2021年福建省厦门市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年福建省厦门市九年级上学期数学期中试卷含答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，那么这个方程可能是〔    〕
A.                    B.                    C.                    D. 
2.在平面直角坐标系中，点〔2，6〕关于原点对称的点的坐标是〔   〕
A. (-2，-6)                               B. (-2，6)                               C. (-6，2)                               D. (6，2)
3.以以下图形中，不是中心对称图形的是〔    〕
A. 线段                               B. 平行四边形                               C. 圆                               D. 等边三角形
4.如果将抛物线 向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是〔   〕

A.                    B.                    C.                    D.   
5.如图，C是⊙O上一点，O是圆心，假设∠C=35°，那么∠AOB的度数为〔   〕

A. 35°                                     B. 70°                                     C. 105°                                     D. 150°
6.方程 的根的情况是〔   〕
A. 有两个不相等的实数根        B. 有两个相等的实数根        C. 有且只有一个实数根        D. 没有实数根
7.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE ， 假设点D落在线段BC的延长线上，那么∠B大小为(   )

A. 30°                                       B. 35°                                       C. 40°                                       D. 45°
8.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，以以下式正确的选项是〔    〕
A.              B.              C.              D. 
9.二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的局部对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
那么当y＜5时，x的取值范围为〔     〕
A. 0＜x＜4                           B. ﹣4＜x＜4                           C. x＜﹣4或x＞4                           D. x＞4
10.如图，AB切⊙O于点B ， OA与⊙O相交于点C ， AC=CO ， 点D为 上任意一点(不与点B、C重合)，那么∠BDC等于(       )

A. 120°                                     B. 130°                                     C. 140°                                     D. 150
二、填空题
11.方程 的解是________．
12.二次函数 的最小值是________．
13.如图，正六边形ABCDEF内接于 ，半径为4，那么这个正六边形的边心距OM的长为________．

14.在平面直角坐标系中，把点A〔2，1〕绕着原点顺时针旋转90°，得到的点B坐标为________．
15.“圆材埋壁〞是我国古代著名数学著作?九章算术?中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何〞此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长〞．根据题意可得CD的长为       ．

16.点 、 、 都在二次函数 的图象上，假设 ，那么 、 、 的大小关系是________．
三、解答题
17.  
〔1〕
〔2〕
18.抛物线的顶点坐标为 ，且经过点 ，求该抛物线的解析式，并在平面直角坐标系中画出该抛物线的图像．
19.如图，直线AB经过⊙O上的一点C ， 并且OA＝OB ， CA＝CB ， 求证：直线AB是⊙O的切线．

20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A〔5，4〕，B〔1，3〕，将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1 ．

〔1〕画出△A1OB1；
〔2〕在旋转过程中点B所经过的路径长．
21.关于x的一元二次方程 ．
〔1〕求证：方程总有两个实数根；
〔2〕假设方程有一根小于1，求k的取值范围．
22.某书店销售儿童书刊，一天可出售20套，每套盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．假设一套书每降价1元，平均每天可多出售2套．
〔1〕假设要书店每天盈利1200元，那么需降价多少元？
〔2〕设书店一天可获利润y元，当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润为多少？
23.四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．

〔1〕假设AB＝AD，求∠ACB的度数；
〔2〕连接AC，假设AD＝8，AB＝6，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
24.如图，，点E在正方形ABCD的BC边上〔不与点B，C重合〕，AC是对角线，过点E作AC的垂线，垂足为G ， 连接BG ， DG ． 把线段DG绕着G点顺时针旋转，使D点的对应点F点刚好落在BC延长线上，根据题意补全图形．

〔1〕证明： ；
〔2〕连接DF ， 用等式表示线段BG与DF的数量关系，并证明．
25.己知点 在抛物线 上，直线 过点A ．
〔1〕当 时，求b的值；
〔2〕假设抛物线C与直线L有且只有一个交点．
①求m关于a的关系式；
②点B为直线L与抛物线C的对称轴的交点，求线段AB长的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】A． ，符合题意
B． 移项后变为 ，常数项是-1，故不符合；
C． 二次项系数为1，故不符合；
D． 移项后变为 ，常数项是-1，故不符合，
故答案为：A.

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判定即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：点〔2，6〕关于原点对称的点的坐标是〔-2，-6〕，
故答案为：A．

【分析】根据关于原点对称的点坐标的特征：横、纵坐标都变为相反数求解即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，按定义只有D不是中心对称图形．
故答案为：D．

【分析】根据中心对称图形的特征逐项判定即可。
4.【答案】 C
【解析】【解答】将抛物线 向下平移1个单位，只要考虑将其顶点〔0，2〕向下平移1个单位，得到新抛物线的顶点〔0，1〕，从而得到新抛物线的表达式 。故答案为：C。
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减〞即可求解.
5.【答案】 B
【解析】【解答】同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数的两倍，那么∠AOB=2∠C=70°．
故答案为：B．

【分析】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】在方程x −2x−3=0中，
△=b −4ac=(−2) −4×1×(−3)=16>0，
故该方程有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】根据根的判别式得出△=b -4ac，套入数据求出△的值，由此即可得出结论．
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：由旋转可知,∠BAD=110°,AB=AD
∴∠B=∠ADB,
∠B=〔180°-110°〕 2=35°,
故答案为：B.

【分析】根据旋转的性质可得AB=AD。利用等边对等角可得∠B=∠ADB,利用三角形的内角和定义求出∠B的度数.
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得，
x+1+〔x+1〕x=81
故答案为：C．

【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患病，第一轮又〔x+1〕人，第二轮又x+1+〔x+1〕x人，即81人，列方程求解即可。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，
所以，x=4时，y=5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：A．

【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y<5时，x的取值范围即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】如图，优弧BC上任取一点E，连接CE，BE，

∵AB切⊙O于点B，
∴∠ABO=90°，
∵AC=OC=OB，
∴ ，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴ ，
∴∠BDC=180°-∠E=150°，
故答案为：D．

【分析】根据切线的性质和圆周角定理求解即可。
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解： ， 。
【分析】将方程等号左侧的式子进行因式分解，即可得到方程的两个根。
12.【答案】 1
【解析】【解答】二次函数 =〔x-1〕2+1，
∵a=1 0,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点〔1，1〕，
抛物线的的最小值是1．
故答案为:1．

【分析】利用配方法求最小值即可。
13.【答案】
【解析】【解答】如图，连结OC、OB，

∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠BOC=60º，
∵OC=OB，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OBM=60º，
∴OM=OM•sin∠OBM=4× ，
故答案为： ．

【分析】利用垂径定理及勾股定理求解即可。
14.【答案】 〔1，﹣2〕
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴于点C ， 过B作BD⊥x轴于点D ，

∵点A〔2，1〕，
∴AC＝1，OC＝2，
∵点A〔2，1〕绕着原点顺时针旋转90°得到点B ，
∴OD＝AC＝1，BD＝OC＝2，
∴点B的坐标是〔1，﹣2〕．
故答案为：〔1，﹣2〕．

【分析】根据旋转的性质直接求点B的坐标即可。
15.【答案】 26
【解析】【解答】连接OA，AB⊥CD，

由垂径定理知，点E是AB的中点，AE= AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，
设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+〔OA﹣CE〕2 ， 即r2=52+〔r﹣1〕2 ，
解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．
【分析】连接OA，由垂径定理可求出∠OAE=90°、AE=5，设半径为r，由勾股定理可求出r的值，继而可得圆的直径.
16.【答案】
【解析】【解答】∵二次函数
∴对称轴方程为 ，且抛物线开口向上，
∴横坐标离对称轴x=a越远，y越大，
a-m离x=a有m个单位长度，
a-n离x=a有n个单位长度，
a+b离x=a有b个单位长度，
又∵ ，
∴ ，
故答案为： .

【分析】先求出二次函数的对称轴，再逐次比较A、B、C三个点离函数对称轴距离即可求解。
三、解答题
17.【答案】 〔1〕解：

 

 

〔2〕解：



【解析】【分析】〔1〕利用直接开平方法求解即可；〔2〕利用公式法求解即可。
18.【答案】 解：设抛物线的解析式为 ，
点物抛线经过点〔2，－1〕，
 ，
解得： ，
，
x
.....
-1
0
1
2
3
.....
y
.....
2
-1
-2
-1
2
.....
描点〔-1，2〕，〔0，-1〕，〔1，-2〕，〔2，-1〕，〔3，2〕，
用平滑曲线连接，
，
那么函数 图像为所求．
【解析】【分析】利用顶点式求二次函数解析式，再列表、描点，画图即可。
19.【答案】 证明：连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，
∴△OAB是等腰三角形，
又OC是底边AB上的中线，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
【解析】【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质，可得， 因为C时圆上一点，即可得AB时圆O的切线。
20.【答案】 〔1〕解：△A1OB1如以下图；


〔2〕解：由勾股定理得， ，
所以，点B所经过的路径长=
【解析】【分析】〔1〕先画出点A、B关于点O旋转后的对应点，再连线即可；〔2〕利用弧长公式计算即可。
21.【答案】 〔1〕证明： ，
，
，
方程总有两个实数根

〔2〕解： ，
，
 ，
方程有一根小于1，
，
．
【解析】【分析】〔1〕利用根的判别式求解即可；〔2〕利用公式法求出一元二次方程的根，再判断即可。
22.【答案】 〔1〕解：设需降价 元，依题意得：
 
解得
∵尽快减少库存
∴取
答：那么假设书店每天盈利1200元，那么降价了20元．

〔2〕解：设每套书降价x元时，所获利润为y元，依题意得：
 
 
∵-2<0，有 最大值.
∴当x=15时， 取得最大值1250；
答：当降价价15元时，该书店可获得最大利润，最大利润为1250元．
【解析】【分析】〔1〕设降价为x，用含x的表达式表示出每件的利润和数量，在列出方程求解即可；〔2〕将问题转化为二次函数，配方求最大值即可。
23.【答案】 〔1〕解：连接BD，

∵∠DAB=90°，
∴BD为直径，
∵AD=AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ADB=45°；

〔2〕解：如图，作BH⊥AC于H，

∵∠DAB=90°，
∴BD为直径， ，
∴∠BCD=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠BAC=45°，
∴∠CBD=∠BDC=45°，
∴△CDB为等腰直角三角形，
∴ ，
在Rt△ABH中，AH=BH= AB=3 ，
在Rt△BCH中， ，
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕连接BD，根据圆周角性质得到BD为直径，推出三角形ABD为等腰直角三角形，即可求出∠ACB的度数；〔2〕作于H，根据勾股定理的到BD的长，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠BAC=45°，推出△CDB为等腰直角三角形，再解直角三角形即可。
24.【答案】 〔1〕证明：补全图形如以下图，

∵四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，
∴∠ACB＝45°，
∵EG⊥AC，∴∠EGC=90 °
∴∠ GEC= ∠ ACB=45 °
∴GC＝GE；

〔2〕解： ．理由如下：
证明：∵△EGC 是等腰直角三角形，
∴EG＝GC，∠GEC＝∠ACB＝45°，
∴∠BEG＝∠GCF＝135°，
由旋转得：DG＝GF，
正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BCA=∠DCA=45°，CG=CG
∴△CBG≌△CDG〔SAS〕，
∴∠CGB=∠CGD， BG＝DG，
∴BG=GF ∴∠GBC=∠GFB
又∠BEG＝∠GCF
∴△BEG≌△FCG〔AAS〕，
∴∠BGE＝∠CGF，
∴∠CGB﹣∠BGE＝∠CGD﹣∠CGF，
即∠EGC＝∠DGF＝90°，
∴△DGF 是等腰直角三角形，
 
即 ．
【解析】【分析】〔1〕证明三角形EGC时等腰三角形即可得出结论；〔2〕连接DG、FG，利用“SAS〞证明△CBG≌△CDG，得到角、边相等，证出△DGF 是等腰直角三角形，即可证出结论。
25.【答案】 〔1〕解：当 时，
∵  点A〔2，b〕(a≥2)在抛物线C：y＝x2－2x＋3上，
∴  ，   
∴ 

〔2〕解：①联立： ，
化简得： ，
，
∵ 抛物线C与直线L有且只有一个交点，
∴  ①，
∵ 点A〔a，b〕(a≥2)在抛物线C：y＝x2－2x＋3上和直线L：y＝mx＋n上，
∴ 方程 有一根为x＝a，
∴ ，
∴ ②，
把②式代入①式得， ，
化简得： ，
解得： ②把 代入②式得： ，
∴ ，
 ∴ 直线L： ，
抛物线C： 的对称轴为 ，
对于直线L： ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
根据勾股定理 ，
∴  (a≥2)，
设： ，那么 ，
此时 ， 随t的增大而增大，
故 时， ，
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕将点A的坐标代入计算即可；〔2〕①将一次函数与二次函数联立，求根的判别式即可；②根据题意化简整理，求出直线L的解析式及抛物线C的对称轴，求出点A的坐标，根据勾股定理列出等量关系式，求解即可。