备战2022年高考数学数列专项题型-第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项（含解析）

第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项

题型1 累加法

1．已知数列满足，，若，则数列的通项　　．

【解析】解：，

，．

数列是等比数列，首项与公比都为2，

．

时，．

则数列的通项，

则数列的通项．

故答案为：．

2．若数列满足，且对于任意的都有，则　　．

【解析】解：由，得，

．

，

则．

故答案为：．

3．已知数列满足，，且．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）证明：当且时，在两边同除以，

得，，为常数，且

所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）设数列的前项和为，

由（1）知，，，

又由，，

所以．

声

题型2 累乘法

1．已知数列满足，且，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：数列满足，且，

可得，

可得，

故选：．

2．已知数列满足，且，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：，

，

，，

以上各式两边分别相乘得，

由时也适合上式，所以，

故选：．

3．已知数列是首项为1的正项数列，且，若数列满足，且，则式子的值是　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，数列满足，变形可得，

又由数列是首项为1的正项数列，则有，变形可得：，

则有，

则有，故，

数列满足，即，则有，

则有，故，

则，

设，

则，①

则有，②

①②可得：，

变形可得：；

故选：．

4．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则　　，　　．

【解析】解：，2，3，，

，

又，

，

，

，

，，

故答案为：；．

5．已知数列满足，，求通项公式．

【解析】解：，

，

，

．

6．已知数列满足，，求的通项公式．

【解析】解：数列满足，，

，

，当时也成立．

．

题型3 差商法

1．已知数列中，，对所有，都有，则　　

A． B．3 C．9 D．

【解析】解：因为数列中，，对所有，都有，

所以时，，

时，，

所以．

故选：．

2．已知数列满足．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）求证．

【解析】解：时，

时，

两式相减可得，

解：

两式相减可得，

证明：由可知，

3．已知数列满足．

（Ⅰ）求数列的通项；

（Ⅱ）若求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）时，

（1）

时，．（2）

（1）（2）得即

又也适合上式，

（Ⅱ），（3）

（4）

（3）（4）可得

4．已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，探求使恒成立的的最大整数值．

【解析】解：（1）当时，，

当时，，①

，②

①②得，

，

；

，

（2）．，

，；

时，

；；

可化为：

；

即恒成立，

即恒成立，

故成立，

故的最大整数值为2．

5．已知数列满足．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，则求出的值；

（Ⅲ）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围

【解析】解：（Ⅰ）由题意，数列的前项和．

当时，有，所以．

当时，

．

所以，当时，；

又符合，时与的关系式，所以．

所以的值为3．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．

可令，

因为，

所以

．

所以的值为．

（Ⅲ）由，得．又，所以．

所以，．

因为是递减数列，所以，

即．化简得．

所以，恒成立．

又是递减数列，所以的最大值为第一项．

所以，即实数的取值范围是．

6．已知数列满足，．

（Ⅰ）求

（Ⅱ）求证：

【解析】解：（Ⅰ）由可得

，

所以当时，，

因此，有，

即，

整理得，

又，，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，求得．

（Ⅱ）记，

故，

又，

所以．

综上可得：．

7．已知数列满足．

（1）求，和的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

【解析】解：（1）由题意得，

所以：，

．

解得：．

由，

所以，

相减得，

得，也满足上式．

所以的通项公式为．

（2）数列的通项公式为：

说以：该数列是以为首项，公差为的等差数列，

若对任意的正整数恒成立，

等价于当时，取得最大值，

所以

解得．

所以实数的取值范围是．

8．（1）设数列满足，，求数列的通项公式；

（2）已知等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式．

【解析】解：（1）由①，得，

且②，

①②得：，，

验证时上式成立，；

（2）设等比数列的公比为，

由，，且，得：

，，

解得：．

．