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2021年甘肃省白银市九年级上学期数学期中考试试卷含答案
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这是一份2021年甘肃省白银市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.方程 的解是〔 〕
A. B. C. ， D.
2.上海世博会的某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元.以下所列方程中正确的选项是〔 〕
A. 150(1＋2a%)＝216 B. 150(1＋a%)2＝216
C. 150(1＋a%)×2＝216 D. 150(1＋a%)＋150(1＋a%)2＝216
3.以下命题中，真命题是〔 〕
A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4.从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个，得到的都是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
5.把方程 x2﹣x﹣5=0，化成〔x+m〕2=n的形式得〔 〕
A. 〔x﹣ 〕2= B. 〔x﹣ 〕2= C. 〔x﹣ 〕2= D. 〔x﹣ 〕2=
6.菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，那么菱形ABCD的周长等于〔 〕
A. 10cm B. 12 cm C. 16cm D. 12cm或16cm
7.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足以下条件中的〔 〕
A. = B. = C. = D. =
8.如图，四边形ABCD为菱形，那么以下描述不一定正确的选项是〔 〕
A. CA平分∠BCD B. AC，BD互相平分 C. AC＝CD D. ∠ABD+∠ACD＝90°
9.一元二次方程 的两个实数根分别是 x1 、 x2 那么 x12 x2 + x1 x22 的值为〔 〕
A. -6 B. - 3 C. 3 D. 6
10.如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD ， CE交于点H ， BE、AH交于点G ， 那么以下结论：
①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD；③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE ． 其中正确的选项是〔 〕
A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中， ，对角线 ，那么菱形ABCD的面积为________.
12.方程〔x-3〕2=x-3的根是________.
13.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= ．
14.x1 ， x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，那么 的值为________.
15.如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.假设AB＝2，CB＝4，DE＝3，那么EF＝________.
16. 〔x、y、z均不为零〕，那么 ________．
17.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A〔10，0〕，C〔0，4〕，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，那么P点的坐标为________.
18.对于实数a，b，定义运算“ 〞， 例如 ，因为 ，所以 .假设 是一元二次方程 的两个根，那么 ________.
三、解答题
19.解方程〔用指定方法解以下方程〕：
〔1〕(配方法)
〔2〕(公式法)
20.如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
〔1〕求证：△ACE≌△DCB；
〔2〕求证：△ADF∽△BAD．
21.：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
〔1〕不解方程，判断方程的根的情况；
〔2〕假设△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长.
22.某汽车专卖店经销某种型号的汽车.该型号汽车的进价为 万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为 万元/辆时，平均每周售出 辆；售价每降低 万元，平均每周多售出 辆.
〔1〕当售价为 万元/辆时，平均每周的销售利润为________万元；
〔2〕假设该店方案平均每周的销售利润是 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
23.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
〔1〕求证：△ADF∽△DEC；
〔2〕假设AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长.
24.某校调查了假设干名家长对“初中生带 上学〞现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
〔1〕本次共调查了________名家长；扇形统计图中“很赞同〞所对应的圆心角是________度．该校共有1600名家长，那么“不赞同〞的家长约有________名；请补全条形统计图________；
〔2〕从“不赞同〞的五位家长中〔两女三男〕，随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用 危害性〞的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女〞的概率．
25.如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF.
〔1〕求证：四边形ADCF是平行四边形；
〔2〕假设CA＝CB，那么▱ ADCF为________〔填矩形、菱形、正方形中的一个〕.
26.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm ， BC＝6cm ， 点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．
〔1〕假设P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；
〔2〕假设点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．
27.点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.
〔1〕当α＝60°时〔如图1〕，
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝ AE；
〔2〕当α＝90°时〔如图2〕，求 的值.
28.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.
〔1〕如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系；并说出理由；
〔2〕假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断〔1〕中的结论①、②是否分别成立？假设不成立，写出相应的结论.〔所写结论均不必证明〕
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：由 可得： ；
解得： ；
故答案为：C.
【分析】由ab=0，那么a=0或b=0可求解。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：上海世博会的某纪念品原价150元，一次涨价a%后售价为 ，即 ；第二次涨价a%后售价 ，
即 =216，
故答案为：B.
【分析】根据用一元二次方程求百分率问题公式， 其中m代表原式数据，n为变化后的数据，增长即为“+〞。
3.【答案】 D
【解析】【解答】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，A不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，B不符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，C不符合题意；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐项进行判断，正确的命题就是真命题，即可求解.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：五种图形中，属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、线段
将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作A，B，C，D，E
列表可得
A
B
C
D
E
A
AB
AC
AD
AE
B
BA
BC
BD
BE
C
CA
CB
CD
CE
D
DA
DB
DC
DE
E
EA
EB
EC
ED
总共有20种等可能的情况，其中抽取两个都是中心对称图形的情况有BC，BE，CB，EB，CE，EC共6种
抽取两个都是中心对称图形的概率是：
故答案为：C.
【分析】先判断出五种图形中哪些是中心对称图形，再利用列表法得到所有等可能的结果数及求得抽取两个都是中心对称图形的等可能结果数，最后根据概率公式计算即可.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：方程 x2﹣x﹣5=0，整理得：x2﹣3x=15，
配方得：x2﹣3x+ = ，即〔x﹣ 〕2= ，
应选D
【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，
解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故答案为：C.
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，=，
∴△ABC∽△ADE．
应选C．
【分析】此题中∠BAC=∠D，那么对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AC、BD互相平分，AD=CD， AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠ABD=∠BDC，∠BDC+∠ACD=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°，
故答案为：A、B、D不符合题意；
当∠ADC=60°时，△ACD是等边三角形，那么AC=CD，
∴AC=CD，不一定成立，故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；菱形的对边平行，邻边相等及等边三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.
9.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意得：x1+x2=3，x1•x2=﹣1，所以原式=x1•x2〔x1+x2〕=﹣1×3=－3．
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1•x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1•x2〔x1+x2〕，然后利用整体代入的方法计算即可．
10.【答案】 B
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形， 是 边上的中点，
， ， ，
，
，
故①符合题意；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC, ∠ABD=∠CBD ，
∵BH=BH ，
∴ ，
，
，
，
故②符合题意；
，
，
，
即 ，
故③符合题意；
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故④符合题意；
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质证得 ，推出 ，可知①符合题意；证明 ，再根据对顶角相等即可得到 ，可知②符合题意；根据 ，求出 ，推出 ，即 ，故③符合题意；利用正方形性质证 ，求得 ，推出 ；求出 ，求得 故④符合题意．
二、填空题
11.【答案】 24
【解析】【解答】解：如图，记AC、BD的交点为点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD=6，
∴AC⊥BD， ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形的面积= AC•BD= ×8×6=24.
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD， ，再根据勾股定理求出AO的长，进而得出AC的长，根据菱形的面积= AC•BD，即可得出结果.
12.【答案】 x1=3，x2=4
【解析】【解答】解：〔x﹣3〕2=x﹣3，
〔x﹣3〕2﹣〔x﹣3〕=0，
〔x﹣3〕〔x﹣3﹣1〕=0，
∴x1=3，x2=4.
故答案为：x1=3，x2=4.
【分析】用因式分解求解该方程，移项化为两个一次式的乘积为0，即ab=0，当ab=0，那么a=0或b=0.
13.【答案】 1或4或2.5
【解析】【解答】解：①当△APD∽△PBC时，=，
即=，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时，=， 即=，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
14.【答案】 7
【解析】【解答】解：
=
= ，
∵x1 ， x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=1，
∴原式=〔-3〕2-2=7，
故答案为：7.
【分析】先将 通分变形为 ，然后根据韦达定理得出x1+x2和x1x2的值，整体代入即可.
15.【答案】 6
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ，
∵AB=2，CB=4，DE=3，
∴ ，
∴EF=6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可.
16.【答案】
【解析】【解答】∵ 〔x、y、z均不为零 〕∴可设x=5k，y=4k，z=3k，
∴ =。
故答案为：。
【分析】由题意可设， 从而可以用k分别表示出x、y、z，代入代数式即可求值。
17.【答案】 〔3，4〕或〔2，4〕或〔8，4〕
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，A〔10，0〕，C〔0，4〕，
∴BC=OA=10，OC=AB=4，
∵点D是OA的中点，
∴OD=AD=5，
①假设OP=OD=5时，
在Rt△OPC中，CP= ，
∴P的坐标是〔3，4〕.
②假设PD=OD=5时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，有DM =OC=4，
在Rt△PDM中，PM= ，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，那么P的坐标是〔2，4〕；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，那么P的坐标是〔8，4〕.
综上所述，P的坐标为：〔3，4〕或〔2，4〕或〔8，4〕.
故答案为：〔3，4〕或〔2，4〕或〔8，4〕.
【分析】分两种情况：①假设OP=OD时，由勾股定理求出求出CP=3，②假设PD=OD时，作DM⊥BC于点M，由勾股定理求出PM=3，分别得出P点的坐标即可.
18.【答案】 0
【解析】【解答】解： ，
解得： ，
即 ，
那么 ，
故答案为：0.
【分析】求出 的解，代入新定义对应的表达式即可求解.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：由原方程 ，
移项得： ，
方程二次项系数化为1，得： ，
配方，得 ，
即 ，
那么 ，
∴ ， ；
〔2〕解： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ；
【解析】【分析】〔1〕①移项，常数项移到右边，②方程二次项系数化为1，③配方，两边加上一次项系数一半的平方1，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解；
〔2〕找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而代入求根公式即可求出解.
20.【答案】 〔1〕证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB〔SAS〕
〔2〕证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【解析】【分析】〔1〕利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
〔2〕利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
21.【答案】 〔1〕解：∵△=〔﹣4m〕2﹣4〔4m2﹣1〕=4＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
〔2〕解：∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根.
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3.
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5.
∵3、5、5能够组成三角形，
∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7.
∵5、5、7能够组成三角形，
∴该三角形的周长为5+5+7=17.
综上所述：此三角形的周长为13或17.
【解析】【分析】〔1〕根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
〔2〕根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，再利用三角形的周长公式即可求出结论.
22.【答案】 〔1〕98
〔2〕解：设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
〔25−x−15〕〔8＋2x〕＝90，
解得x1＝1，x2＝5，
当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10〔辆〕；
当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18〔辆〕，
为了尽快减少库存，那么x＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20〔万元〕，
答：每辆汽车的售价为20万元
【解析】【解答】〔1〕由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：
×1＋8＝14，
那么此时，平均每周的销售利润是：〔22−15〕×14＝98〔万元〕；
【分析】〔1〕根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；〔2〕设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．
23.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四变形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.∵∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC.
〔2〕解：由〔1〕知△ADF∽△DEC，那么：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8.∴DE=12,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= .
【解析】【分析】〔1〕利用平行四边形的性质得出 AD∥BC ，根据二直线平行，内错角相等得∠ADF=∠DEC，利用等角的补角相等得出∠AFD=∠C，所以△ADF∽△DEC；
〔2〕根据相似三角形的对应边成比例建立方程得出DE的长，利用勾股定理得出AE的长.
24.【答案】 〔1〕200；36；720；
〔2〕解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有20种可能出现的情况，符合题意“1男1女〞的有12种，
∴P〔1男1女〕＝ ，
答：选中“1男1女〞的概率为 ．
【解析】【解答】解：〔1〕总人数：50÷25%＝200名，无所谓人数：200×20%＝40名，很赞同人数：200﹣90﹣50﹣40＝20名，
很赞同对应圆心角：360°× ＝36°，
1600× ＝720名，
故答案为：200，36，720，补全条形统计图如下列图：
【分析】〔1〕从两个统计图可得，“赞同〞的有50名，占调查总人数的25%，可求出调查总人数；进而求出“无所谓〞和“很赞同〞的人数，很赞同的圆心角度数为360°的 ，样本估计总体，样本中“不赞同〞的占 ，估计总体1600户的 是“不赞同〞的人数；即可补全条形统计图：〔2〕用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出1男1女的情况数，进而求出概率．
25.【答案】 〔1〕解：在平行四边形BCFD中，
DE//BC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝ BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴四边形ADCF是平行四边形.
〔2〕矩形
【解析】【解答】解：〔2〕∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ = =AE=EC,
∴∠ADC＝90°，
∴ ADCF是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】〔1〕首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可.〔2〕先证明DE=AE=EC= ,根据三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形,得到∠ADC＝90°，即可得到▱ADCF为矩形.
26.【答案】 〔1〕解：设经过时间为t秒
由题意得：AP=2t，CQ=t，那么PC=8﹣2t，由题意得： ×〔8﹣2t〕×t=2，整理得：t2﹣4t+2=0，解得：t=2± ，那么P、Q同时出发，经过〔2± 〕秒钟S△PCQ=2cm2
〔2〕解：由题意得：AP=2t，CQ=2+t，那么PC=8﹣2t，分两种情况讨论：
①当△PCQ∽△ACB时， = ，即 = ，解得：t=1.6；
②当△PCQ∽△BCA时， = ，即 = ，解得：t= ．
综上所述：点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或 秒秒△PCQ与△ACB相似
【解析】【分析】〔1〕设t秒钟后，根据行程问题中的数量关系表示出AP、PC、CQ的长，再利用三角形的面积公式列出方程求出符合题意的值即可；
〔2〕同〔1〕，先表示出AP、PC、CQ的长，然后分①△PCQ∽△ACB和②△PCQ∽△BCA两种情况，分别利用“相似三角形的对应边成比例〞列出关于线段CP、CA、CQ、CB的比例式，解所得的比例方程即可求出结果。
27.【答案】 〔1〕解：①判断：△ABC是等边三角形.
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
那么AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中， ，
∴ ,即BD= AE.
〔2〕解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴ ，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-〔90°-∠BDE〕=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴ ，
即 .
【解析】【分析】(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论；
〔2〕连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，由相似比即得到比值.
28.【答案】 〔1〕解：①连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP，
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，
∵PF⊥CD，∴DF=EF
②PC= CE+PA，理由如下：
延长FP交AB于点G，那么四边形ADFG是矩形，∴AG=DF
∵△AGP是等腰直角三角形，∴AG= AP
∵△FCP是等腰直角三角形，
∴CP= CF= (CE+EF)
= (CE+DF)= (CE+AG)
= (CE+ AP)
= CE+PA
〔2〕结论①成立，结论②不成立，此时②中的三条线段之间的数量关系为PA= CE+PC
【解析】【解析】解：〔2〕解：如图，
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC＝∠PBC，
在△PBC和△PDC中
BC＝DC〔〕，∠PCB＝∠PCD＝45°〔已证〕，PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC〔SAS〕，
∴∠PBC＝∠PDC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF＝EF；
②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，
∴PA＝EF＝〔CE＋CF〕＝CE＋CF＝CE＋PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA＝CE+PC.
【分析】(1)①连接PD，通过△BCP≌△DCP证得∠PBC=∠PDC，由四边形PBCE的内角结合同角的补角相等得到∠PED=∠PBC，即可证PD=PE，由等腰三角形的“三线合一〞即可；②延长FP交AB于点G，由PC与CF的关系，结合EF=DF=AG逐渐转化得到这三条线段间的数量关系；
(2)同〔1〕证得DF=EF，即可得出三条线段的数量关系为PA＝CE+PC.
九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.方程 的解是〔 〕
A. B. C. ， D.
2.上海世博会的某纪念品原价150元，连续两次涨价a%后售价为216元.以下所列方程中正确的选项是〔 〕
A. 150(1＋2a%)＝216 B. 150(1＋a%)2＝216
C. 150(1＋a%)×2＝216 D. 150(1＋a%)＋150(1＋a%)2＝216
3.以下命题中，真命题是〔 〕
A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是正方形
C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形
4.从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个，得到的都是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
5.把方程 x2﹣x﹣5=0，化成〔x+m〕2=n的形式得〔 〕
A. 〔x﹣ 〕2= B. 〔x﹣ 〕2= C. 〔x﹣ 〕2= D. 〔x﹣ 〕2=
6.菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，那么菱形ABCD的周长等于〔 〕
A. 10cm B. 12 cm C. 16cm D. 12cm或16cm
7.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足以下条件中的〔 〕
A. = B. = C. = D. =
8.如图，四边形ABCD为菱形，那么以下描述不一定正确的选项是〔 〕
A. CA平分∠BCD B. AC，BD互相平分 C. AC＝CD D. ∠ABD+∠ACD＝90°
9.一元二次方程 的两个实数根分别是 x1 、 x2 那么 x12 x2 + x1 x22 的值为〔 〕
A. -6 B. - 3 C. 3 D. 6
10.如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD ， CE交于点H ， BE、AH交于点G ， 那么以下结论：
①∠ABE＝∠DCE；②∠AHB＝∠EHD；③S△BHE＝S△CHD；④AG⊥BE ． 其中正确的选项是〔 〕
A. ①③ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①③④
二、填空题
11.如图，在菱形ABCD中， ，对角线 ，那么菱形ABCD的面积为________.
12.方程〔x-3〕2=x-3的根是________.
13.如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= ．
14.x1 ， x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，那么 的值为________.
15.如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F.假设AB＝2，CB＝4，DE＝3，那么EF＝________.
16. 〔x、y、z均不为零〕，那么 ________．
17.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A〔10，0〕，C〔0，4〕，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，那么P点的坐标为________.
18.对于实数a，b，定义运算“ 〞， 例如 ，因为 ，所以 .假设 是一元二次方程 的两个根，那么 ________.
三、解答题
19.解方程〔用指定方法解以下方程〕：
〔1〕(配方法)
〔2〕(公式法)
20.如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
〔1〕求证：△ACE≌△DCB；
〔2〕求证：△ADF∽△BAD．
21.：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
〔1〕不解方程，判断方程的根的情况；
〔2〕假设△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长.
22.某汽车专卖店经销某种型号的汽车.该型号汽车的进价为 万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为 万元/辆时，平均每周售出 辆；售价每降低 万元，平均每周多售出 辆.
〔1〕当售价为 万元/辆时，平均每周的销售利润为________万元；
〔2〕假设该店方案平均每周的销售利润是 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
23.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
〔1〕求证：△ADF∽△DEC；
〔2〕假设AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长.
24.某校调查了假设干名家长对“初中生带 上学〞现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图，根据图中提供的信息，完成以下问题：
〔1〕本次共调查了________名家长；扇形统计图中“很赞同〞所对应的圆心角是________度．该校共有1600名家长，那么“不赞同〞的家长约有________名；请补全条形统计图________；
〔2〕从“不赞同〞的五位家长中〔两女三男〕，随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用 危害性〞的专题讲座，请用树状图或列表法求出选中“1男1女〞的概率．
25.如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF.
〔1〕求证：四边形ADCF是平行四边形；
〔2〕假设CA＝CB，那么▱ ADCF为________〔填矩形、菱形、正方形中的一个〕.
26.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm ， BC＝6cm ， 点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．
〔1〕假设P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；
〔2〕假设点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．
27.点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，∠BEC＝90°.
〔1〕当α＝60°时〔如图1〕，
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝ AE；
〔2〕当α＝90°时〔如图2〕，求 的值.
28.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF.
〔1〕如图2，假设点P在线段AO上〔不与点A、O重合〕，PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系；并说出理由；
〔2〕假设点P在线段OC上〔不与点O、C重合〕，PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断〔1〕中的结论①、②是否分别成立？假设不成立，写出相应的结论.〔所写结论均不必证明〕
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：由 可得： ；
解得： ；
故答案为：C.
【分析】由ab=0，那么a=0或b=0可求解。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：上海世博会的某纪念品原价150元，一次涨价a%后售价为 ，即 ；第二次涨价a%后售价 ，
即 =216，
故答案为：B.
【分析】根据用一元二次方程求百分率问题公式， 其中m代表原式数据，n为变化后的数据，增长即为“+〞。
3.【答案】 D
【解析】【解答】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，A不符合题意；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，B不符合题意；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，C不符合题意；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理逐项进行判断，正确的命题就是真命题，即可求解.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：五种图形中，属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、线段
将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作A，B，C，D，E
列表可得
A
B
C
D
E
A
AB
AC
AD
AE
B
BA
BC
BD
BE
C
CA
CB
CD
CE
D
DA
DB
DC
DE
E
EA
EB
EC
ED
总共有20种等可能的情况，其中抽取两个都是中心对称图形的情况有BC，BE，CB，EB，CE，EC共6种
抽取两个都是中心对称图形的概率是：
故答案为：C.
【分析】先判断出五种图形中哪些是中心对称图形，再利用列表法得到所有等可能的结果数及求得抽取两个都是中心对称图形的等可能结果数，最后根据概率公式计算即可.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：方程 x2﹣x﹣5=0，整理得：x2﹣3x=15，
配方得：x2﹣3x+ = ，即〔x﹣ 〕2= ，
应选D
【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，
解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
即AB＝3或4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝BC，
当AD＝DC＝3cm，AC＝6cm时，3+3＝6，不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当AD＝DC＝4cm，AC＝6cm时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是4×4＝16，
故答案为：C.
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，=，
∴△ABC∽△ADE．
应选C．
【分析】此题中∠BAC=∠D，那么对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AC、BD互相平分，AD=CD， AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠ABD=∠BDC，∠BDC+∠ACD=90°，
∴∠ABD+∠ACD=90°，
故答案为：A、B、D不符合题意；
当∠ADC=60°时，△ACD是等边三角形，那么AC=CD，
∴AC=CD，不一定成立，故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；菱形的对边平行，邻边相等及等边三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可.
9.【答案】 B
【解析】【解答】根据题意得：x1+x2=3，x1•x2=﹣1，所以原式=x1•x2〔x1+x2〕=﹣1×3=－3．
故答案为：B．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1•x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1•x2〔x1+x2〕，然后利用整体代入的方法计算即可．
10.【答案】 B
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形， 是 边上的中点，
， ， ，
，
，
故①符合题意；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC, ∠ABD=∠CBD ，
∵BH=BH ，
∴ ，
，
，
，
故②符合题意；
，
，
，
即 ，
故③符合题意；
四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故④符合题意；
故答案为： ．
【分析】根据正方形的性质证得 ，推出 ，可知①符合题意；证明 ，再根据对顶角相等即可得到 ，可知②符合题意；根据 ，求出 ，推出 ，即 ，故③符合题意；利用正方形性质证 ，求得 ，推出 ；求出 ，求得 故④符合题意．
二、填空题
11.【答案】 24
【解析】【解答】解：如图，记AC、BD的交点为点O，
∵四边形ABCD是菱形，BD=6，
∴AC⊥BD， ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形的面积= AC•BD= ×8×6=24.
故答案为：24.
【分析】由菱形的性质得出AC⊥BD， ，再根据勾股定理求出AO的长，进而得出AC的长，根据菱形的面积= AC•BD，即可得出结果.
12.【答案】 x1=3，x2=4
【解析】【解答】解：〔x﹣3〕2=x﹣3，
〔x﹣3〕2﹣〔x﹣3〕=0，
〔x﹣3〕〔x﹣3﹣1〕=0，
∴x1=3，x2=4.
故答案为：x1=3，x2=4.
【分析】用因式分解求解该方程，移项化为两个一次式的乘积为0，即ab=0，当ab=0，那么a=0或b=0.
13.【答案】 1或4或2.5
【解析】【解答】解：①当△APD∽△PBC时，=，
即=，
解得：PD=1，或PD=4；
②当△PAD∽△PBC时，=， 即=，
解得：DP=2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP的长度．
14.【答案】 7
【解析】【解答】解：
=
= ，
∵x1 ， x2是方程x2+3x+1＝0的两实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=1，
∴原式=〔-3〕2-2=7，
故答案为：7.
【分析】先将 通分变形为 ，然后根据韦达定理得出x1+x2和x1x2的值，整体代入即可.
15.【答案】 6
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ，
∵AB=2，CB=4，DE=3，
∴ ，
∴EF=6，
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可.
16.【答案】
【解析】【解答】∵ 〔x、y、z均不为零 〕∴可设x=5k，y=4k，z=3k，
∴ =。
故答案为：。
【分析】由题意可设， 从而可以用k分别表示出x、y、z，代入代数式即可求值。
17.【答案】 〔3，4〕或〔2，4〕或〔8，4〕
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，A〔10，0〕，C〔0，4〕，
∴BC=OA=10，OC=AB=4，
∵点D是OA的中点，
∴OD=AD=5，
①假设OP=OD=5时，
在Rt△OPC中，CP= ，
∴P的坐标是〔3，4〕.
②假设PD=OD=5时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，有DM =OC=4，
在Rt△PDM中，PM= ，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，那么P的坐标是〔2，4〕；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，那么P的坐标是〔8，4〕.
综上所述，P的坐标为：〔3，4〕或〔2，4〕或〔8，4〕.
故答案为：〔3，4〕或〔2，4〕或〔8，4〕.
【分析】分两种情况：①假设OP=OD时，由勾股定理求出求出CP=3，②假设PD=OD时，作DM⊥BC于点M，由勾股定理求出PM=3，分别得出P点的坐标即可.
18.【答案】 0
【解析】【解答】解： ，
解得： ，
即 ，
那么 ，
故答案为：0.
【分析】求出 的解，代入新定义对应的表达式即可求解.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：由原方程 ，
移项得： ，
方程二次项系数化为1，得： ，
配方，得 ，
即 ，
那么 ，
∴ ， ；
〔2〕解： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ；
【解析】【分析】〔1〕①移项，常数项移到右边，②方程二次项系数化为1，③配方，两边加上一次项系数一半的平方1，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解；
〔2〕找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而代入求根公式即可求出解.
20.【答案】 〔1〕证明：∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB〔SAS〕
〔2〕证明：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD
【解析】【分析】〔1〕利用等边三角形的性质，可证得AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，再证明∠ACE=∠DCB，然后利用SAS可证得结论。
〔2〕利用全等三角形的性质，可证得∠CAE=∠CDB，再由∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，去证明∠DAF=∠DBA，然后利用两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
21.【答案】 〔1〕解：∵△=〔﹣4m〕2﹣4〔4m2﹣1〕=4＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
〔2〕解：∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根.
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3.
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5.
∵3、5、5能够组成三角形，
∴该三角形的周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7.
∵5、5、7能够组成三角形，
∴该三角形的周长为5+5+7=17.
综上所述：此三角形的周长为13或17.
【解析】【分析】〔1〕根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
〔2〕根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，再利用三角形的周长公式即可求出结论.
22.【答案】 〔1〕98
〔2〕解：设每辆汽车降价x万元，根据题意得：
〔25−x−15〕〔8＋2x〕＝90，
解得x1＝1，x2＝5，
当x＝1时，销售数量为8＋2×1＝10〔辆〕；
当x＝5时，销售数量为8＋2×5＝18〔辆〕，
为了尽快减少库存，那么x＝5，此时每辆汽车的售价为25−5＝20〔万元〕，
答：每辆汽车的售价为20万元
【解析】【解答】〔1〕由题意，可得当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量是：
×1＋8＝14，
那么此时，平均每周的销售利润是：〔22−15〕×14＝98〔万元〕；
【分析】〔1〕根据当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，即可求出当售价为22万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润＝一辆汽车的利润×销售数量列式计算；〔2〕设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利×销售的辆数＝90万元，列方程求出x的值，进而得到每辆汽车的售价．
23.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四变形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.∵∠AFD+∠AFE=180°，
∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC.
〔2〕解：由〔1〕知△ADF∽△DEC，那么：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=8.∴DE=12,
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= .
【解析】【分析】〔1〕利用平行四边形的性质得出 AD∥BC ，根据二直线平行，内错角相等得∠ADF=∠DEC，利用等角的补角相等得出∠AFD=∠C，所以△ADF∽△DEC；
〔2〕根据相似三角形的对应边成比例建立方程得出DE的长，利用勾股定理得出AE的长.
24.【答案】 〔1〕200；36；720；
〔2〕解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有20种可能出现的情况，符合题意“1男1女〞的有12种，
∴P〔1男1女〕＝ ，
答：选中“1男1女〞的概率为 ．
【解析】【解答】解：〔1〕总人数：50÷25%＝200名，无所谓人数：200×20%＝40名，很赞同人数：200﹣90﹣50﹣40＝20名，
很赞同对应圆心角：360°× ＝36°，
1600× ＝720名，
故答案为：200，36，720，补全条形统计图如下列图：
【分析】〔1〕从两个统计图可得，“赞同〞的有50名，占调查总人数的25%，可求出调查总人数；进而求出“无所谓〞和“很赞同〞的人数，很赞同的圆心角度数为360°的 ，样本估计总体，样本中“不赞同〞的占 ，估计总体1600户的 是“不赞同〞的人数；即可补全条形统计图：〔2〕用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出1男1女的情况数，进而求出概率．
25.【答案】 〔1〕解：在平行四边形BCFD中，
DE//BC，
∵E是DF的中点，
∴DE＝ BC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴四边形ADCF是平行四边形.
〔2〕矩形
【解析】【解答】解：〔2〕∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ = =AE=EC,
∴∠ADC＝90°，
∴ ADCF是矩形.
故答案为：矩形.
【分析】〔1〕首先证明DE是△ABC的中位线，得到E是AC的中点，又E也是DF的中点，运用对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可.〔2〕先证明DE=AE=EC= ,根据三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形,得到∠ADC＝90°，即可得到▱ADCF为矩形.
26.【答案】 〔1〕解：设经过时间为t秒
由题意得：AP=2t，CQ=t，那么PC=8﹣2t，由题意得： ×〔8﹣2t〕×t=2，整理得：t2﹣4t+2=0，解得：t=2± ，那么P、Q同时出发，经过〔2± 〕秒钟S△PCQ=2cm2
〔2〕解：由题意得：AP=2t，CQ=2+t，那么PC=8﹣2t，分两种情况讨论：
①当△PCQ∽△ACB时， = ，即 = ，解得：t=1.6；
②当△PCQ∽△BCA时， = ，即 = ，解得：t= ．
综上所述：点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或 秒秒△PCQ与△ACB相似
【解析】【分析】〔1〕设t秒钟后，根据行程问题中的数量关系表示出AP、PC、CQ的长，再利用三角形的面积公式列出方程求出符合题意的值即可；
〔2〕同〔1〕，先表示出AP、PC、CQ的长，然后分①△PCQ∽△ACB和②△PCQ∽△BCA两种情况，分别利用“相似三角形的对应边成比例〞列出关于线段CP、CA、CQ、CB的比例式，解所得的比例方程即可求出结果。
27.【答案】 〔1〕解：①判断：△ABC是等边三角形.
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
那么AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中， ，
∴ ,即BD= AE.
〔2〕解：连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴ ，即
又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-〔90°-∠BDE〕=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=
在Rt△EDC中CD=DE×tan60°=2
∴ ，
即 .
【解析】【分析】(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论；
〔2〕连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，由相似比即得到比值.
28.【答案】 〔1〕解：①连接PD，
∵四边形ABCD是正方形，AC平分∠BCD，CB=CD，△BCP≌△DCP，
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，∴PD=PE，
∵PF⊥CD，∴DF=EF
②PC= CE+PA，理由如下：
延长FP交AB于点G，那么四边形ADFG是矩形，∴AG=DF
∵△AGP是等腰直角三角形，∴AG= AP
∵△FCP是等腰直角三角形，
∴CP= CF= (CE+EF)
= (CE+DF)= (CE+AG)
= (CE+ AP)
= CE+PA
〔2〕结论①成立，结论②不成立，此时②中的三条线段之间的数量关系为PA= CE+PC
【解析】【解析】解：〔2〕解：如图，
①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四点共圆，
∴∠PEC＝∠PBC，
在△PBC和△PDC中
BC＝DC〔〕，∠PCB＝∠PCD＝45°〔已证〕，PC边公共边，
∴△PBC≌△PDC〔SAS〕，
∴∠PBC＝∠PDC，
∴∠PEC＝∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF＝EF；
②同理：PA＝PG＝DF＝EF，PC＝CF，
∴PA＝EF＝〔CE＋CF〕＝CE＋CF＝CE＋PC
即PC、PA、CE满足关系为：PA＝CE+PC.
【分析】(1)①连接PD，通过△BCP≌△DCP证得∠PBC=∠PDC，由四边形PBCE的内角结合同角的补角相等得到∠PED=∠PBC，即可证PD=PE，由等腰三角形的“三线合一〞即可；②延长FP交AB于点G，由PC与CF的关系，结合EF=DF=AG逐渐转化得到这三条线段间的数量关系；
(2)同〔1〕证得DF=EF，即可得出三条线段的数量关系为PA＝CE+PC.
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