2021年江西省九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年江西省九年级上学期数学期中试卷含答案，共18页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下各组长度的线段〔单位： 〕中，成比例线段的是〔   〕
A. 1，2，3，4                     B. 1，2，3，5                     C. 2，3，4，5                     D. 2，3，4，6
2.方程 的解为〔   〕
A.                      B.                      C. ，                      D. ，
3.以下各组图形中，一定相似的是〔  〕
A. 任意两个正方形             B. 任意两个平行四边形             C. 任意两个菱形             D. 任意两个矩形
4.小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：① ；② ；③ ；④ ，⑤ ．从中随机抽取一张卡片，能判定 是菱形的概率为〔  〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
5.如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 为 的中点，连接 交 于点 ，假设 ，那么 的长为〔  〕

A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
6.如图，四边形 是正方形， 是 的中点，连接 与对角线 相交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 交 于点 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数有〔  〕

A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
二、填空题
7.假设 ，那么 的值为________．
8.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小红通过屡次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，那么袋子里红球的个数最有可能是________．
9.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，假设 ， ，那么 ________．

10.假设关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，且 ，那么 的值是________．
11.如图，在矩形 中， ， ， 是 的黄金分割点〔 〕， 是 上一点，将 沿直线 折叠，点 落在 边上的点 处，再将 沿直线 折叠，点 落在 上的点 处，那么 的长为________．

12.等腰 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，那么等腰 的顶角的度数是________.
三、解答题
13.  
〔1〕解方程： ．
〔2〕如图，在 中， 平分 ，交 于点 ， 是 上一点，连接 ，且 ．证明： ．

14.如图，直线 ，直线 相交于点 ，且分别与直线 相交于点 和点 ， ， ， ， ，求 的长度．

15.如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ， 于点 ．

〔1〕求证： ．
〔2〕假设 ，求 的度数．
16.为答谢全国人民的真情关爱，从8月8日开始，湖北举办“与爱同行惠游湖北〞活动，湖北近400家 级旅游景区对全国游客免门票开放．A、B、C三个景点实行免门票活动，甲、乙都有去旅游的打算．
〔1〕假设甲随机选择一个景点游玩，那么甲选择 景点的概率为________．
〔2〕利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择的两个景点不同的概率．
17.矩形 ， 为 边上靠近点 的三等分点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图〔保存作图痕迹〕．

〔1〕在图1中作出 边上靠近点 的三等分点 ．
〔2〕在图2中作出点 关于直线 的对称点 ．
18.关于 的一元二次方程 ．
〔1〕求证：该方程总有两个不相等的实数根．
〔2〕假设这个方程的两根分别为 ， ，且满足 ，求 的值．
19.网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速开展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
〔1〕求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．
〔2〕如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务．
20.如图，在菱形 中， 为对角线 上一点，且 ，连接 ．

〔1〕求证： ．
〔2〕当 于点 ， 时，求菱形的边长．
21.如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，交 于点 ，连接 并延长，交 于点 ．

〔1〕求证： ．
〔2〕求证： ．
22.如图1，正方形 和正方形 ，点 在同一直线上，连接 ， ， 与 相交于点 ．

〔1〕求证： ．
〔2〕如图2， 是 边上的一点，连接 交 于点 ，且 ．
①求证： ；
②假设 ，直接写出 的值．
23.在 中， ， 〔与点 ， 不重合〕为 边上一动点，连接 ，以 为直角边，在 的右侧作等腰直角三角形 ，直线 与 相交于点 ，连接 ．

〔1〕如图1，如果 ．
①直线 与 之间的位置关系是________；
②线段 ， ， ， 的数量关系是________．
〔2〕如图2，如果 ，〔1〕中的结论是否还成立，为什么？
〔3〕假设 ， ，求 的长．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意；
B. 1：2≠3：5，故四条线段不成比例，不合题意；
C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意；
D. 2：3=4：6，故四条线段成比例，符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，那么四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：方程变形得：x2-3x=0，
分解因式得：x〔x-3〕=0，
可得x=0或x-3=0，
解得：x1=3，x2=0．
故答案为：C．
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、任意两个正方形，四条边对应成比例，四个角对应相等，一定相似，故本选项符合题意；
B、任意两个平行四边形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故本选项不符合题意．
D、任意两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：① ；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定 是菱形；② ；根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形，可判定 是矩形；③ ；是 本身具有的性质，无法判定 是菱形；④ ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定 是菱形；⑤ ．根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定 是矩形
∴共有5种等可能结果，其中正确的有2种
∴能判定 是菱形的概率为
故答案为：B．
【分析】根据菱形的判定方法求解即可．
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵点E是BC中点，
∴BC=2BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，BO=OD，
∴AD=2BE，
设BF=a，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
那么DF=a+2，
∵BC∥AD
∴△BEF∽△DAF，

∴
解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质知AD=2BE，BC∥AD，BO=OD，设BF=a，得DF=a+2，由BC∥AD知△BEF∽△DAF，据此得 ,得出BF的长，从而得出BD的长．
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE〔SAS〕
∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①符合题意，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG〔SAS〕
∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，
∴CF⊥DE，故②符合题意，
∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE≌△CBF〔ASA〕，
∴CE=BF，
∵CE= BC= AB，
∴BF= AB，
∴AF=BF，故③符合题意，
∵∠BCF+∠BFC=90°，∠DEC=∠BFC
∴∠BCF+∠DECC=90°，
∴∠CHE=90°
∴∠CHE=∠FBC
又∠DEC=∠BFC
∴△CHF∽△CBF
∴
∵BC=2CE，
∴
∴
故答案为：D．
【分析】证明△ABE≌△DCE，可得结论①符合题意；由正方形的性质可得AB=AD=BC=CD，BE=CE，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，可证△ABE≌△DCE，△ABG≌△CBG，可得∠BCF=∠CDE，由余角的性质可得结论②；证明△DCE≌△CBF可得结论③，证明△CHF∽△CBF即可得结论④符合题意．
二、填空题
7.【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴设a=k，b=2k，
∴
故答案为：
【分析】先根据设出a=k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案．
8.【答案】 4
【解析】【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：
解得x=4，
∴袋子中红球的个数最有可能是4个，
故答案为：4．
【分析】设袋子中红球有x个，根据摸出红球的频率稳定在0.2左右列出关于x的方程，求出x的值，从而得出答案．
9.【答案】 2.4
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S△OBC＝ ×OC×OB＝ ×BC×OE，
∴OE＝ ＝2.4，
故答案为：2.4．
【分析】由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，可求得BC的长，由面积法可求OE的长．
10.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程 的两实数根分别为 ， ，
∴x1+x2=4，
∵ ，
∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=6，
∴x2=1
把x2=1代入x2-4x+m=0得：1-4+m=0
∴m=3
故答案为：3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4，代入代数式计算即可．
11.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ， 是 的黄金分割点〔 〕，
∴
∴
由折叠的性质可得：四边形ABFE和四边形EHGD是正方形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】先根据黄金分割得出AE和DE的长，再根据折叠的性质得出正方形ABFE和正方形EHGD，从而得出EF=AE，EH=DE即可得出结论
12.【答案】 36°或90°或108°
【解析】【解答】解：①如图1，

∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°.
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故 ∽ ；
②如图2，

∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°.
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故 ∽ ；
③如图3，

∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有 ∽ ；
故答案为：36°或90°或108°.
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解.
三、解答题
13.【答案】 〔1〕解：∵
∴〔x-2〕〔2x+1〕=0
∴x-2=0或2x+1=0
∴

〔2〕证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵
∴∠CBD=∠ADE
∵∠ADB=∠CBD+∠C=∠ADE+∠EDB，
∴∠C=∠EDB
∴△BCD～△BDE．
【解析】【分析】〔1〕利用因式分解法解方程即可〔2〕由角平分线的定义可得出∠ABD=∠CBD，再根据三角形的外角∠ADB=∠CBD+∠C，结合 ，得出∠EDB=∠C，即可证出△BCD～△BDE．
14.【答案】 解：∵b//c，

∵ ， ， ，

∴
∵b//a，

∵ ， ，

∴
【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
15.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，AC=BD；
∴OA=OD
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO=∠DFO=90°，
在△AEO和△DFO中，

∴△AEO≌△DFO〔AAS〕，
∴AE=DF，

〔2〕解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD=2：3，
∴∠BAE=36°，
∵∠AEB=90°
∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°，
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°．
【解析】【分析】〔1〕根据四边形ABCD是矩形得出OA=OD，再证△AEO≌△DFO〔AAS〕，即可得出结论．〔2〕由矩形的性质得出∠BAD=90°，OA=OB，那么∠OAB=∠OBA，结合 求出∠BAE=36°，那么∠OBA=∠OAB=54°，即可得出答案．
16.【答案】 〔1〕
〔2〕解：画树状图为： 

共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两人选择的两个景点不同的的结果数为6，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率
【解析】【解答】解：〔1〕因为 、 、 三个景点实行免门票活动，
那么甲选择A景点的概率为 ；
故答案为：
【分析】〔1〕直接根据概率公式求解；〔2〕画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出甲、乙两人选择的两个景点不同的结果数，然后根据概率公式求解．
17.【答案】 〔1〕解：如图，点F就是所求的点，
；

〔2〕解：如图，点M就是所求的点，
．
【解析】【分析】〔1〕根据矩形中心对称的性质画图即可；〔2〕根据三角形相似比画图即可．
18.【答案】 〔1〕证明：∵a=1，b=k-1，c=k-3，
∴△=b2-4ac=〔k-1〕2-4×1×〔k-3〕=k2-2k+1-4k+12=k2-6k+13=〔k-3〕2+4＞0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

〔2〕解：∵
∴
∴
∵x1+x2=1-k，x1•x2=k-3，
∴
∴
∴k=2或5
【解析】【分析】〔1〕先计算△=〔k-1〕2-4〔k-3〕，再根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；〔2〕由根与系数的关系，可得x1+x2=1-k，x1•x2=k-3，再由 得出关于k的方程，解方程即可
19.【答案】 〔1〕解：设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
根据题意，得：10〔1+x〕2=12.1，
解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1〔舍〕，
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%；

〔2〕解：9月份的快递件数为12.1×〔1+10%〕=13.31〔万件〕，
而0.8×16=12.8＜13.1，
所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．
【解析】【分析】〔1〕设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，根据5月份快递件数×〔1+增长率〕2=7月份快递件数列出关于x的方程，解之可得答案；〔2〕分别计算出9月份的快递件数和8名快递小哥可投递的总件数，据此可得答案．
20.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
 ，
∴△ADE≌△CDE〔SAS〕，
∴AE＝CD，
又∵AE=DE，
∴ ；

〔2〕解：如图，连接AC交BD于H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AE═ED=1，
∴∠DAE=∠EDA，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD，
∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°，
∴∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，
∴BE=2AE=2，
∴BD=BE+DE=3，
∴BH=DH= ，
∵∠ABD=30°，AH⊥BD，
∴AB=2AH，BH= AH，
∴AH= ，AB=2AH= ，
∴菱形的边长为 ．
【解析】【分析】〔1〕根据SAS证明△ADE≌△CDE，从而得到AE＝CE，再根据AE＝DE，再得出结论；〔2〕连接AC交BD于H，由菱形的性质可得AB=AD，AC⊥BD，BH=DH，AH=CH，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°，利用直角三角形的性质可求解即可．
21.【答案】 〔1〕证明：∵点O是菱形ABCD的两条对角线的交点，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴OE=OA，
∴∠AEG=∠EAC，
在Rt△AEC中，∠EAC+∠ACE=90°，
在Rt△BOC中，∠DBC +∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠DBC，
∴∠AEG=∠DBC，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABC=2∠DBC，
∴∠ABC=2∠AEG，

〔2〕证明：∵四边形 是菱形，
∴AB=AD，AD//BC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠ABF=∠GDO，，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠EAG =90°，
∵∠AFB=∠EAC+∠AOB，∠OGD=∠EAG+∠AEG，
又∵∠AEG=∠EAC，
∴∠AFB=∠OGD
∴△ABF∽△ODG，

∴
∵AD//BC，
∴∠OBE=∠ODG，
又∵OB=OD，∠BOE=∠DOG，
∴△BOE≌△DOG
∴OE=OG
∴OG= EG
∴
∴
【解析】【分析】〔1〕先判断出OA=OC，根据直角三角形斜边上的中线得出OE=OA，得出∠AEG=∠EAC，用等角的余角相等判断出∠EAC=∠DBC，进而由菱形得到性质即可得出结论；〔2〕先判断出∠AFB=∠OGD，进而判断出△ABF∽△ODG，得出 ，再判断出△BOE≌△DOG，得出OG= EG，即可得出结论
22.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴BC=CD=AB，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°
∴△BCE≌△DCF〔SAS〕，
∴BE=FD；

〔2〕解：①∵四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，
∴CD//GE，GF=EC
∴ ，
∴
∴
∵
∴
∵BC=CD
∴
②∵
∴
∵
∴
∵AB=CD
∴
【解析】【分析】〔1〕由正方形的性质得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应边相等BE=FD；〔2〕①由正方形的性质得出CD//GE，得出 ，从而得到 ，再结合条件利用比例的性质即可得证②由 得出 ，结合①可得 ，从而即可得出 的值
23.【答案】 〔1〕CE⊥BD；AF·FC=EF·DF
〔2〕解：〔1〕中的结论还成立，
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，

∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．
∵∠AED=∠ACB=45°，∠AFE=∠DFC
∴△AFE∽△DFC
∴
∴

〔3〕解：过A作AM⊥BC于M,

 ∵∠ACB=45°，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴CD=CM-DM=
∵△AFE∽△DFC
∴
∴
∴ ；
【解析】【解答】〔1〕解：①CE与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°．
由等腰直角三角形 得AD=AE，∠AED=45°
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC〔SAS〕，
∴∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°．
即CE⊥BD．②线段 ， ， ， 的数量关系是
理由：∵∠AED=∠ACB=45°，∠AFE=∠DFC
∴△AFE∽△DFC
∴
∴
【分析】〔1〕①由∠ACB=45°，AB=AC，得出∠BAC=90°，再根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS〞证明△ABD≌△ACE得出∠ACE=∠ABD=45°，即可得出结论②根据∠AED=∠ACB=45°和对顶角相等得出△AFE∽△DFC，从而得出结论〔2〕〔1〕中的结论仍成立，过点A作AG⊥AC交BC于点G，得出△ACG是等腰直角三角形，与〔1〕中①的方法相同即可得出CE⊥BD，与〔1〕中②的方法相同即可得出线段 ， ， ， 的数量关系〔3〕根据勾股定理 ， ，再根据△AFE∽△DFC得出 ，从而得出FA