2021年天津河北区九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年天津河北区九年级上学期数学期中试卷含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下列图形中，是中心对称图形的是〔   〕
A.          B.          C.          D. 
2.平面直角坐标系内，与点 关于原点对称的点的坐标是〔   〕
A.                               B.                               C.                               D. 
3.抛物线 的顶点坐标为(        )
A. (-2, 2)                                 B. (2, -2)                                 C. (2, 2)                                 D. (-2, -2)
4.将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物线解析式为〔   〕
A.             B.             C.             D. 
5.参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有 个队参加比赛，那么以下方程正确的选项是〔   〕
A.                 B.                 C.                 D. 
6.函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a〔a是常数，且a≠0〕在同一直角坐标系中的图象可能是〔   〕
A.                                        B.   
C.                                        D. 
7.如图， 经过圆心 ， 于 ，假设 ， ，那么 所在圆的半径为〔   〕

A.                                           B.                                           C. 3                                          D. 4
8.如图， 、 、 是 的切线，切点分别是 、 、 ， 分别交 、 于 、 两点，假设 ，那么 的度数〔   〕

A. 50°                                       B. 60°                                       C. 70°                                       D. 75°
9.如图，点E在正方形 的边 上，将 绕点A顺时针旋转 到 的位置，连接 ，过点A作 的垂线，垂足为点H，与 交于点G.假设 ， ，那么 的长为〔   〕

A.                                          B.                                          C. 4                                         D. 
10.抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2.抛物线与x轴的一个交点在点〔﹣4，0〕和点〔﹣3，0〕之间，其局部图象如下列图，以下结论中正确的个数有〔   〕
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac.

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题
11.假设函数 是二次函数，那么m的值为________．

12.函数 ，当函数值 随 的增大而减小时， 的取值范围是________．
13.如图，设A(-2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，那么y1 ， y2 ， y3的大小关系为________(用“>〞连接)．

14.如图，将 绕点 逆时针旋转得到 ．假设 落到 边上， ，那么 的度数为________．

15.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度增加了________米．

16.如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB ， CD＝8．AB＝10，那么CD与AB之间的距离是________．

17.以 为中心点的量角器与直角三角板 如下列图摆放，直角顶点 在零刻度线所在直线 上，且量角器与三角板只有一个公共点 ，假设点 的读数为135°，那么 的度数是________．

18.如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 、 两点， 是该直线上的任一点，过点 向以 为圆心， 为半径为 作两条切线，切点分别为 、 ，那么四边形 面积的最小值为________．

三、解答题
19.解方程： ．
20.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕两点．

〔1〕求抛物线的解析式和顶点坐标；
〔2〕当0＜x＜3时，求y的取值范围．
21.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

〔1〕求证：AC平分∠DAB；
〔2〕假设CD=4，AD=8，试求⊙O的半径．
22.某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：假设这种牛奶的售价每降价1元，那么每月的销意将增加10箱，设每箱牛奶降价x元〔x为正整数〕，每月的销量为y箱．
〔1〕写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
〔2〕超市要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，那么每箱牛奶的定价应是多少钱？
23.在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点 ，以点A为旋转中心，把 顺时针旋转，得 .

〔Ⅰ〕如图①，当旋转后满足 轴时，求点C的坐标.
〔Ⅱ〕如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标.
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，边 上的一点P旋转后的对应点为 ，当 取得最小值时，求点P的坐标〔直接写出结果即可〕
24.如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 经过点 ，点 ，且交 轴于另一上点 ．

〔1〕直接写出点 ，点 ，点 的坐标及抛物线的解析式；
〔2〕在直线 上方的抛物线上有一点 ，求三角形 面积的最大值及此时点 的坐标；
〔3〕将线段 绕 轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，假设线段 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求 的取值范围〔直接写出结果即可〕．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：C．

【分析】由中心对称图形的含义判断得到答案即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】与点P〔−3，2〕关于原点对称的点的坐标是〔3，−2〕，
故答案为：A．

【分析】根据关于原点对称的点的坐标的性质，求出答案即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】∵抛物线y=(x−2)2+2，
∴抛物线y=(x−2)2+2的顶点坐标为：(2,2)，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：将抛物线 向左平移4个单位，可得：
再把 向下平移1个单位得到的抛物线为：
故答案为：D．

【分析】根据二次函数的性质以及平移的性质，得到抛物线的解析式即可。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：每个球队都要和除自己以外的球队比一场，
∴一共是 场，
但是其中有重复的，
∴实际上是 场，
可以列式 ．
故答案为：C．

【分析】设有x个队参赛，根据参加一次比赛的每两队之间进行两场比赛，共要比赛90场，列出方程即可。
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，应选项错误；
B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，应选项错误；
C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ ＞0，应选项正确；
D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣ ＜0，应选项错误．应选C．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
7.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，连接OD，设半径为r，那么OM=6-r

∵
∴MD= CD=2
在Rt△MOD中，OD=r，OM=6-r，MD=2
∴ ,即 ，解得r= ．
故答案为A．

【分析】连接OC，设弧CED所在的圆的半径为R，那么OC=R，OM=6-R，根据垂径定理求出CM，继而由勾股定理列出方程，即可得到答案。
8.【答案】 B
【解析】【解答】如图，连接AO ， BO ， OE ，

∵PA、PB是O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90∘，
∵ ，
∴ ，
∵PA、PB、CD是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ECO ， ∠DBO=∠DEO ，
∴∠AOC=∠EOC ， ∠EOD=∠BOD ，
∴ ，
故答案为：B.

【分析】根据切线的性质即可得到∠PAO=∠PBO=90°，继而由和四边形的内角和求出∠AOB的度数，根据切线长定理求出∠COD的度数即可。
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵ ，
∴BC=BG+GC=2+3=5
∵正方形
∴CD=BC=5
设DE=BF=x，那么CE=5-x，CF=5+x
∵AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°
∴∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°
∴∠HFG=∠BAG
∴△ABG∽△CEF
∴ ,即 ，解得x=
∴CE=CD-DE=5- = .
故答案为：B.
【分析】根据正方形性质和条件可知BC=CD=5,再由旋转可知DE=BF,设DE=BF=x，那么CE=5-x，CF=5+x，然后再证明△ABG∽△CEF，根据相似三角形的性质列方程求出x，最后求CE即可.
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在〔﹣3，0〕和〔﹣4，0〕之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在〔﹣1，0〕和〔0，0〕之间，
∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为〔﹣2，3〕，
∴抛物线与直线y＝2有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为〔﹣2，3〕，
∴ ＝3，
∴b2+12a＝4ac，
∵4a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴b2+3b＝4ac，
∵a＜0，
∴b＝4a＜0，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的对称轴x=可得4a﹣b＝0；
②由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x＝﹣1时y＞0可得a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，整理得c＞3a；
③由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为〔﹣2，3〕可知抛物线与直线y＝2有两个交点，由一元二次方程的根的判别式可得关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；
④根据抛物线的顶点的纵坐标为3得到＝3，结合①的结论可得b2+2b＞4ac.
二、填空题
11.【答案】 -3
【解析】【解答】解：假设是二次函数，
那么m2﹣7=2，且m﹣3≠0，
故〔m﹣3〕〔m+3〕=0，m≠3，
解得：m1=3〔不合题意舍去〕，m2=﹣3，
∴m=﹣3．
故答案为：﹣3．
【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7=2，再利用m﹣3≠0，求出m的值即可．
12.【答案】 x＜1
【解析】【解答】解：∵函数 图像的对称轴为x=1
∴当x＜1，数值 y 随 x 的增大而减小．
故答案为x＜1．

【分析】根据题意计算得到函数的对称轴，根据y随x的增大而减小，即可得到x的取值范围。
13.【答案】 y1>y2>y3
【解析】【解答】解：由抛物线的解析式可知，其对称轴为x=-1
∵点A和点B以及点C的横坐标分别为-2,1，2
∴点C距离x=-1最远，点A距离x=-1最近
又∵抛物线的开口向下
∴y1＞y2＞y3 ，
故答案为：y1＞y2＞y3.

【分析】根据抛物线的图象以及对称轴，判断得到三个点的坐标，即可得到答案。
14.【答案】 80
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.
∵AB=AB'，
∴∠B=∠BB'A=50°.
∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.
∴∠CB'C'=180°-〔∠BB'A+∠AB' C'〕=80°．
故答案为:80°．

【分析】根据旋转的性质，求出AB=AB' ， ∠AB'C'的度数，依据等边对等角的性质即可得到∠B=∠BB'A，得到∠CB'C'的度数即可。
15.【答案】
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 通过 ，纵轴 通过 中点 且通过 点，那么通过画图可得知 为原点，

抛物线以 轴为对称轴，且经过 两点， 和 可求出为 的一半2米，抛物线顶点 坐标为 ，
设顶点式 ，代入 点坐标 ，
得出： ，
所以抛物线解析式为 ，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把 代入抛物线解析式得出： ，
解得： ，
所以水面宽度增加了 米．
故答案为：
【分析】建立平面直角坐标系，设顶点式 ，代入 点坐标 解出抛物线解析式，把 代入抛物线解析式求得 ，即可得出水面的宽度增加的距离．
16.【答案】 3
【解析】【解答】解：过点O作OH⊥CD于H ，

连接OC ， 如图，那么CH＝DH＝ CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝ ＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为：3．
【分析】此题利用垂径定理及勾股定理，列出等量关系式求解即可。
17.【答案】 45
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴OP∥BC ，
∵点 的读数为135°，
∴∠EOP＝135°
∴∠POB＝180°-135°=45°
∴∠CBD＝∠POB＝45°，
故答案为：45．

【分析】根据切线的性质，求出∠OPB=90°，证明得到OP∥BC，根据平行线的性质即可得到∠POB=∠CBD，得到答案即可。
18.【答案】
【解析】【解答】如图，连接DP，

∵直线y＝ x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(0，1)，
∴AB＝ = ，
∵过点D(3，0)向以P为圆心， AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，
∴DE＝DF，PE⊥DE，
∵PE＝PF，PD＝PD，
∴△PED≌△PFD(SSS)，
∵⊙P的半径为 ，
∴DE＝ ，
当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5× ，
∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2× PE×DE＝ DE，
∴四边形PEDF面积的最小值为 ．
故答案为： ．

【分析】根据直线的解析式与坐标轴的交点，即可得到AB的长，继而得到圆的半径，证明得到△PED≌△PFD，根据四边形的面积公式，由锐角三角函数求出DP的长度，即可得到四边形PEDF的面积最小值。
三、解答题
19.【答案】 解：
，
，
，
，
，
【解析】【分析】根据题意，利用配方法解一元二次方程，得到答案即可。
20.【答案】 〔1〕解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=〔x﹣1〕2﹣4，
∴顶点坐标为〔1，﹣4〕

〔2〕解：∵y=〔x﹣1〕2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x=0时，y有最大值为﹣3，当x=1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x=3时，y有最大值为0，当x=1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0
【解析】【分析】〔1〕把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；〔2〕由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
21.【答案】 〔1〕证明：如图1，连接OC，
 
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠4．
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB．

〔2〕解：如图2，作OE⊥AD于点E，

设⊙O的半径为x，
∵AD⊥CD，OE⊥AD，
∴OE∥CD；
由〔1〕，可得AD∥OC，
∴四边形OEDC是矩形，
∴OE=CD=4，AE=AD﹣DE=8﹣x，
∴42+〔8﹣x〕2=x2 ，
∴80﹣16x+x2=x2 ， 解得x=5，
∴⊙O的半径是5．
【解析】【分析】(1)连接OC，根据切线以及等腰三角形的性质得出∠DAC=∠CAB，从而得出角平分线；
(2)作OE⊥AD于点E，设⊙O的半径为x，根据题意得出四边形OEDC是矩形，然后根据Rt△AOE的勾股定理得出答案．
22.【答案】 〔1〕解：由题意得：y＝60+10x，
∵36﹣x≥24
∴x≤12
∵x为正整数
∴1≤x≤12，且x为正整数；

〔2〕解：设每月销售牛奶的利润为w，
那么w＝〔36﹣x﹣24〕〔10x+60〕＝﹣10x2+60x+720＝﹣10〔x﹣3〕2+810，
令w＝800得：﹣10〔x﹣3〕2+810＝800，
解得：x1＝2，x2＝4，
∵要使每月销售牛奶的利润不低于800元，且获得尽可能大的销售量，
∴x＝4，
∵36﹣4＝32＞24〔元〕，
∴每箱牛奶的定价应是32元钱．
【解析】【分析】〔1〕根据题目中的等量关系，即可得到函数关系式；通过36-x≥24，根据x为正整数，即可得到x的取值范围；
〔2〕根据利润的公式，列出关于x的二次函数，令w=800，解出方程得到答案即可。
23.【答案】 解：〔Ⅰ〕如图①中，作 轴于H.

∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴
〔Ⅱ〕如图②中，作 于K.

在 中，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
〔Ⅲ〕如图③中，连接PA、AP′，作点A关于y轴的对称点A′，连接DA′交y轴于P′，连接AP′．

由题意PA=AP′，
∴AP′+PD=PA+PD，
根据两点之间线段最短，可知当点P与点P′重合时，PA+PD的值最小．
，
∴直线A′D的解析式为 ，
点P坐标
【解析】【分析】〔1〕证明四边形ADCH为矩形，根据矩形的性质求出答案即可；
〔2〕作DK⊥AC于K，在直角三角形ADC中，求出DK和AK的值，解出答案即可；
〔3〕根据题意，由轴对称的性质，结合两点之间线段最短，即当点P和点P'重合时，可得到PA+PD的最小值，求出直线A'D的解析式即可。
24.【答案】 〔1〕解：令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，解得： ，
∴ ，
把 、 两点代入 得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得： 或 ，
∴ ；

〔2〕解：过 点作 轴，与 交于点 ，如图1，

设 ，那么 ，
∴ ，
∴当 时，三角形 面积最大，其最大值为2，
此时 的坐标为 ；

〔3〕解：当 ，假设旋转后点 落在抛物线上时，如下列图：

∵点 ，
∴ ，解得： 〔舍去〕；
当旋转后点 落在抛物线上时，如图示：线段 与抛物线只有一个公共点，

∵点 ，
∴ ，解得： 〔舍去〕；
∴当 时，假设线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为 ；
当 时，当旋转后点 落在抛物线上时，如图示：线段 与抛物线只有一个公共点，

∵点 ，
∴ ，解得： 〔舍去〕；
假设旋转后点 落在抛物线上时，如下列图：线段 与抛物线只有一个公共点，

∵点 ，
∴ ，解得： 〔舍去〕；
∴当当 时，假设线段 与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为 ；
综上所述：当 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点．
【解析】【分析】〔1〕根据题意，由直线和抛物线的解析式，利用待定系数法求出答案即可；
〔2〕根据三角形的面积公式，列出式子，求出答案即可；
〔3〕根据旋转的性质，求出点O'和点A'的坐标，令点O'和点A'在抛物线上时，求出m的最大和最小值即可。