，那么AM=2x，BD=x+6 ，利用勾股定理用含x的代数式表示出AB的长，由此可得到AF的长；再证明四边形BDCF是矩形，利用矩形的性质可推出BF=CD=2，CF=BD=x+6，在Rt△ACF中，利用解直角三角形求出x的值，即可得到AB的长。
21.【答案】 〔1〕解：连接OA，设圆弧的半径为r，

由题意得：AD＝AB＝30〔米〕，OD＝r−18.
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302＋〔r−18〕2 ，
解之：r＝34.
〔2〕解：连结OA′，
∵OE＝OP−PE＝34-4=30，
在Rt△A′EO中，A′E2＝A′O2−OE2即A′E2＝342−302 ，
解之：A′E＝16．
∴A′B′=2A′E＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【解析】【分析】〔1〕连接OA，利用垂径定理求出AD的长，用含r的代数式表示出OD的长，在Rt△ADO中，利用勾股定理建立关于r的方程，解方程求出r的长。
〔2〕连结OA′，可求出OE的长，在Rt△A′EO中，利用勾股定理求出A′E的长，利用垂径定理求出A′B′的长，据此可作出判断。
22.【答案】 〔1〕解：过点P作CP⊥x轴于点P,


,
∴CP=4.
在Rt△OCP中
∴.
∵点P的运动速度为每秒1个单位。
∴t=3÷1=3.
〔2〕解：设切点为G，连接PG，
当P在OA上时，

⊙P与直线AB相切，
∴PG⊥AB
∵点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t〔秒〕，
∴OP=PG=t，那么PA=5-t，
∵OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAG，
∴，
∴，
∴；
当⊙P与直线BC相切时，如图，

∴PG⊥BC，
∵BC∥AO，
∴∠AOC＝∠GCP，
∴   
∵OP＝PG＝20−t，
∴
∴，
∴t的值为或
【解析】【分析】〔1〕过点P作CP⊥x轴于点P,利用解直角三角形求出CP的长，再利用勾股定理求出OP的长，然后根据点P的运动速度，就可求出t的值。
〔2〕设切点为G，连接PG，根据当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切,且切点不在菱形的边上时，分情况讨论：当P在OA上时，利用切线的性质可知PG⊥AB，利用平行线的性质可求出∠PAG的度数，利用点P的运动速度及方向，可用含t的代数式表示出PG，PA的长；利用解直角三角形建立关于t的方程，解方程求出t的值； 当⊙P与直线BC相切时，如图，同理可证∠AOC＝∠GCP，用含t的代数式表示出PG，PC的长；再利用解直角三角形建立关于t的方程，解方程求出t的值。
23.【答案】 〔1〕四边形ABCE
〔2〕解：∵AC是∠BCD的角平分线，
∴∠ACD=∠ACB
∵四边形ABCD是“友爱四边形〞，对角线AC是“友爱线〞，
∴△ACD∽△BCA
∴即,
解之：
∴四边形ABCD的周长为：.
〔3〕解：过点A作AM⊥BC于M，


在Rt△ABM中，∠ABC=60°，
∴AM＝AB•sin∠ABC=AB•sin∠60°＝AB，
∵△ABC的面积为，
∴即
∴BC•AB＝12，
∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形〞，且AB≠BC，
∴△ABD∽△DBC
∴
∴BD2＝AB•BC＝12，
解之：
答：BD的长为.
【解析】【解答】解：〔1〕∵AB=2，BC=1，AD=4.

,
∴
∴△ABC∽△EAC，
∴四边形ABCE是“友爱四边形〞
∵
∴四边形ABCD不是“友爱四边形〞.
故答案为：四边形ABCE.
【分析】〔1〕利用勾股定理分别求出AC，CD，AB，CE的长，再证明△ABC和△EAC的三边对应成比例，由此可证得△ABC∽△EAC，据此可证得结论；可得到四边形ABCD不是“友爱四边形〞。
〔2〕利用角平分线的定义可证得∠ACD=∠ACB，再根据“友爱四边形〞的定义可证得△ACD∽△BCA；再利用相似三角形的三边对应成比例，就可求出AD，CD的长；然后求出四边形ABCD的周长。
〔3〕过点A作AM⊥BC于M，利用解直角三角形求出AM和AB之间的数量关系，再利用△ABC的面积公式可求出BC•AB的值；再根据“友好四边形〞可知△ABD∽△DBC，利用相似三角形的性质可求出BD的长。
24.【答案】 〔1〕证明：连接OC，

∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠CDB=90°
∵OC=OB，∠BCP=∠BCD
∴∠OCB=∠CDB
∴∠BCP+∠OCB=90°即∠OCP=90°
∴OC⊥CP，OC是半径，
∴PC是圆O的切线.
〔2〕解：①∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠BCF=90°
∴∠A=∠BCF=∠BCP=x，
∵
∴∠A=∠E=x，
∵
∴∠ACE=∠ABE=2x
∵CD⊥AB，
∴∠BDF=∠CDB=90°
∴∠P=90°-∠DCP=90°-2x，∠CFB=90°-∠ABE=90°-2x,
∴∠P=∠CFB
在△PCB和△FCB中

∴△PCB≌△FCB〔AAS〕
∴CP=CF=10.
② 连接AE，                        

∵∠COP=∠A+∠ACO=2x
∴∠COP=∠ABE
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠OCP=90°
∴△AEB∽△PCO
∴
设圆的半径为r
∴
解之：r=7.5〔取正值〕
∴圆的半径为7.5.
【解析】【分析】〔1〕连接OC，利用垂直的定义可证得∠BCD+∠CDB=90°，∠OCB=∠CDB；结合推出∠OCP=90°，然后利用切线的判定定理可证得结论。
〔2〕利用圆周角定理可得到∠ACB=90°，利用余角的性质可证得∠A=∠BCF=∠BCP=x，利用同弧所对的圆周角相等，可得到∠A=∠E=x，∠ACE=∠ABE=2x；再证明∠P=∠CFB，利用AAS证明△PCB≌△FCB，利用全等三角形的对应角相等，可求出CP的长；② 连接AE，易证∠COP=∠ABE，利用圆周角定理可得到∠AEB=∠OCP，由此可证得△AEB∽△PCO，利用相似三角形的对应边成比例，建立关于r的方程，解方程求出r的值。