2021年福建省南平市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年福建省南平市九年级上学期数学期中试卷含答案，共16页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔    〕
A.                  B.                  C.                  D. 
2. 是关于 的方程 的一个根，那么m的值为〔    〕
A. 2                                           B. -1                                           C. 3                                           D. 4
3.以下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是〔    〕
A.            B.            C.            D. 
4.将二次函数 的图象向左平移1个单位，那么平移后的二次函数的解析式为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
5.二次函数 的图象是〔   〕
A.                       B.                       C.                       D. 
6.如图，将矩形 绕点 顺时针旋转到矩形 的位置，旋转角为 〔 〕，假设 ，那么 的度数为〔    〕

A.                                   B.                                   C.                                   D. 
7.如图， 是 的内接三角形， 是 的直径，点 在 上．假设 ，那么 的度数为〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
8.二次函数y=a〔x﹣2〕2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2 ， 假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，那么以下表达式正确的选项是〔　　〕

A. y1+y2＞0                B. y1﹣y2＞0                         C. a〔y1﹣y2〕＞0                D. a〔y1+y2〕＞0
9.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形 对角线 的中点， 轴且 ， ，将菱形 绕点O旋转，使点D落在x轴上，那么旋转后点C的对应点的坐标是〔    〕

A.                       B.                       C.                       D. 或
10.如图， 是 上任意一点，点 在 外， ， ， 是等边三角形，那么 的面积的最大值为〔    〕

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
二、填空题
11.点 与点 关于原点对称，那么a+b=________．
12.方程 的解是      .
13.如图， 是 的直径，点 ， 在 上， ， ，那么 的半径为________．

14.点 ， 在二次函数 的图象上，那么 与 的大小关系为 ________ ．〔填“ 〞“ 〞或“ 〞〕
15.有两个直角三角板，其中 ， ，按图①的方式叠放，先将 固定，再将 绕顶点 顺时针旋转，使 〔如图②所示〕，那么旋转角 的度数为________．

16.函数y=ax2﹣〔a﹣1〕x﹣2a+1，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大，那么a的取值范围是________.
三、解答题
17.解方程： ．
18.用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a〔x+m〕2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
19.关于 的方程 ，求证：不管 取何值，这个方程都有两个实数根．
20.如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出局部折起，可制成一个无盖方盒.

〔1〕无盖方盒盒底的长为________dm，宽为________dm〔用含x的式子表示〕
〔2〕假设要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.
21.如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A〔﹣1，3〕，B〔﹣4，0〕，C〔0，0〕

〔1〕.画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
〔2〕.画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
〔3〕.在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．
22.“绿水青山就是金山银山〞的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

〔1〕求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

〔2〕假设该型号自行车的进价不变，按〔1〕中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；假设每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

23.如图， 的直径 弦 于点 ，且 是 的中点，连接 并延长交 于点 .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 ，求 的长．
24.在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转角α〔0°＜α＜90°〕得△A1BC1 ， A1B 交 AC 于点 E，A1C1 分别交 AC、BC 于 D、F 两点．

〔1〕如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？ 并证明你的结论；
〔2〕如图 2，当α=30°时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由；
〔3〕在〔2〕的情况下，求 ED 的长．
25.如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 ，且 ，直线 〔 〕与二次函数的图象交于点 ， 〔点 在点 的右边〕，交 轴于点 ，交 轴于点 ．

〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕假设 ， ，求 的面积；
〔3〕假设 ，直线 与 轴相交于点 ，求 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：C ．
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐项判定即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】将x=-2代入原方程，得： ，解得： ，
故答案为：D．

【分析】将x=-2带入方程求解即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，分析图可知C不是旋转，它是轴对称的关系．
故答案为：C．

【分析】根据图形的旋转的性质逐项判定即可。
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为(0，0)，
把(0，0)向左平移1个单位所得对应点的坐标为(﹣1，0)，
所以平移后的抛物线解析式为 ．
故答案为：D．

【分析】根据函数平移的性质：左加右减，上加下减求解即可。
5.【答案】 C
【解析】【解答】由二次函数 可得：开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
故答案为：C．

【分析】根据二次函数的解析式可得到顶点坐标、对称轴即可判断。
6.【答案】 B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠D= ，
∵旋转角为 ， ，
∴∠DA = ，
∴∠BA = ，
由旋转得∠ =∠D= ，
∴∠2= ，
∴∠1=∠2= ，
故答案为：B.


【分析】根据旋转及矩形的性质可知：∠2= ， 再利用对顶角可求出∠1.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=36°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=54°．
故答案为：C．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可知∠ACB=90°，再利用角的运算可求出∠ACD=90°-∠BCD=54°．
8.【答案】 C
【解析】【解答】①a＞0时，二次函数图象开口向上，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，∴y1＞y2 ， 无法确定y1+y2的正负情况，a〔y1﹣y2〕＞0，②a＜0时，二次函数图象开口向下，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，∴y1＜y2 ， 无法确定y1+y2的正负情况，a〔y1﹣y2〕＞0，综上所述，表达式正确的选项是  a〔y1﹣y2〕＞0．应选C．

【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数的对称性确定出y1与y2的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，A、B、C均在坐标轴上，如图，

∵∠BAD=60°，AD=4，
∴∠OAD=30°，
∴OD=2，
∴AO= =OC，
∴点C的坐标为〔0， 〕，
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为〔0， 〕，
∴点C的坐标为〔0， 〕或〔0， 〕，
故答案为：D.
【分析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：以BC为边作等边 ，连接DM，

∵ ，
∴ ，
∵DC=AC，MC=BC，
∴ 〔SAS〕，
∴DM=AB=2为定值，
即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC为中垂线与圆的交点时，BC边上的高取最大值为 ，
此时面积为：
故答案为：A

【分析】以BC为边作等边 ，连接DM，利用“SAS〞证明， 根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D再以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为， 根据三角形的面积即可得到结论。
二、填空题
11.【答案】 -3
【解析】【解答】解：∵点A〔a，-1〕与点B〔4，b〕关于原点对称，
∴a=-4，b=1，
那么a+b的值为：-4+1=-3．
故答案为：-3．

【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横、纵坐标都变为相反数求解即可。
12.【答案】 或x=1
【解析】【解答】x=0,或x+10
∴x1=0,x2=-1
【分析】根据两个因式的积为0，这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，求解即可得出原方程的解。
13.【答案】 2
【解析】【解答】解：∵
∴∠A=∠CDB，
∵∠CDB=30°，
∴∠A=30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴⊙O的半径是 ，
故答案为：2．

【分析】根据圆周角的性质可知∠A=∠CDB，再利用含30°直角三角形的性质可求出AB的长。
14.【答案】 ＞
【解析】【解答】解：∵二次函数的解析式为y=-x2-2x+c=-〔x+1〕2+1+c，
∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x=-1．
∵点A〔-2，y1〕，B〔-3，y2〕在二次函数y=-x2-2x+c的图象上，且-3＜-2＜-1，
∴y1＞y2 ．
故答案为:＞．

【分析】选求出函数的对称轴，再利用函数的性质求解即可。
15.【答案】 30º
【解析】【解答】由题意得： 和 都是直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：30º．

【分析】由直角三角形的性质可得∠ABC=60°，由平行线的性质可得BC⊥AD，即可求解。
16.【答案】 ﹣ ≤a≤1
【解析】【解答】解：根据题意得：当a＜0时，﹣ ≥3，
解得：﹣ ≤a＜0；
当a=0时，原函数为一次函数y=x+1，
∵1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴a=0符合题意；
当a＞0时，﹣ ≤0，
解得：0＜a≤1.
综上所述：a的取值范围是﹣ ≤a≤1.
【分析】分类讨论：分当a＜0时，根据二次函数的性质得出﹣ ≥3，求解即可得出a的取值范围；当a=0时，原函数为一次函数，由一次函数的性质可知y随x的增大而增大，故a=0符合题意；当a＞0时，根据二次函数的性质得出﹣ ≤0，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案。
三、解答题
17.【答案】 解：△＝42﹣4×2×〔﹣3〕＝40，
x＝ ，
所以 ， ．
【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据求根公式解方程．
18.【答案】 解： ,
= ,
= ,
开口向下,对称轴为直线 ,顶点 .
【解析】【分析】利用配方法即可将一般是转换成顶点式，再根据顶点式即可求出开口方向、对称轴和顶点坐标。
19.【答案】 证明： .
∵ ，即 ，
∴不管 取何值，这个方程都有两个实数根.
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式证明即可。
20.【答案】 〔1〕〔10﹣2x〕；〔6﹣2x〕
〔2〕解：根据题意得：〔10﹣2x〕〔6﹣2x〕=32，解得：x1=1，x2=7〔不合题意，舍去〕.
答：剪去的正方形边长为1dm
【解析】【解答】〔1〕无盖方盒盒底的长为〔10﹣2x〕dm，宽为〔6﹣2x〕dm.
故答案为：〔10﹣2x〕；〔6﹣2x〕.
【分析】〔1〕根据题意无盖方盒盒底的长为〔10﹣2x〕dm，宽为〔6﹣2x〕dm；
〔2〕根据长方形的面积计算方法及无盖长方体纸盒的底面积是32dm2 ， 列出方程，求解并检验即可.
21.【答案】 〔1〕解：如下列图，△A1B1C1为所求做的三角形；


〔2〕解：如下列图，△A2B2O为所求做的三角形；


〔3〕解：∵A2坐标为〔3，1〕，A3坐标为〔4，﹣4〕，
∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，
令y=0，那么x= ，
∴P点的坐标〔 ，0〕．
【解析】【分析】此题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．〔1〕分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；〔2〕根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；〔3〕利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3 ， 再连接A2A3与x轴的交点即为所求．
22.【答案】 〔1〕解：设进价为x元，那么标价是1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8-8x=〔1.5x-100〕×7-7x，
解得：x=1000，
1.5×1000=1500〔元〕，
答：进价为1000元，标价为1500元

〔2〕解：设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：
w=〔51+ ×3〕〔1500-1000-a〕，
=- 〔a-80〕2+26460，
∵- ＜0，
∴当a=80时，w最大=26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元
【解析】【分析】〔1〕设进价为x元，那么标价是1.5x元，由题意得：每辆自行车的实际售价是1.5x×0.9元，按这种方式销售8辆自行车的利润是1.5x×0.9×8-8x元，直降100元销售每辆车的售价为〔1.5x-100〕元，这样销售7辆车的利润是〔1.5x-100〕×7-7x元，根据按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．列出方程，求解即可；
〔2〕设该型号自行车降价a元，利润为w元，每月的实际销量为〔51+ ×3〕辆，每辆的利润是〔1500-1000-a〕元，根据销售的数量乘以每辆车的利润即可得出每月的总利润，即可列出函数关系式，根据函数性质即可解决问题。
23.【答案】 〔1〕证明：如图，连接 .

∵ ， 是 的中点，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .

〔2〕解：∵ ，
∴ .
∵ 是 的中点，
∴ .
在 中， .
∵ ，
∴ .
【解析】【分析】〔1〕连接BC，求出OC=BC，根据等边三角形的判定得出△OBC是等边三角形，求出∠BCO=∠BOC=60°，求出∠BAD=∠BCD=30°，再求出∠AFO的度数即可；
〔2〕求出OE的长，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD=2CE，即可求出答案。
24.【答案】 〔1〕解：EA1=FC．
证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C．
由旋转可知，AB=BC1 ， ∠A=∠C1 ， ∠ABE=∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF．
∴BE=BF，又∵BA1=BC，
∴BA1﹣BE=BC﹣BF．即 EA1=FC．

〔2〕解：四边形 BC1DA 是菱形．
证明：∵∠A1=∠ABA1=30°，
∴A1C1∥AB，同理 AC∥BC1 ．
∴四边形 BC1DA 是平行四边形． 又∵AB=BC1 ，
∴四边形 BC1DA 是菱形．

〔3〕解：过点E作EG⊥AB于点G，那么AG=BG=1．

在Rt△AEG中，AE= .
由〔2〕知四边形BC1DA是菱形，
∴AD=AB=2，
∴ED=AD-AE=2- ．
【解析】【分析】〔1〕根据旋转的性质得到对应边相等和对应角相等，从而得到全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明即可；
〔2〕在〔1〕的根底上，易发现该四边形的四条边相等，从而证明菱形；
〔3〕根据菱形的性质及直角三角形的知识及等腰三角形的性质求解即可。
25.【答案】 〔1〕解：二次函数图象的对称轴是直线
∵
∴ ，
将 代入
解得
故二次函数的解析式为 ；

〔2〕解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
解得
∴直线 的解析式为
将抛物线与直线对应的解析式联立，整理得：
解得 ，
∴ 的横坐标是4， 的横坐标是1
∵
∴ ；

〔3〕解：当 时，直线
将抛物线与上述直线的解析式联立，整理得

∴ ，
当 时，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
当 时，
∴
那么 所在直线的解析式为
∴
∵ ，
∴ ，
∴
综上可知 ．
【解析】【分析】〔1〕用待定系数法求解即可；〔2〕由求出OQ的长，再利用△CMN的面积=△CPM的面积-△CPN的面积求解即可；〔3〕联立方程，利用一元二次方程根的判别式求出x的值，再分情况求解即可。