2021年福建省宁德福鼎市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年福建省宁德福鼎市九年级上学期数学期中试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.如果 ，那么 的值为〔   〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
2.以下每个选项的两个图形，不是相似图形的是〔   〕
A.                                            B. 
C.                                        D. 
3.矩形具有而菱形不具有的性质是〔   〕
A. 对角相等                       B. 对角线互相垂直                       C. 对角线相等                       D. 对边平行
4.如图，练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A ， B ， C都在横格线上．假设线段AB＝6，那么线段AC的长为〔    〕

A. 12                                         B. 18                                         C. 24                                         D. 30
5.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上〞的概率为0.5，是指〔　　〕

A. 连续掷2次，结果一定是“正面朝上〞和“反面朝上〞各1次
B. 连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上〞和“反面朝上〞各50次
C. 抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上〞
D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
6.如图，四边形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， 且AC⊥BD ， 那么以下条件能判定四边形ABCD为菱形的是〔   〕

A. AB＝CD                B. OA＝OC ， OB＝OD                C. AC=BD                D. ，AD＝BC
7.为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有3名学生〔2名男生，1名女生〕获奖．老师假设从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士〞，那么恰好是一名男生、一名女生的概率为〔   〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 
8.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC ． 假设△ADC的面积为a ， 那么△ABC的面积为〔    〕

A. 6a                                        B. 4a                                        C.                                         D. 
9.假设m是方程 的一个根，设 ， ，那么p与q的大小关系为〔   〕
A. p＜q                              B. p＝q                              C. p＞q                              D. 与c的取值有关
10.如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以BC为对角线作正方形BDCF ， 连接AD ， 那么AD长不可能是〔   〕

A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
二、填空题
11.在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，那么CD＝________．
12.方程 的根是________．
13.在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过屡次摸球试验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，那么口袋中蓝色球的个数很可能是________．
14.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，那么∠BAC的度数为________．

15.?算学宝鉴?全称?新集通证古今算学宝鉴?，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷,近50万字,代表了我国明代数学的最高水平.?算学宝鉴?中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美,且早于牛顿140年.?算学宝鉴?中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔共几何？〞
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为________．
16.如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=60°，M、N分别是边BC ， CD上的点，BM=CN ， 连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为________．

三、解答题
17.解方程:
18.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D ， CE⊥AB于E ． 求证： ．

19.在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上．

〔1〕以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1 ， 位似比为1:2．
〔2〕在(1)中所画得图形中，△ABC的中线CD与△A1B1C1的中线C1D1的位置关系为________．
20.第七次全国人口普查于2021年11月1日开展，某学校积极响应所在社区的号召，选派局部教师参与普查，其中数学组有4位教师志愿报名，分别记为甲、乙、丙、丁．
〔1〕假设该校从数学组教师志愿者中抽调1位教师作为普查员，求教师甲被选中的概率．
〔2〕假设该校从数学组教师志愿者中抽调2位教师作为普查员，请用列表或画树状图的方法，求出教师甲和乙被选中的概率．
21.如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F ， H分别在边BC ， AD上．

〔1〕当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH ． 〔保存作图痕迹，不写作法〕
〔2〕假设菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．
22.“中秋节〞前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元根底上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市方案第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒．
〔1〕在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次根底上降了a元时，那么该超市这款月饼每盒利润为________元，预计销售量为________ 盒．
〔2〕在〔1〕的条件下，假设第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值．
23.四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等〕，我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线〞．

〔1〕如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD ， AD∥BC ， 当∠ADC=145°时．
求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线〞．
〔2〕如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD ， 当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线〞，请说明理由．
24.关于x的一元二次方程: ．
〔1〕求证：该方程始终有两个实数根．
〔2〕该方程有一个固定解，求出这个解．
〔3〕假设 ，设方程两根为 ， ，且 ，当整数n至少可取到2个整数，求a的取值范围．
25.如图，矩形ABCD对角线AC ， BD相交于O ， OE⊥BC ， 垂足为E ．

〔1〕求证： ．
〔2〕假设点F是OD的中点，连接EF交OC于点G ， 连接AF ．
①求证：GE＝GF ．
②假设AF＝EF ， 求证：四边形ABCD是正方形．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】 ，
，
，
，
故答案为：B．

【分析】利用比例的性质，设a=5k，b=3k，代入计算即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故答案为：D．

【分析】根据相似图形的特征逐项判定即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：矩形的对角线相等，对边平行且相等，对角也相等，
菱形的对角相等，对角线互相垂直平分，对边平行且相等，
于是可得矩形具有菱形不具有的性质是对角线相等，
故答案为：C．

【分析】根据矩形、菱形的性质逐项判定即可。
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：如下列图：

过点A作平行线的垂线，交点分别为D，E，可得：
△ABD∽△ACE，
那么 ，
即 ，
解得：AC=24，
故答案为：C．

【分析】根据平行线得到△ABD∽△ACE，列出比例式求解即可。
5.【答案】 D
【解析】【解答】连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，应选D．

【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率〞进行判断即可．
6.【答案】 B
【解析】【解答】A、只有AB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由OA＝OC ， OB＝OD可判定四边形ABCD为平行四边形，再由AC⊥BD可得四边形ABCD为菱形；
C、只有AC=BD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、 ，AD＝BC不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故只有B选项的条件可判定四边形ABCD为菱形．
故答案为：B．

【分析】根据菱形的判定方法逐项判定即可。
7.【答案】 A
【解析】【解答】画树状图为：
 
共有6种等可能的结果数，其中抽到一名男生一名女生的结果数为4，
所以抽到一名男生一名女生的概率 ，
故答案为：A．

【分析】列树状图，求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵∠ACD＝∠BCA，∠BAC＝∠ADC．
∴△CAD∽△CBA．
∵AC＝3，BC＝6，
∴ ．
∴ ．
∵ ＝a，
∴S△ABC＝4a．
故答案为：B．

【分析】根据两组角相等，证出△CAD∽△CBA．，求出相似比，再利用相似三角形的性质求出三角形ABC的面积。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵m是方程 的一个根，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴p＜q
故答案为：A．

【分析】利用作差法，列出整式的减法，结果利用配方法和0比较即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC=6，DE=AD，

在Rt△ADE中由勾股定理得AE= ，
在△ACE中由三边关系得，CE-AC AE CE+AC,即2 10，
，
故答案为：D．

【分析】将△ABD绕点D顺时针旋转90º得△ECD，AB=EC=，DE=AD，利用勾股定理求得AE，再根据三角形三边关系求解即可。
二、填空题
11.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝ AB＝ ×6＝3．
故答案为3．

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可。
12.【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴ ，
∴x-3=0，或x-5=0，
∴ ， ．
故答案为： ， ．

【分析】利用提公因式的因式分解法求解即可。
13.【答案】 11
【解析】【解答】解：∵摸到黑色、白色球的频率分别稳定在10%和35%，
∴摸到蓝色球的频率稳定在1-10%-35%=55%，
∴蓝色球的个数为：20×55%=11个，
故答案为：11．

【分析】球的总数乘以蓝色球所占球的总数的比例即为蓝色球的个数。
14.【答案】 135°
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF ，
∴∠BAC＝∠EDF ，
又∠EDF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°．
故答案是：135°．

【分析】根据相似三角形的性质，对应角相等直接求解即可。
15.【答案】 x〔x-12〕=864
【解析】【解答】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是〔x-12〕步．
根据矩形面积=长×宽，得：x〔x-12〕=864．
故答案为：x〔x-12〕=864．

【分析】根据矩形的面积=长宽，列出方程即可。
16.【答案】
【解析】【解答】解：连接AM，AN，

∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=10，
同理可证∠ACN=60°，
在△AMB和△ANC中，
，
∴△AMB≌△ANC，
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴MN=AM，∠MAN=60°，
当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，
∵sinB= ，
∴AM=sin60°×10=5 ．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴∠MAC=30°，
∴∠NAC=30°，
∴AP⊥MN．
∵sin∠AMN= ，
∴AP=sin60°×5 = ，
∴CP=10- = ．
故答案为： ．

【分析】连接AM、AN，证明三角形全等，推出三角形AMN为等边三角形，当时，AM最短，即MN最短，在直角三角形ABM中求出AM的长，在直角三角形AMP中求出AP的长，即可解决问题。
三、解答题
17.【答案】 解：

 

 
，
【解析】【分析】利用配方法求解即可。
18.【答案】 证明:∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠ADB==90°，∠BEC=90°，
∴∠ADB=∠BEC ，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE ，
∴ ．
【解析】【分析】利用等角的余角相等证出角相等，再利用两组角相等证出△ABD∽△CBE ，得出结论。
19.【答案】 〔1〕解：如图△A1B1C1就是所求作的图形.

分别在射线AO、BO、CO上截取 ，连结 即得所作图形；

〔2〕CD∥ .
【解析】【解答】〔2〕∵在(1)中所画的图形中，△ABC的中线CD与 的中线 是对应线段，
∴由“位似图形中不经过位似中心的对应线段平行〞的性质可以得到：CD∥ .

【分析】〔1〕根据位似图形的性质作图即可；〔2〕根据位似图形的性质可得出结论。
20.【答案】 〔1〕解：教师甲被选中的概率为 ．
〔2〕解：
   
甲
乙
丙
丁
甲

〔甲，乙〕
〔甲，丙〕
〔甲，丁〕
乙
〔乙，甲〕

〔乙，丙〕
〔乙，丁〕
丙
〔丙，甲〕
〔丙，乙〕

〔丙，丁〕
丁
〔丁，甲〕
〔丁，乙〕
〔丁，丙〕

因为由表可知，一共有12种结果.每种结果出现的可能性相同，其中甲，乙被选中的可能结果有2种，分别为〔甲，乙〕，〔乙，甲〕，所以甲，乙被选中的概率为 ，即 .
【解析】【分析】〔1〕利用概率公式直接求解即可；〔2〕利用列表法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
21.【答案】 〔1〕解：如图四边形EFGH就是所求作的图形．


〔2〕解：∵四边形ABCD是矩形，
 ∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，

如图，四边形EFGH为正方形，
∴EF=GH，∠HEF=90° ，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠AHE，
∴△BEF≌△AHE，
.∴BF=AE，
∵AE=AB-BE=6-2=4，
∴BF=4，
在Rt△BEF中，
∴ ，
∴四边形EFGH的面积为20．
【解析】【分析】〔1〕以E为圆心，EF为半径作弧交AD于点H；以F为圆心，EF为半径作弧，以H为圆心，EF为半径作弧，两弧相较于点G，顺次连接即可；〔2〕证明△BEF≌△AHE，得到BF=AE=4，利用勾股定理求出， 即可解出四边形的面积。
22.【答案】 〔1〕〔40-a〕；500+20a
〔2〕解：第一次利润为：  
依题意可得：
整理得：    
解得： ，
∵ 500+20a≤650
∴a≤7.5
∴a=5
答：a的值为5．
【解析】【解答】〔1〕现利润=120-80-a= (40-a)元；
预计销售量= ；

【分析】〔1〕现利润=原售价-降价-本钱；预计销售量=原销售量-促销量；〔2〕先求出第一次利润，在根据题意列出第二次的利润求解即可。
23.【答案】 〔1〕证明：∵AB=AD,

∴∠ABD=∠ADB
∵AD∥BC
∴∠ADC+∠BCD=180°
∴∠ADB =∠DBC
∴∠ABD=∠DBC
∵∠ABC=70°，∠ADC=145°
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=35°
∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-145°=35
∴
∴对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线〞

〔2〕解：当 时，
对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线〞
理由如下：∵AC平分∠BCD

∴∠ACB=∠ACD
∵
∴∠ACB+∠BAD=180°
∴∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°
∵△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°
∴∠CAD=∠B
∴△ABC∽△DAC
∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线〞．
【解析】【分析】〔1〕根据AB=AD，AD//BC利用等量转换得到∠ABD=∠DBC，再通过角的计算得到∠BCD的度数，再利用相似的判定方法证出， 即可证出结论；
〔2〕利用角平分线的性质得到角相等，再通过三角形的内角和及角的运算得到两组角相等，证出△ABC∽△DAC，得出结论。
24.【答案】 〔1〕证明： ，
∴该方程始终有两个实数根.，

〔2〕解：法一：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴方程的固定解为x=2，
法二： ，
∴ ，
∴ ，
 ∵a≠0，
∴ ， ，
∴方程的固定解为x=2，
法三：取k=3，a=-1，可得方程： ，解得： ， ;
取k=2，a=-2，可得方程： ，解得： ， ，
可得：方程的公共解为 .
检验：将 代入 ，
有左边=
∴方程的固定解为x=2，

〔3〕解：由〔2〕得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
2