备战2022年高考数学数列专项题型-第3讲 构造辅助数列求通项（含解析）

第3讲 构造辅助数列求通项

一．填空题（共4小题）

1．已知数列满，则数列的通项公式为　　．

【解析】解：知数列满，则设，整理得，

所以（常数），则数列是以为首项，4为公比的等比数列．

所以，整理得（首项符合通项）．

故数列的通项公式：．

故答案为：

2．已知数列的首项，，则的通项　　．

【解析】解：由两边同除以可得，，即，

所以数列以1为首项，1为公差的等差数列所以，

所以．

故答案为：

3．数列中，，，则的通项公式为　　．

变式：已知数列中，，，则的通项公式为　 　．

【解析】解：由，得

，

，

数列构成以为首项，以为公比的等比数列，

则，

则，

故答案为：；

变式：由，，可知，

两边取对数，得，

，

，

数列构成以为首项，以3为公比的等比数列，

则，

，

则．

故答案为：．

4．已知数列满足，且，则　　．

【解析】解：由，可得：，

于是，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，

故，

．

故答案为：．

二．解答题（共2小题）

5．已知数列满足，．

（1）若数列是等差数列，求通项公式；

（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．

【解析】解：（1）数列是等差数列，，，

设数列的公差为，则．

，

即对成立，于是．

，且，解得．

；

证明：（2），，

．

，

数列是以3为首项，公比为2的等比数列．

．

．

6．已知数列满足：，且．

（1）求的值；

（2）求证：；

（3）设，求证：．

【解析】解：（1），且，，．

，．

故可得是以位首项，以为公比的等比数列，，．

．

（2），，

．

（3），现用数学归纳法证明，．

当时，．

假设当时，，

当时，．

要证明 2 ，

只需证明，

只要证，，

即证，即证．

而 显然成立， 时，，

综上得．

又当时，，所以．