2021年福建省龙岩市九年级上学期数学期中试卷 (1)含答案

这是一份2021年福建省龙岩市九年级上学期数学期中试卷 (1)含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.关于x的方程 ，有一个根为3，那么m的值等于〔    〕
A. 2                                         B.                                          C. -2                                         D. 
2.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程 的一个根，那么第三边的长是〔    〕
A. 2                                          B. 4                                          C. 6                                          D. 2或4
3.如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，那么OM的长的取值范围是〔   〕

A. 3≤OM≤5                        B. 4≤OM≤5                        C. 3＜OM＜5                        D. 4＜OM＜5
4.下表是满足二次函数 的五组数据， 是方程 的一个解，那么以下选项中正确的选项是〔   〕
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
-0.80
-0.54
-0.20
0.22
0.2
A.                     B.                     C.                     D. 
5.△ABC是⊙O内接三角形，∠BOC=80°，那么∠A等于〔   〕
A. 80°                                  B. 40°                                  C. 140°                                  D. 40°或140°
6.以下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔　　〕

A.             B.             C.             D. 
7.二次函数 的图象过点A〔1，2〕，B〔3，2〕，C〔5，7〕．假设点M〔-2，y1〕，N〔-1，y2〕，K〔8，y3〕也在二次函数 的图象上，那么以下结论正确的选项是(     )
A. y1＜y2＜y3                       B. y2＜y1＜y3                       C. y3＜y1＜y2                       D. y1＜y3＜y2
8.圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，那么其侧面积为〔    〕
A. π                                         B. 2π                                         C. 3π                                         D. 4π
9.四边形 四个顶点的坐标分别为 ，那么四边形 周长的最小值为〔    〕
A. 12                                B.                                 C.                                 D. 
10.如图，直角坐标系中两点 ，P为线段 上一动点，作点B关于射线 的对称点C ， 连接 ，那么线段 的最小值为〔    〕

A. 3                                         B. 4                                         C.                                          D. 
二、填空题
11.方程x2=x的根是       ．
12.边长为2的正方形ABCD的外接圆半径是________．
13.某商品本钱为50元，由于连续两年降低本钱，现为19元．假设每年本钱降低率相同，设本钱降低率为x ， 那么所列方程为：________．
14.定义运算： ，假设 ， 是方程 的两个根，那么 的值为________．
15.如图， 的顶点B、C、D在半圆O上，顶点E在直径 上，连接 ，假设 ，那么 的度数为________度．

16.在平面直角坐标系中，抛物线 经过 和 两点，直线 与抛物线交于A ， B两点，P是直线 上方的抛物线上一动点，当 的面积最大值时，点P的横坐标为________．
三、解答题
17.解方程： ．
18.将矩形 绕点A顺时针旋转得到矩形 ，点 在 上．

求证： ．
19.如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD=CE．

 
20.关于 的方程 有两个不相等的实数根 ．
〔1〕求k的取值范围；
〔2〕是否存在实数 ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出 的值；如果不存在，请您说明理由．
21.如图，抛物线 经过点 ，交y轴于点C ．

〔1〕求抛物线的解析式〔用一般式表示〕；
〔2〕假设点E在抛物线上，且 是以 为底的等腰三角形，求点E的横坐标．
22.如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点， ＝ ＝ ，连接AD ， 过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E ．

〔1〕求证：DE是⊙O的切线．
〔2〕假设直径AB＝6，求AD的长．
23.“互联网+〞时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其本钱为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，那么每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元〔x为正整数〕，每月的销售量为y条.
〔1〕直接写出y与x的函数关系式；
〔2〕设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
〔3〕该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生.为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
24.          
〔1〕如图1， 是正方形 边 上的一点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线 交于点 和点 .
①线段 和 的数量关系是   ▲    ；
②写出线段 和 之间的数量关系.
〔2〕当四边形 为菱形， ，点 是菱形 边 所在直线上的一点，连接 ，将 绕着点 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线 交于点 和点 .
①如图2，点 在线段上时，请探究线段 和 之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②如图3，点 在线段 的延长线上时， 交射线 于点 ；假设 ,直接写出线段 的长度.  
25.抛物线 ，直线 与x轴交于点M ， 与y轴交于点N ．
〔1〕求证：抛物线与x轴必有公共点；
〔2〕假设抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求 的面积；
〔3〕假设线段 与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】把x=3代入方程 ，即 ，解得m=2，
故答案为：A．

【分析】将x=3代入计算即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+8=0得，
x=2或4，
那么第三边长为2或4．
边长为2，3，6不能构成三角形；
而3，4，6能构成三角形，
故答案为：B

【分析】先求出一元二次方程的根，再结合三角形三边的关系判断即可。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解： 的直径为10，半径为5，当 时， 最小，根据勾股定理可得 ， 与 重合时， 最大，此时 ，所以线段的 的长的取值范围为 ，
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短可得当 时， 最小，根据勾股定理和垂径定理可得OM的最小值，再根据直径为10可得OM的最大值为半径，即可得结果.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：由表格中的数据，得：
在1.6＜x＜2.4范围内，y随x的增大而增大，
当x=2.0时，y=−0.20<0，当x=2.2时，y=0.22>0，
所以方程 的一个根 的取值范围是2.0< <2.2，
故答案为：C．

【分析】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可。
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：应分为两种情况：
点A在优弧BC上时，∠BAC=40°；
点A在劣弧BC上时，∠BAC=140°；
所以∠BAC的大小为40°或140°．
应选D．
【分析】因为点A可能在优弧BC上，也可能在劣弧BC上，那么根据圆周角定理，得∠BAC=40°或140°．
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．应选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两局部重合．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
7.【答案】 B
【解析】【解答】把A〔1，2〕，B〔3，2〕，C〔5，7〕代入y=ax2+bx+c得
，
解得 ．
∴函数解析式为y= x2- x+ = 〔x-2〕2+ ．
∴当x＞2时，y随x的增大而增大；
当x＜2时，y随x的增大而减小；
根据对称性，K〔8，y3〕的对称点是〔-4，y3〕；
所以y2＜y1＜y3 ．
故答案为：B．

【分析】先求出二次函数解析式，再利用二次函数的性质判断即可。
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：该圆锥的侧面积为π×1×3=3π．
故答案为：C．
【分析】利用圆锥的侧面积计算公式直接计算即可。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：如下列图，作点A关于直线 的对称点A1 ， 然后做A1G=1且A1G⊥x轴，连接GB交y轴于点C，然后点C上移一个单位后得到点D，此时四边形ABCD周长最小

∵A和A1关于直线 对称
∴A1D=AD，A1坐标为〔8，4〕
∵A1G∥DC且A1G=DC
∴四边形A1DCG是平行四边形
∴A1D=AD=CG
∴AD+BC=BG，此时AD+BC有最小值
∵G坐标为〔8，3〕
∴BG= =
∵
∴AB= ，CD=1
∴四边形 周长的最小值=6+
故答案为：D

【分析】由于AB、CD长为定值，四边形ABCD周长最短其实就是AD+BC最小，不妨作A点关于直线x=4的对称点A'，B点向上平移1个单位长度得到B'，连接A'B'，交直线X=4于点D，利用勾股定理求出AB和A'B'的长即可。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，当C位于y轴上时，AC取最小值，

∵C是B关于射线 的对称点，
∴ ， ，

又∵
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为A.

【分析】连接OC、AC，根据轴对称的性质得出OC=OB=1，然后根据三角形三边关系求出结论即可。
二、填空题
11.【答案】 x1=0，x2=1
【解析】【解答】解：x2﹣x=0，
x〔x﹣1〕=0，
∴x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x〔x﹣1〕=0，方程就可转化为两个一元一次方程x=0或x﹣1=0，然后解一元一次方程即可．
12.【答案】
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BD交于点O，即为正方形ABCD外接圆的圆心，

∴OA、OB、OC、OD为正方形ABCD外接圆的半径
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠AOC＝90°
在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2 ，
∵AC＝2，OA=OC，
∴4＝2 OA2 ，
∴OA＝
即正方形ABCD外接圆的半径为
故答案为

【分析】根据垂径定理及勾股定理求解即可。
13.【答案】
【解析】【解答】解：由题意得： ；
故答案为 ．

【分析】根据等量关系：， 列出方程即可。
14.【答案】 -8
【解析】【解答】∵ ， 为 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为-8．
【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab和a+b的代数式，再由a 、b 是方程 的两个根可得ab和a+b的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解．
15.【答案】 68
【解析】【解答】解：∵四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠CDE+∠C=180°，
∵ ，
∴∠C=112°，
∵∠C+∠A=180°，
∴∠A=68°；
故答案为68．

【分析】根据平行四边形的性质得出DC//AB，求出角C的度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可。
16.【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，把点 和 代入抛物线，那么
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
∴ ，
解得： ， ；
∴A、B两点的横坐标分别为： ，2；
如图，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，

设点P为〔x， 〕，那么点C的坐标为〔x，x+1〕，
∴线段PC= ，
点A、B的横坐标距离为： ，
∴ 的面积为： ，
整理得到： ；
∴当 时， 的面积最大；
故答案为： ．

【分析】先求出抛物线解析式，再求出A、B的坐标，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点C，求出PC的长，利用二次函数最值的性质求解即可。
三、解答题
17.【答案】 解： ，
，
，
，
，
即 ， ．
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
18.【答案】 证明〔方法不唯一〕：
由旋转可得， ，
，
又
 
又 ，
，
，
又 ，
．
【解析】【分析】根据旋转的性质可得AB=A'B'、BC=B'C'=AD，再利用“AAS〞证出三角形全等，得出结论。 
19.【答案】 证明：如图，∵AB∥CE，

∴∠ACE=∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠C=∠CAD，
∴=，
∴+=+，
∴=，
∴AD=CE．
【解析】【分析】欲证明AD=CE，只需证明=即可．如图，根据平行线的性质和角平分线的定义易证得∠C=∠CAD，所以=， 那么+=+， 故=．

20.【答案】 〔1〕解：方程 有两个不相等的实数根 ，
可得k−1≠0，
∴k≠1且
可解得 且k≠1；

〔2〕解：假设存在两根的值互为相反数,设为
∵
∴
∴
又∵ 且k≠1，
∴k不存在.
【解析】【分析】〔1〕根据根的判别式求出k的取值范围，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0求出k的取值范围即可；〔2〕根据相反数的性质列出关于k的方程，再根据〔1〕中k的取值范围进行判定即可。
21.【答案】 〔1〕解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；

〔2〕解：设点E为
依题意得，
∴ ，即
化简得，
解得： ，
∴点E的横坐标为 或 ．
【解析】【分析】〔1〕用待定系数法求解即可；〔2〕设点E的坐标，根据等腰三角形的性质得到EC=EB，列出方程求解即可。
22.【答案】 〔1〕证明：连接OD，

∵ ，
∴∠BOD＝ 180°＝60°，
∵ ，
∴∠EAD＝∠DAB＝ BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

〔2〕解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝ AB＝3，
∴AD＝ ＝3 ．

【解析】【分析】〔1〕连接OD ， 根据条件得到∠BOD＝ 180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE ， 于是得到结论；〔2〕连接BD ， 根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
23.【答案】 〔1〕解：y＝100+5〔80－x〕或y＝－5x+500
〔2〕解：由题意，得：
W=(x-40)(－5x+500)
=-5x2+700x-20000
=-5(x-70)2+4500∵a=-5<0∴w有最大值
即当x=70时，w最大值＝4500
∴应降价80－70＝10〔元〕
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元。

〔3〕解：由题意，得：
-5(x-70)2+4500＝4220+200
解之，得：
x1＝66，x2＝74
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当66≤x≤74时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠
【解析】【分析】〔1〕原销售价为80元/条，售价为x元,那么降价为(80-x)元,多销售5(80-x),原销售量为100，那么现销售量y=100+ 5〔80－x〕 .
(2)每条裤子的本钱价为40元,那么每条裤子获利(40-x)元，销售量和单件利润相乘即得总利润和W和销售价格x的函数关系式。配方求出销售利润最大值，得出销售价x, 那么知降价多少。
〔3〕根据条件总利润为4220+200，代入w和x的函数关系式，求得这时的售价x, 解得x有两解。为了让利于消费者，销售价较低者符合要求。

24.【答案】 〔1〕DB=DG；解：②BF+BE= BD，理由如下：
由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，
∴△FDG≌△EDB〔ASA〕，
∴BE=FG，
∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，
∴CD=CG=CB，
∵DG=BD= BC，
即BF+BE=2BC= BD；

〔2〕解：①如图2，BF+BE= BD，
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB= ∠ADC= ×60°=30°，
由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，
在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，
∴∠DBG=∠G=30°，
∴DB=DG，
∴△EDB≌△FDG〔ASA〕，
∴BE=FG，
∴BF+BE=BF+FG=BG，
过点D作DM⊥BG于点M，如图2，

∵BD=DG，
∴BG=2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM=30°，
∴BD=2DM．
设DM=a，那么BD=2a，
DM= a，
∴BG=2 a，
∴ ，
∴BG= BD，
∴BF+BE=BG= BD；
②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，

Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，
∴AN=1，BN= ，
∴BD=2BN=2 ，
∵DC∥BE，
∴ ，
∵CM+BM=2，
∴BM= ，
Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2 ，
∴BP=3，
由旋转得：BD=BF，
∴BF=2BP=6，
∴GM=BG-BM=6+1- = ．
【解析】【解答】⑴解：①DB=DG，理由是：
∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，

由旋转可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBD=45°，
∴∠G=45°，
∴∠G=∠CBD=45°，
∴DB=DG；
故答案为DB=DG；

【分析】〔1〕①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；〔2〕①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例求出BM，再利用线段的计算求解即可。
25.【答案】 〔1〕证明：∵
∴抛物线与x轴必有公共点

〔2〕解：∵
∴其定点C的横坐标为
又∵定点C在直线 上，所以定点C的坐标为
把点 代入抛物线 中，解得
∴抛物线方程为
∴抛物线与x轴的交点分别为 和
∴
∴

〔3〕解：当 时， ，那么N为
当 时， ，即M为
∵拋物线的对称轴为
∴分两种情况：
①由 ，得
∴ ，解得 时，
线段 与抛物线有且只有一个公共点；
②当 ，解得 或 时，
线段 与抛物线有且只有一个公共点．
综上所述，m的取值范围是 或 或 ．
【解析】【分析】〔1〕将抛物线于x轴的交点问题转化为求一元二次方程根的判别式的问题求解即可；〔2〕求出点C的坐标，在利用三角形的面积计算公式计算即可；〔3〕将直线解析式与抛物线解析式联立方程，利用二次函数与x轴的交点情况，分类讨论求解即可。