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人教版数学九年级上册期末模拟试卷05（含答案）
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这是一份人教版数学九年级上册期末模拟试卷05（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版数学九年级上册期末模拟试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
2．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
3．在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
10．如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
11．关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，则方程的另一个根是 ．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠B=∠AED，若DE=3，AE=4，BC=9，则AB的长为 ．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 cm．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
16．已知（m，n）是函数y=与y=x﹣2的一个交点，则代数式m2+n2﹣3mn的值为 ．
17．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为 ．
三、解答题
19．（1）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+（）0﹣．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）．
20．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
21．已知A（﹣4，m+10）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
23．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1．
①当n≤x≤﹣1时，函数C1中y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=2（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．
24．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，
配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，
故选：A．
3．在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴k＞1．
故选：D．
4．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴=，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故选：A．
6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
【解答】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=2，OB=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴BE===2，
∴AB=4．
故选：D．
7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：连接BE，
可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S△CEB=S△ABC=S正方形ABCD，
故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．
故选：B．
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．
由旋转的性质可知：
BC=B′C，
∴∠B=∠BB′C=50°．
又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，
∴∠ACB′=10°，
∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．
故选：B．
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB﹣BE=3﹣y，CP=BC﹣BP=5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2=（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2=PE2+PD2，
则（3﹣y）2+52=x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y=2x2﹣10x，
所以y=﹣x2+x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．
10．如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
∴S△AOM：S△BON=1：4，
∴AO：BO=1：2，
∴OB：OA=2．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，则方程的另一个根是 x=2 ．
【解答】解：设方程的另一根为x，
∵关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，
∴1+x=3，
解得，x=2；
故答案x=2．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠B=∠AED，若DE=3，AE=4，BC=9，则AB的长为 12 ．
【解答】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴ADE∽△ACB，
∴，
∵DE=3，AE=4，BC=9，
∴AB=12，
故答案为：12．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ﹣≤k＜且k≠0 ．[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣≤k＜且k≠0．
故答案为：﹣≤k＜且k≠0．
14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 2 cm．
【解答】解：∵圆锥的弧长=2×12π÷6=4π，
∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，
故答案为2．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 8﹣4+π ．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，
∴AB=2DA，AB=AE（扇形的半径），
∴AE=2DA，
∴∠AED=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵DA=2
∴AB=2DA=4，
∴AE=4，
∴DE==2，
∴阴影FDE的面积S1=S扇形AEF﹣S△ADE=﹣×2×2=π﹣2．
阴影ECB的面积S2=S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE=2×4﹣×2×2﹣=8﹣2﹣π；．
则图中阴影部分的面积为=8﹣2﹣π+π﹣2=8﹣4+π．
故答案为：8﹣4+π．
16．已知（m，n）是函数y=与y=x﹣2的一个交点，则代数式m2+n2﹣3mn的值为 13 ．
【解答】解：∵（m，n）是函数y=与y=x﹣2的一个交点，
∴m﹣n=2，mn=﹣3，
∴m2+n2﹣3mn=（m﹣n）2﹣mn=22﹣3×（﹣3）=13．
故答案为13．
17．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为 ± ．
【解答】解：∵关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△=（a+2）2﹣4a（a+1）=﹣3a2+4=0，
解得：a=±，
故答案为：±
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为 （2，﹣4）． ．
【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），
发现6次一个循环，
∵2018÷6=336…2，
∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2017（2，﹣4），
故答案为（2，﹣4）．
三、解答题（共66分）
19．（6分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+（）0﹣．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）．
【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣|﹣2|+（）0﹣
=9﹣（2﹣）+1﹣
=9﹣2++1﹣
=8；
（2）x2﹣1=2（x+1）
（x+1）（x﹣1）=2（x+1）
（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）=0
（x+1）[（x﹣1）﹣2]=0
（x+1）（x﹣3）=0
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3．
20．（8分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 100 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 108° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人
喜欢用QQ沟通所占比例为： =，
∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108°
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%
∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人
（4）列出树状图，如图所示[来源:学科网]
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： =
故答案为：（1）100；108°
21．（8分）已知A（﹣4，m+10）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）把A（﹣4，m+10）代入y=，
得m=（m+10）×（﹣4），
解得m=﹣8，
∴A（﹣4，2），
∴m=﹣4×2=﹣8，
所以反比例函数解析式为y=﹣，
把B（n，﹣4）代入y=﹣，得﹣4n=﹣8，
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
22．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x=，
即AE=．
∴AB=3，
∴，
∴⊙O的半径=．
23．（10分）已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1．
①当n≤x≤﹣1时，函数C1中y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=2（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．
【解答】解：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，
解得：m＜且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x2+x．
（2）①抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．
∵n≤x≤﹣1＜﹣，a=2＞0，
∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小．
∴当x=n时，y=﹣3n．
∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）．
∴n的值为﹣2．
②∵y=2x2+x=2（x+）2﹣，
∴M（﹣，﹣）．
如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣k=﹣，
解得：k=．
∴OM的解析式为y=x．
设点P的坐标为（x， x）．
由两点间的距离公式可知：OP==，
解得：x=2或x=﹣2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，1）．
∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x﹣2）2+1．
24．（12分）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
【解答】解：（1）由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，
将点（50，25）、（100，20）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；
②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000（t+15）﹣（400t+300000）=3600t，
∵3600＞0，
∴当t=50时，W最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t=55时，W最大值=180250（元），
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
25．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），[来源:学科网ZXXK]
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
人教版数学九年级上册期末模拟试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
2．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3
3．在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C．D．
10．如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题
11．关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，则方程的另一个根是 ．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠B=∠AED，若DE=3，AE=4，BC=9，则AB的长为 ．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 cm．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
16．已知（m，n）是函数y=与y=x﹣2的一个交点，则代数式m2+n2﹣3mn的值为 ．
17．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为 ．
三、解答题
19．（1）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+（）0﹣．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）．
20．随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
21．已知A（﹣4，m+10）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
22．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
23．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1．
①当n≤x≤﹣1时，函数C1中y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=2（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．
24．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
25．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正三角形 D．矩形
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（ ）
A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，
配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，
故选：A．
3．在反比例函数y=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：反比例函数的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，[来源:学.科.网Z.X.X.K]
∴k＞1．
故选：D．
4．抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y=x2﹣2x+m2+2=（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（ ）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF=4：25，
∴=，
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3．
故选：A．
6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，OB=4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．4
【解答】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=2，OB=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴BE===2，
∴AB=4．
故选：D．
7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：连接BE，
可得，AE=BE，∠AEB=90°，
且阴影部分面积=S△CEB=S△ABC=S正方形ABCD，
故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．
故选：B．
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，
∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．
由旋转的性质可知：
BC=B′C，
∴∠B=∠BB′C=50°．
又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，
∴∠ACB′=10°，
∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．
故选：B．
9．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接DE，∵△PC′D是△PCD沿PD折叠得到，
∴∠CPD=∠C′PD，
∵PE平分∠BPC′，
∴∠BPE=∠C′PE，
∴∠EPC′+∠DPC′=×180°=90°，
∴△DPE是直角三角形，
∵BP=x，BE=y，AB=3，BC=5，
∴AE=AB﹣BE=3﹣y，CP=BC﹣BP=5﹣x，
在Rt△BEP中，PE2=BP2+BE2=x2+y2，
在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=（3﹣y）2+52，
在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2=（5﹣x）2+32，
在Rt△PDE中，DE2=PE2+PD2，
则（3﹣y）2+52=x2+y2+（5﹣x）2+32，
整理得，﹣6y=2x2﹣10x，
所以y=﹣x2+x（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项符合．
故选：D．
10．如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON=90°，
∴∠OAM=∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，
∴S△AOM：S△BON=1：4，
∴AO：BO=1：2，
∴OB：OA=2．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，则方程的另一个根是 x=2 ．
【解答】解：设方程的另一根为x，
∵关于x的方程x2﹣3x+m=0有一个根是1，
∴1+x=3，
解得，x=2；
故答案x=2．
12．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠B=∠AED，若DE=3，AE=4，BC=9，则AB的长为 12 ．
【解答】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴ADE∽△ACB，
∴，
∵DE=3，AE=4，BC=9，
∴AB=12，
故答案为：12．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ﹣≤k＜且k≠0 ．[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：﹣≤k＜且k≠0．
故答案为：﹣≤k＜且k≠0．
14．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于 2 cm．
【解答】解：∵圆锥的弧长=2×12π÷6=4π，
∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，
故答案为2．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为 8﹣4+π ．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，
∴AB=2DA，AB=AE（扇形的半径），
∴AE=2DA，
∴∠AED=30°，
∴∠1=90°﹣30°=60°，
∵DA=2
∴AB=2DA=4，
∴AE=4，
∴DE==2，
∴阴影FDE的面积S1=S扇形AEF﹣S△ADE=﹣×2×2=π﹣2．
阴影ECB的面积S2=S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE=2×4﹣×2×2﹣=8﹣2﹣π；．
则图中阴影部分的面积为=8﹣2﹣π+π﹣2=8﹣4+π．
故答案为：8﹣4+π．
16．已知（m，n）是函数y=与y=x﹣2的一个交点，则代数式m2+n2﹣3mn的值为 13 ．
【解答】解：∵（m，n）是函数y=与y=x﹣2的一个交点，
∴m﹣n=2，mn=﹣3，
∴m2+n2﹣3mn=（m﹣n）2﹣mn=22﹣3×（﹣3）=13．
故答案为13．
17．关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为 ± ．
【解答】解：∵关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴△=（a+2）2﹣4a（a+1）=﹣3a2+4=0，
解得：a=±，
故答案为：±
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0），点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2018的坐标为 （2，﹣4）． ．
【解答】解：如图所示，P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），
发现6次一个循环，
∵2018÷6=336…2，
∴点P2018的坐标与P2的坐标相同，即P2017（2，﹣4），
故答案为（2，﹣4）．
三、解答题（共66分）
19．（6分）（1）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+（）0﹣．
（2）解方程：x2﹣1=2（x+1）．
【解答】解：（1）（﹣）﹣2﹣|﹣2|+（）0﹣
=9﹣（2﹣）+1﹣
=9﹣2++1﹣
=8；
（2）x2﹣1=2（x+1）
（x+1）（x﹣1）=2（x+1）
（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）=0
（x+1）[（x﹣1）﹣2]=0
（x+1）（x﹣3）=0
∴x+1=0或x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3．
20．（8分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了 100 名学生；在扇形统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 108° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%=100人
喜欢用QQ沟通所占比例为： =，
∴QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×=108°
（2）喜欢用短信的人数为：100×5%=5人
喜欢用微信的人数为：100﹣20﹣5﹣30﹣5=40
补充图形，如图所示：
（3）喜欢用微信沟通所占百分比为：×100%=40%
∴该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有：1500×40%=600人
（4）列出树状图，如图所示[来源:学科网]
所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为： =
故答案为：（1）100；108°
21．（8分）已知A（﹣4，m+10）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．
【解答】解：（1）把A（﹣4，m+10）代入y=，
得m=（m+10）×（﹣4），
解得m=﹣8，
∴A（﹣4，2），
∴m=﹣4×2=﹣8，
所以反比例函数解析式为y=﹣，
把B（n，﹣4）代入y=﹣，得﹣4n=﹣8，
解得n=2，
把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；
（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，
即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；
（3）由图可得，不等式kx+b﹣＞0的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．
22．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：
连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2=BE•BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x•3x，
解得：x=，
即AE=．
∴AB=3，
∴，
∴⊙O的半径=．
23．（10分）已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1．
①当n≤x≤﹣1时，函数C1中y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数C2：y=2（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．
【解答】解：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，
∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，
解得：m＜且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，
∴m=2．
∴函数的解析式为y=2x2+x．
（2）①抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．
∵n≤x≤﹣1＜﹣，a=2＞0，
∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小．
∴当x=n时，y=﹣3n．
∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去）．
∴n的值为﹣2．
②∵y=2x2+x=2（x+）2﹣，
∴M（﹣，﹣）．
如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：﹣k=﹣，
解得：k=．
∴OM的解析式为y=x．
设点P的坐标为（x， x）．
由两点间的距离公式可知：OP==，
解得：x=2或x=﹣2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，1）．
∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为y=2（x﹣2）2+1．
24．（12分）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
【解答】解：（1）由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，
将点（50，25）、（100，20）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；
②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000（t+15）﹣（400t+300000）=3600t，
∵3600＞0，
∴当t=50时，W最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t=55时，W最大值=180250（元），
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
25．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），
∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），[来源:学科网ZXXK]
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），
设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
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