人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布学案设计

正态分布

【考点梳理】

考点一、正态分布

1.正态曲线及性质

（1）正态曲线的定义

函数其中实数和（>0）为参数，我们称的图象（如图）为正态分布密谋曲线，简称正态曲线。

注：是正态分布的期望，是正态分布的标准。

（2）正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x=对称；

③曲线在x=处达到峰值

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙表示。

2．正态分布

（1）正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P（a<X≤b）=,则称X的分布为正态分布，记作。

（2）正态总体在三个特殊区间取值的概率值

①P（-＜X≤+）=0.6826;

②P(-2＜X≤+2)=0.9544;

③P(-3＜X≤+3)=0.9974.

（3）3原则

通常认为服从于正态分布的随机变量X只取（-3，+3）之间的值，并简称为3原则。

正态总体几乎总取值于区间（-3，+3）之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。

要点诠释：

正态曲线的对称性

正态曲线的函数很显然，当μ＝0时，是偶函数，关于y轴对称；当μ≠0时，对称轴为x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态分布的概率问题，都是根据其对称性求解．

类型一、正态分布的性质

【例1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；

(2)求正态总体在(－4,4]的概率．

【思路点拨】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关。

【解析】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是

 (2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)

＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.

【变式】把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是(　　)

(A)曲线C2仍是正态曲线

(B)曲线C1、C2的最高点的纵坐标相等

(C)以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2

(D)以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2

【解析】选C.由题意，曲线C1和C2的大小形状完全一样，只是在坐标系中的位置不同，而对称轴是x＝μ，形状决定方差σ.故选C.

类型二、正态分布的计算

【例2】已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝　　　　.

【思路点拨】X＝a与X＝4－a关于直线x＝2对称，再由正态曲线的对称性求解.

【解析】由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.

【变式】设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　)

(A)0.025     (B)0.050     (C)0.950     (D)0.975

【解析】选C.

P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950.

类型三、正态分布的应用

【例3】在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．

(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；

(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．

【思路点拨】由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.将区间用μ，σ表示求概率．

【解析】(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.

∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544，

即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544.

(2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)

＝0.6826，

∴P(ξ>110)＝(1－0.6826)＝0.1587，

∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.

∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．

【变式】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？

【解析】∵X～，∴μ＝4，σ＝.

∴不属于区间(3,5]的概率为

P(X≤3)＋P(X>5)＝1－P(3<X≤5)

＝1－P(4－1<X≤4＋1)

＝1－P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)

＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003，

∴1 000×0.003＝3(个)，

即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个。