2021年湖南省长沙市雨花区九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年湖南省长沙市雨花区九年级上学期数学期中试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2021的相反数是( )

A. -2021 B. 2021 C. D.
2.以下计算正确的选项是〔 〕
A. 〔a+b〕2＝a2+b2 B. C. 〔a2〕3＝a6 D. a4÷a4＝0
3.2021年我市财政方案安排社会保障和公共卫生等支出约1800000000元支持民生幸福工程，数1800000000用科学记数法表示为
A. B. C. D.
4.以下说法正确的选项是〔 〕
A. “明天降雨的概率为50%〞，意味着明天一定有半天都在降雨
B. 了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查〔普查〕方式
C. 反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D. 一组数据的方差越小，那么这组数据的波动也越小
5.以下各式中正确的选项是
A. B. C. D.
6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的选项是
A. B.
C. D.
7.如图，直线a b ， 直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C ， 假设∠1＝60°，那么∠2的度数为〔 〕
A. 60° B. 40° C. 30° D. 20°
8.以下判断错误的选项是〔 〕
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
9.一元二次方程x2﹣3x＝4的两根分别为x1和x2 ， 那么x1x2为〔 〕
A. 3 B. ﹣3 C. 4 D. ﹣4
10.在?九章算术?中有“盈缺乏术〞的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，缺乏四，问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，还差4元，问人数是多少？假设设人数为 人，那么以下关于 的方程正确的选项是〔 〕
A. B. C. D.
11.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，那么∠ADP的度数为〔 〕
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
12.如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c〔a≠0〕图象的一局部，抛物线的顶点坐标是A〔1，3〕，与x轴的一个交点B〔4，0〕，直线y2＝mx+n〔m≠0〕与抛物线交于A ， B两点，以下结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是〔﹣1，0〕；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1 x 4时，有y2 y1；⑤假设ax12+bx1＝ax22+bx2 ， 且x1≠x2 ， 那么x1+x2＝1．正确的为〔 〕
A. ①④⑤ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①②③
二、填空题
13.如果1是方程2x2﹣x+m＝0的一个根，那么m＝________．
14.分式方程 的解为x＝________．
15.圆锥的底面直径为6cm ， 其母线长为5cm ， 那么它的侧面积为________．
16.三角形三边分别为3、4、5，那么该三角形内心与外心之间的距离为________．
三、解答题
17.计算：|1﹣ |﹣〔﹣1〕2021+〔π﹣2021〕0+〔﹣ 〕-1 ．
18.先化简，再求值： ，其中x＝ ．
19.如图，在平面直角坐标系中，点P〔3，4〕，连接OP ， 将线段OP绕点O顺时针旋转270°得线段OP1 ．
〔1〕在图中作出线段OP1 ， 并写出P1点的坐标；
〔2〕求点P在旋转过程中所绕过的路径长；
〔3〕求线段OP在旋转过程中所扫过的图形的面积．
20.“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美〞，雅礼集团举办了首届“中国诗词大会〞，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩绘制出如下列图的局部频数分布直方图．请根据图中信息完成以下各题．
〔1〕将频数分布直方图补充完整；
〔2〕请求出所有参赛学生成绩的中位数落在哪个组内？
〔3〕现将从包括小芳和小文在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小芳与小文同时被选中的概率．
21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D ， 过点D作DE⊥AC ， 分别交AC、AB的延长线于点E ， F ．
〔1〕求证：EF是⊙O的切线；
〔2〕假设AC＝6，CE＝2，求CB的长．
22.长沙市正在举行文化艺术节活动，一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种艺术节纪念品．假设购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要400元；假设购进甲种纪念品3件，乙种纪念品5件，需要650元．
〔1〕求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
〔2〕假设该商店决定购进这两种纪念品共70件，其中乙种纪念品的数量不少于40件，考虑到资金周转，用于购置这70件纪念品的资金不能超过5750元，那么该商店共有几种进货方案？
23.正方形ABCD中AC与BD交于点O ， 点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于点E ， 过D作DH⊥AE于H ， 设直线DH交AC于点N ．
〔1〕如图1，当M在线段BO上时，求证：OM＝ON；
〔2〕如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN ， 当EN BD时，求证：四边形DENM是菱形；
〔3〕在〔2〕的条件下，假设正方形边长为4，求EC的长．
24.我们不妨将函数图象关于y轴对称的函数称为“对称函数〞．
〔1〕判断以下函数是否为“对称函数〞？
①y＝﹣2x；②y＝3x2+2；③y＝|x|．
〔2〕对称函数y＝x2﹣2|x|﹣3．
①设函数位于y轴左侧图象与x轴的交点为A ， y轴右侧图象的最低点为B ， 在y轴上找一点P ， 使|PA﹣PB|值最大，求P点坐标．
②一次函数y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3有两个交点，求b的取值范围．
25.：二次函数y＝ +2x+m的图象与x轴有公共点．
〔1〕求m的取值范围；
〔2〕如下列图，假设二次函数y＝ +2x+m图象的顶点B在x轴上，与y轴的交点为A ， P为图象上的一点，假设以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B ， 求P点的坐标；
〔3〕在〔2〕中，假设点P关于y轴的对称点为M ， 求以点M为圆心，BP长为半径的圆是否与直线AB相切？并说明理由．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：2021的相反数是-2021.
故答案为:A
【分析】相反火速的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、〔a+b〕2＝a2+2ab+b2 ， 故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、〔a2〕3＝a6 ， 符合题意；
D、a4÷a4＝1，故此选项不符合题意．
故答案为：C ．

【分析】根据完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的乘除法的性质分别进行判断即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】1800000000=1.8×109 ，
故答案为：C．

【分析】根据科学记数法的含义和性质即可得到答案。
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨，不能说明明天一定有半天都在降雨，故本选项不符合题意；
B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；
C、反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上的次数不确定，故本选项不符合题意；
D、一组数据的方差越小，那么这组数据的波动也越小，故本选项符合题意；
故答案为：D ．

【分析】根据概率、方差和调查的方式，分别判断即可得到答案。
5.【答案】 D
【解析】【解答】A.原式=3，不符合题意；
B.原式=|-3|=3，不符合题意；
C.原式不能化简，不符合题意；
D.原式=2 - = ，符合题意，
故答案为：D.
【分析】原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解： ，
解①得x>-1，
解②得x≤3，
所以不等式组的解集为-1故答案为： ．

【分析】分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据大小小大中间找得出不等式组的解集是-17.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵a∥b ，
∴∠1+∠2+∠BAC＝180°，
∵∠ABC＝90°，∠1＝60°，
∴∠2＝30°，
故答案为：C ．

【分析】根据直线平行的性质，同旁内角互补，即可得到∠2的度数。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；
C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确．
应选D．
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定，菱形的判定以及正方形的判定对各选项分析判断即可得解．此题考查了正方形的判定，平行四边形、矩形和菱形的判定，熟练掌握各四边形的判定方法是解题的关键．
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：方程化为一般式为x2﹣3x﹣4＝0，
所以x1x2＝﹣4．
故答案为：D ．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案。
10.【答案】 A
【解析】【解答】设人数为x，
那么可列方程为：8x−3＝7x＋4
故答案为：A．
【分析】根据“总钱数不变〞可列方程．
11.【答案】 C
【解析】【解答】连接BD，∵∠DAB=180°﹣∠C=60°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=30°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠ABD=30°，应选：C．

【分析】连接DB，即∠ADB=90°，又∠BCD=120°，故∠DAB=60°，所以∠DBA=30°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：①∵对称轴x＝﹣ ＝1，那么2a+b＝0，
将点A〔1，3〕、B〔4，0〕代入直线AB的表达式： ，
解，得 ，
∴m+n＝3，
故①符合题意，符合题意；②∵对称轴为直线x＝1，
∴点B〔4，0〕关于对称轴直线x＝1的对称点为〔﹣2，0〕，
故②不符合题意，不符合题意； ③如图，∵直线y=3过抛物线顶点 A〔1，3〕，
∴抛物线y=ax2+bx+c直线y=3只有一个公共点；
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，
故③符合题意，符合题意；④当1＜x＜4时，由图象可知y2＜y1 ， 故④符合题意，符合题意；⑤假设ax12+bx1＝ax22+bx2 ， 即ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c ， 即y1＝y2 ，
∴ 关于对称轴 对称
∴ 〔x1+x2〕＝1，
故⑤不符合题意，不符合题意；
故答案为：B ．

【分析】根据二次函数的图象和性质，分别进行判断即可得到答案。
二、填空题
13.【答案】 -1
【解析】【解答】解：把x＝1代入方程2x2﹣x+m＝0得2﹣1+m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．

【分析】将x=1代入方程，即可得到m的值。
14.【答案】 -3
【解析】【解答】解：去分母得：4x＝2〔x﹣3〕，
去括号得：4x＝2x﹣6，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故答案为：﹣3．
【分析】根据题意，解分式方程得到答案即可。
15.【答案】 15πcm2
【解析】【解答】解：根据题意得，圆锥的侧面积＝ ×6π×5＝15π〔cm2〕．
故答案为：15πcm2 ．

【分析】根据圆锥的侧面积公式进行计算即可得到答案。
16.【答案】
【解析】【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52 ，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC ， ∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r ， 那么OD＝OE＝r ，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r ， AE＝AN＝3﹣r ， BD＝BN＝4﹣r ，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝ ，
∴OM＝ ．
那么该三角形内心与外心之间的距离为 ．
故答案为： ．

【分析】根据三角形的三边即可得到其为直角三角形，根据直角三角形的性质以及内心和外心的含义，进行计算得到答案即可。
三、解答题
17.【答案】 解：原式＝ ﹣1﹣1+1﹣2
＝ ．
【解析】【分析】根据绝对值的性质以及有理数的乘方，化简式子得到答案即可。
18.【答案】 解：原式＝
＝
＝
＝
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ．
【解析】【分析】根据题意，将分式通分，利用因式分解，将式子化简，代入x的值求出答案即可。
19.【答案】 〔1〕解：如图，线段OP1即为所求．P1〔﹣4，3〕，
；
〔2〕解：因为点P〔3，4〕，
所以
点P在旋转过程中所绕过的路径长＝ ＝ ；
〔3〕解：线段OP在旋转过程中所扫过的图形的面积＝ ＝ ．
【解析】【分析】〔1〕根据线段OP绕点O逆时针旋转90°，即可得到线段OP1；
〔2〕根据弧长计算公式，即可得到点P在旋转过程中绕过的路径长；
〔3〕根据扇形面积的计算公式，即可得到线段OP在旋转过程中扫过图形的面积。
20.【答案】 〔1〕解：70到80分的人数为50﹣〔4+8+15+12〕＝11〔人〕，
补全频数分布直方图如下：
〔2〕解：∵50个参赛学生成绩的中位数为第25个和第26个成绩的平均数，4+8+11＝23，
∴所有参赛学生成绩的中位数落在80到90这个组内；
〔3〕解：把小芳和小文分别记为A、B，其他两名同学记为C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的情况，小芳与小文同时被选中的情况有2种，
∴小芳与小文同时被选中的概率为 ＝
【解析】【分析】〔1〕根据各组的频数之和等于总数即可得到答案，补全直方图即可；
〔2〕根据总成绩大于或等于80分的人数除以总人数即可得到答案；
〔3〕根据题意列出所有可能的结果，根据概率公式计算得到答案即可。
21.【答案】 〔1〕证明：连接OD交BC于H，如下列图：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
〔2〕解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠HCE＝90°，
又∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
由〔1〕得：OD⊥EF，
∴∠HDE＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴HD＝CE＝2，
∴∠CHD＝90°，
∴∠OHB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴OH平分BC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴OH＝ AC＝3，
∴OB＝OD＝OH+HD＝5，
∴AB＝2OB＝10，
∴CB＝ ＝ ＝8．
【解析】【分析】〔1〕 连接OD交BC于H ，根据角平分线的性质以及直线平行的性质，证明得到答案即可；
〔2〕根据圆周角定理证明四边形CEDH为矩形，由矩形的性质以及中点的性质，计算得到OH为△ABC的中位线，继而由勾股定理计算得到CB的长度即可。
22.【答案】 〔1〕解：设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：购进甲种纪念品每件需50元，购进乙种纪念品每件需100元；
〔2〕解：设购进乙种纪念品m件，那么购进甲种纪念品〔70﹣m〕件，
依题意，得： ，
解得：40≤m≤45，
又∵m为正整数，
∴m可以为40，41，42，43，44，45，
∴该商店共有6种进货方案．
【解析】【分析】〔1〕 设购进甲种纪念品每件需x元，购进乙种纪念品每件需y元 ，根据题意即可得到关于x和y的二元一次方程组，求出答案即可；
〔2〕 设购进乙种纪念品m件，那么购进甲种纪念品〔70﹣m〕件 ，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，即可得到m的取值范围。
23.【答案】 〔1〕证明：∵DH⊥AE，
∴∠DHA＝90°，
∴∠NAH+∠ANH＝90°，
∵∠ODN+∠DNO＝90°，∠ANH＝∠DNO，
∴∠ODN＝∠NAH，
在 和 中，
，
∴ 〔AAS〕，
∴OM＝ON；
〔2〕证明： 正方形 ，

由〔1〕可知， ，
∴OM＝ON，
∴∠NMO＝45°＝∠CDO，
∴ED∥NM，
∵EN∥DM，
∴四边形DENM是平行四边形，
∵DN⊥AE，
∴平行四边形DENM是菱形；
〔3〕解：∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，
∴AC＝ ，
∵四边形DENM是菱形，
∴AH是DN的垂直平分线，
∴AN＝AD＝4，
∴NC＝ ，
∵EN∥DM，
∴∠ENC＝∠DOC＝90°，
∵∠ECN＝45°，
∴EC＝ ．
【解析】【分析】〔1〕根据题意，证明得到∠ODN=∠NAH，继而证明得到△DON≌△AOM，得到答案即可；
〔2〕根据正方形的性质以及三角形全等的性质，即可得到ED∥MN，继而证明得到答案；
〔3〕根据正方形的性质，计算得到AC的长度，继而由菱形的性质结合勾股定理计算得到答案即可。
24.【答案】 〔1〕解：①y＝﹣2x，该函数不关于y轴对称的函数，故不是“对称函数〞；
②y＝3x2+2，由函数的性质知，该函数关于y轴对称，故是“对称函数〞；
③y＝|x|，由函数的性质知，该函数关于y轴对称，故是“对称函数〞；
〔2〕解：①函数的图象如下：
当x＜0时，y＝x2+2x﹣3，令y＝0，即y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，
故点A〔﹣3，0〕，
设y轴左侧图象的最低点为C，
当x＝﹣1时，y＝x2+2x﹣3＝﹣4，故点C〔﹣1，﹣4〕，
当x＞0时，y＝x2﹣2x﹣3，同理可得点B〔1，﹣4〕，
由函数图象知，点B关于y轴的对称点为点C，连接AC交y轴于点P，那么点P为所求点，
理由：|PA﹣PB|＝|PA﹣PC|＝AC为最大值，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣2x﹣6，
令x＝0，那么y＝﹣6，
故点P〔0，﹣6〕；
②设函数y＝x2﹣2|x|﹣3交y轴于点M，那么点M〔0，﹣3〕，
临界点1：当一次函数y＝x+b过点M时，两个函数有3个交点，
将点M的坐标代入y＝x+b并解得b＝﹣3，
当b＞﹣3时，一次函数y＝x+b与y＝x2﹣2|x|﹣3有两个交点；
临界点2，当直线y＝x+b分别y轴左侧和右侧的曲线只有一个交点时，两个函数有3个交点，
联立y＝x2+2x﹣3和y＝x+b得：x2+2x﹣3＝x+b，那么△＝1+4〔3+b〕＝0，解得b＝﹣ ，故b＞﹣3，
联立y＝x2+2x﹣3和y＝x+b得：x2﹣2x﹣3＝x+b，那么△＝9+4〔3+b〕＝0，解得b＝﹣ ，
故﹣ ＜b＜﹣ ；
综上，b＞﹣3或﹣ ＜b＜﹣ ．
【解析】【分析】〔1〕根据对称函数的定义即可得到答案；
〔2〕①根据函数图象，求出点P，即可得到答案；
②根据函数图象，根据函数的临界点，求出答案即可。
25.【答案】 〔1〕解：由题意得：△＝22﹣4× ×m≥0，
解得m≤2；
〔2〕解：∵ ①，令x＝0，那么y＝2，故点A〔0，2〕，
而函数的对称轴为x＝﹣2，故顶点为B〔﹣2，0〕，
设直线AB的表达式为y＝kx+b，那么 ，
解得 ，
∴直线AB：y＝x+2，那么OA＝OB，故∠AOB＝45°，
∵以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，即PB⊥AB，
而∠AOB＝45°，
故直线PB与x轴负半轴的夹角为45°，
那么设直线PB的表达式为y＝﹣x+t，
将点B的坐标代入上式并解得t＝﹣2，
∴直线PB的解析式为y＝﹣x﹣2②，
联立①②得： ，
解得：x1＝﹣2〔舍去〕，x2＝﹣4，
∴P〔﹣4，2〕
〔3〕解：由点B、P的坐标知，BP＝ ＝ ，
关于y轴对称的点M〔4，2〕，
如图，连接PM，过点M作MH⊥AB于点H，那么AM＝4，
∵∠ABO＝∠BAO＝45°，
那么∠PAB＝90°﹣∠BAO＝90°﹣45°＝45°＝∠HMA，
那么HM＝AM•sin∠HMA＝4× ＝ ，
即M到直线AB的距离为 ，
∴BP长为半径的圆与直线AB相切．
【解析】【分析】〔1〕根据二次函数与x轴有公共点，即二次方程有根，根据根的判别式即可得到m的取值范围；
〔2〕根据题意，计算得到直线AB的解析式，将二次函数的解析式与直线PB的解析式，联立即可得到点P的坐标；
〔3〕由勾股定理计算得到BP的长度，根据锐角三角函数即可得到HM的长度，即可得到答案。