人教版数学九年级上册期末模拟试卷10（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册期末模拟试卷10（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版数学九年级上册期末模拟试卷
一、选择题
1．下列方程中，为一元二次方程的是（　　）
A．2x+1=0 B．3x2﹣x=10 C． D．x2+y2=5．
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的圆心角相等
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．经过三点可以作一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．用长分别为3cm，4cm，5cm的三条线段可以围成直角三角形的事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=19 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=7
6．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
7．如图，某数学兴趣小组将长为6，宽为3的矩形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形BAD的面积为（　　）

A．3 B．18 C．9 D．6

8．一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　）

A． B． C． D．
10．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
11．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
12．如图，甲、乙两盏路灯相距30米，一天晚上，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为1.5米，那么路灯甲的高为（　　）

A．9米 B．8米 C．7米 D．6米
13．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB、CD之间的距离为（　　）
A．17 B．7 C．12 D．7或17
14．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为（0，6）；
②抛物线的对称轴在y轴的左侧；
③抛物线一定经过（3，0）点；
④在对称轴左侧y随x的增大而增大．
从表中可知，其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　）

A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
16．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）

A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
二、填空题
17．已知二次函数y=a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为　 　．
18．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是　 　．
19．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”，那么等边三角形“内似线”的条数为　 　；如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则BD是△ABC的“内似线”吗？答：　 　（填是”或“不是”）

三、解答题
20．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
（1）在图1中，图①经过一次　 　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　 　（填“A”或“B”或“C”）；
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．










21．如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？


22．编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．




23．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？
（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？






24．已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．















25．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．










26．如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

　
参考答案
一、选择题
1．下列方程中，为一元二次方程的是（　　）
A．2x+1=0 B．3x2﹣x=10 C． D．x2+y2=5．
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：A、该方程属于一元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是分式方程，故本选项错误；
D、该方程属于二元二次方程，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）
2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的圆心角相等
B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C．经过三点可以作一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识进行判断即可．
【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、三角形的外接圆和外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键．
4．用长分别为3cm，4cm，5cm的三条线段可以围成直角三角形的事件是（　　）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上都不是
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：由勾股定理的逆定理，得
32+42=52，
∴长分别为3cm，4cm，5cm的三条线段可以围成直角三角形，
故选：A．
【点评】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3=0时，原方程可变形为（　　）
A．（x+2）2=1 B．（x+2）2=19 C．（x+2）2=13 D．（x+2）2=7
【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】解：∵x2+4x=3，
∴x2+4x+4=3+4，即（x+2）2=7，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
6．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（　　）
A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上
B．它的图象在第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y=得﹣1=﹣1，故A选项正确；
B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；
C、当x＞0时，y随x的增大而减小，故C选项错误；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
7．如图，某数学兴趣小组将长为6，宽为3的矩形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形BAD的面积为（　　）

A．3 B．18 C．9 D．6
【分析】根据已知条件可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=lr，计算即可．
【解答】解：∵矩形的长为6，宽为3，
∴AB=CD=6，AD=BC=3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB=lr=×6×6=18．
故选：B．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=lr．
8．一个直角三角形的两直角边长分别为x，y，其面积为2，则y与x之间的关系用图象表示大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．
【解答】解：∵xy=4
∴y=（x＞0，y＞0）
故选：C．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
9．如图，若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x＞0）的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=4，即可得出答案．
【解答】解：抛物线y=﹣x2+3，当y=0时，x=±；
当x=0时，y=3，
则抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1）；共有4个，
∴k=4；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值．
10．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似多边形的性质求出相似比，根据相似多边形的性质求出周长比．
【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比是1：4，
∴这两个相似多边形的相似比是1：2，
则这两个相似多边形的周长之比是1：2，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
11．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选：D．
【点评】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
12．如图，甲、乙两盏路灯相距30米，一天晚上，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为1.5米，那么路灯甲的高为（　　）

A．9米 B．8米 C．7米 D．6米
【分析】由于人和地面是垂直的，即人和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可．
【解答】解：根据题意知，DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴=，即=，
解得AB=9m．
故选：A．

【点评】此题考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出路灯的高度，体现了方程的思想．
13．已知⊙O的半径为13，弦AB∥CD，AB=24，CD=10，则AB、CD之间的距离为（　　）
A．17 B．7 C．12 D．7或17
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，
∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，
∴EO=5cm，OF=12cm，
∴EF=OF+OE=17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．
故选：D．


【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
14．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
给出下列说法：
①抛物线与y轴的交点为（0，6）；
②抛物线的对称轴在y轴的左侧；
③抛物线一定经过（3，0）点；
④在对称轴左侧y随x的增大而增大．
从表中可知，其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由所给数据求得抛物线解析式，再逐个判断即可．
【解答】解：
当x=0时y=6，x=1时y=6，x=﹣2时y=0，
可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+6=﹣（x﹣）2+，
当x=0时y=6，
∴抛物线与y轴的交点为（0，6），故①正确；
抛物线的对称轴为x=，故②不正确；
当x=3时，y=﹣9+3+6=0，
∴抛物线过点（3，0），故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故④正确；
综上可知正确的个数为3个，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
15．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　）

A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：根据题意得：l==3πcm，
则重物上升了3πcm，
故选：C．
【点评】此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
16．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（　　）

A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，由此即可判断．
【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，
故选C．

【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
　
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分
17．已知二次函数y=a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为　（﹣3，1）　．
【分析】二次函数y=a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），依此即可求解．
【解答】解：∵二次函数y=a（x+3）2﹣b（a≠0）有最大值1，
∴﹣b=1，
根据二次函数的顶点式方程y=a（x+3）2﹣b（a≠0）知，该函数的顶点坐标是：（﹣3，﹣b），
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
18．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是　（1﹣10%）（1+x）2=1　．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x，每天相对于前一天就上涨到1+x，由此列出方程解答即可．
【解答】解：设这两天此股票股价的平均增长率为x，由题意得
（1﹣10%）（1+x）2=1．
故答案为：（1﹣10%）（1+x）2=1．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
19．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形，若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”，那么等边三角形“内似线”的条数为　3　；如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则BD是△ABC的“内似线”吗？答：　是　（填是”或“不是”）

【分析】①过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案；
②由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，证出△BCD∽△ABC，再由三角形的外角性质证出BD平分∠ABC即可；
【解答】解：①等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”；
故答案为：3；
②如图2所示，BD是△ABC的“内似线”，理由如下：
∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC，
即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“內似线”；
故答案为：是．


【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的内心，熟练掌握性质定理是解题的关键．
　
三、解答题（本大题共有7个小题共68分解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤
20．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
（1）在图1中，图①经过一次　平移　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
（2）在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　A　（填“A”或“B”或“C”）；
（3）在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．

【分析】（1）根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②；
（2）将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；
（3）以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可．
【解答】解：（1）图①经过一次平移变换可以得到图②；

（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；

（3）如图．

【点评】本题难度中等，考查网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．
平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
21．（9分）如图1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表
x（cm）
10
15
20
25
30
y（g）
30
20
15
12
10
（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式；
（3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？

【分析】（1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线；
（2）观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（3）把y=24代入解析式求解，可得答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设 y=（k≠0），
把x=10，y=30代入得：k=300，
∴y=，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y=；
（3）把y=24代入y= 得：x=12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22．（9分）编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．

【分析】（1）由第6名学生命中的个数为5×40%=2可得答案，并补全条形图；
（2）由这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，根据概率公式可得；
（3）根据众数的定义得出前6名学生积分的众数即可得．
【解答】解：（1）第6名学生命中的个数为5×40%=2，
则第6号学生的积分为2分，
补全条形统计图如下：


（2）这6名学生中，命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生，
∴选上命中率高于50%的学生的概率为=；

（3）由于前6名学生积分的众数为3分，
∴第7号学生的积分为3分或0分．
【点评】本题主要考查众数的定义和条形统计图及概率公式，熟练掌握概率公式的计算和众数的定义是解题的关键．
23．（9分）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是什么？
（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是什么？

【分析】（1）根据点O的位置和移动的距离求得OP的长，然后根据∠P的度数求得点O到PA的距离，从而利用半径与距离的大小关系作出位置关系的判断；
（2）当点O继续向左移动时直线与圆相交，在BP的延长线上有相同的点C″，从而确定d的取值范围．
【解答】解：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，

作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30度，
∴O′C=PO′=1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；

（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，

当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∵OP=3，
∴OO'=1，OC''=OP+C''P=3+2=5
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交，
故答案为：1cm＜d＜5cm．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是能够分情况讨论，难度不大．
24．（10分）已知关于x的方程mx2+（2m﹣1）x+m﹣1=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．
【分析】（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到△=1，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先利用求根公式得到x1=﹣1，x2=﹣1，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．
【解答】（1）证明：∵m≠0，
∴方程为一元二次方程，
∵△=（2m﹣1）2﹣4m（m﹣1）=1＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=，
∴x1=﹣1，x2=﹣1，
∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，
∴m=1或m=﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
25．（11分）如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3？若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点（0，0）和点A（﹣2，0）分别代入函数关系式来求b、c的值，可得二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）．利用三角形的面积公式得到﹣x2﹣2x=±3．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点（0，0）
∴c=0
又∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（﹣2，0）
∴﹣（﹣2）2﹣2b+0=0，
∴b=﹣2，
∴所求b、c值分别为﹣2，0
∴y=﹣x2﹣2x，

（2）存在一点P，满足S△AOP=3．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）
∵S△AOP=3
∴|﹣x2﹣2x|=3
∴﹣x2﹣2x=±3
当﹣x2﹣2x=3时，此方程无解；
当﹣x2﹣2x=﹣3时，解得x1=﹣3，x2=1，
∴点P的坐标为：（﹣3，﹣3）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和利用待定系数法来求抛物线的解析式，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x）是解答此题的关键．
26．（12分）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．

【分析】（1）连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；
（2）求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；
（3）由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8；
【解答】（1）证明：连接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ．

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB===，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ=OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧的长==π．

（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8．
【点评】本题考查切线的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质、三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．