2021年初中数学苏科版九年级上学期期中模拟试卷B含答案

这是一份2021年初中数学苏科版九年级上学期期中模拟试卷B含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，综合题等内容，欢迎下载使用。

 初中数学苏科版九年级上学期期中模拟试卷B
一、单项选择题
1.假设 是关于x的一元二次方程 的一个根，那么 的值为〔     〕
A.2021
B.2021
C.2022
D.2024
2.一元二次方程 的根的情况是〔   〕
A. 有两个不等的实数根                B. 有两个相等的实数根                C. 无实数根                D. 无法确定
3.疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用 在线上买菜，某买菜 今年一月份新进册用户为200万，三月份新注册用户为338万，那么二、三两个月新注册用户每月平均增长率是〔    〕
A. 10%                                     B. 15%                                     C. 23%                                     D. 30%
4.A为⊙O外一点，假设点A到⊙O上的点的最短距离为2，最长离为4，那么⊙O半径为〔　　〕
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
5.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，那么以下结论中正确的选项是〔   〕

A. AC=AB                         B. ∠C= ∠BOD                         C. ∠C=∠B                         D. ∠A=∠B0D
6.如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.假设∠CAB＝40°，那么∠ADC的度数是〔   〕

A. 110°                                    B. 130°                                    C. 140°                                    D. 160°
7.学校有一块长30m，宽20m的矩形空地，方案在这块空地上划出四分之一的区域种花，小阳同学设计方案如下列图，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，那么可列方程为(    )

A. (30－x)(20－x)＝ ×20×30                             B. (30－2x)(20－x)＝ ×20×30  
C. 30x+2×20x＝ ×20×30                                  D. (30－2x)(20－x)＝ ×20×30
8.如图，矩形 中， ， ，以 为直径的半圆与 相切，连接 ． 那么阴影局部的面积为〔    〕

A.                                B.                                C.                                D. 
9.关于x的一元二次方程 与 ，以下判断错误的选项是〔    〕
A. 假设方程 有两个实数根，那么方程 也有两个实数根；
B. 如果m是方程 的一个根，那么 是 的一个根；
C. 如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1；
D. 如果方程 与 有一个根相等，那么这个根是1或-1.
10.如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，那么以下结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是〔   〕

A. 1 个                                      B. 2个                                      C. 3 个                                      D. 4个
二、填空题
11.圆锥的底面半径为3，侧面积为 ，那么这个圆锥的母线长为________.
12.关于 的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是________．
13.假设一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1 ， x2 ， 那么x12+x22﹣x1•x2的值是________．
14.如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，P为优弧AC上一点，那么∠APC=________°.

15.如图OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，点E在⊙O上，EB恰好经过圆心O．连接EC．假设∠B＝∠E，OD＝ ，那么劣弧AB的长为________．

16.x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，那么代数式2a﹣4b的值为________.
17.m是方程式x2+x﹣1＝0的根，那么式子m3+2m2+2021的值为________.
18.如图直线 与x轴、y轴分别交于点A，B，C是 的中点，点D在直线 上，以 为直径的圆与直线 的另一交点为E，交y轴于点F，G， ， ，那么 的长是________．

三、综合题
19.：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC ．

〔1〕求证：△ABC是等腰三角形；
〔2〕当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
20.关于x的方程 ．
〔1〕假设 是该方程的根，求k的值；
〔2〕假设该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
21.：如下列图．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm ， BC=7cm ． 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．

〔1〕如果P ， Q分别从A ， B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
〔2〕如果P ， Q分别从A ， B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
〔3〕在〔1〕中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
〔1〕假设降价a元，那么平均每天销售数量为________件．〔用含a的代数式表示〕
〔2〕当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元．
23.如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F.

〔1〕求证：直线DF是⊙O的切线；
〔2〕假设OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长.
24.如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB 的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H.

〔1〕假设连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
〔2〕求证：AH是⊙O的切线；
〔3〕假设AB＝6，CH＝2，那么AH的长为________.
25.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，连接AC，BD，半径CO交BD于点E，过点C作切线，交AB的延长线于点F，且∠CFA＝∠DCA.

〔1〕求证：OE⊥BD；
〔2〕假设BE＝4，CE＝2，那么⊙O的半径是________，弦AC的长是________.
26.如图，四边形 为菱形，以 为直径作 交 于点 ，连接 交 于点 ， 是 上的一点，且 ，连接 .

〔1〕求证： .
〔2〕求证： 是 的切线.
〔3〕假设 ， ，求四边形 的面积.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】把 代入方程即可求得 的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
2.【答案】 B
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】求出其根的判别式，然后根据根的判别式的正负情况即可作出判断.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x，由题意，得
200 (1+x)2=338，
1+x=+1.3，
x=0.3或x=-2.3 (舍去) .
所以二、三两个月新注册用户每月平均增长率是0.3即30%，
故答案选：D．
【分析】设每月的平均增长率为x，根据题意列出方程200 (1+x)2=338求解即可．
4.【答案】 D
【解析】【解答】解：如以下列图，AB为点A与⊙O上的点的最短距离，AC为点A与⊙O上的点的最长距离，

∵点A在⊙O外，点A与⊙O上的点的最短距离为2，最长距离为4，
∴⊙O的直径＝4﹣2＝2，
∴圆的半径是1．
故答案为：D．
【分析】画出图形，根据图形和题意得出AC的长是A到⊙O的最长距离，AB的长是A到⊙O的最短距离，据此可求出⊙O的直径，即可求出圆的半径．
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵直径CD⊥弦AB，
∴弧AD =弧BD，
∴∠C= ∠BOD.
故答案为：B.
【分析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C= ∠BOD，从而可对各选项进行判断.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°.
故答案为：B.
【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的内角和定理得∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的对角互补求∠ADC的度数.
7.【答案】 D
【解析】【解答】 解：设花带的宽度为xm ，
∴空白矩形的长(30-2x)m，宽为〔20-x〕m，
∴ (30－2x)(20－x)＝  ×20×30 .
故答案为：D.
【分析】设花带的宽度为xm ，可得空白矩形的长(30-2x)m，宽为〔20-x〕m，根据矩形的面积=长×宽列出方程即可.
8.【答案】 D
【解析】【解答】如图，设矩形ABCD与以AB为直径的半圆相切于点E，圆的半径为O，连接OE，

∵CD与半圆相切，
∴OE⊥CD，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝10，AD＝5，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝10
∴OB＝ AB＝5＝BC
∴四边形OBCE是正方形，
由弧BE、线段BC、CE围成的面积＝S正方形OBCE－S扇形BOE＝
∴阴影局部的面积＝S△BCD－ ＝ ＝
故答案为：D．
【分析】设矩形ABCD与以AB为直径的半圆相切于点E，圆的半径为O，连接OE，先证明四边形OBCE是正方形，将S△ABC分割成阴影局部的面积和由弧BE、线段BC、CE围成的面积，然后将S△ABC减去由弧BE、线段BC、CE围成的面积即可求解阴影局部面积．
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：A．∵方程ax2+bx+c=0有两个实数根，∴△1=b2﹣4ac≥0．
∵△2=b2﹣4ac≥0，∴方程cx2+bx+a=0也有两个实数根，不符合题意；
B．∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴am2+bm+c=0，∴ ，∴ 是cx2+bx+a=0的一个根，故不符合题意；
C．由题意知，a≠c ， 设相等的根是m ， 那么am2+bm+c=0①，cm2+bm+a=0②，①﹣②得am2﹣cm2+c﹣a=0，整理得：〔a﹣c〕〔m2﹣1〕=0．
∵a≠c ， ∴m2﹣1=0，∴m=±1，故C符合题意，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的解的定义即可得到结论．
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正确；
连接OD，

∵D为BC中点，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线，∴④正确；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正确；
∵D为BC中点，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正确．
故答案为：D．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得AD⊥BC；连接OD，根据三角形的中位线定理可得DO∥AC，结合条件DE⊥AC可得OD⊥DE，那么DE是⊙O的切线；根据DE是⊙O的切线可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根据等腰三角形三线合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以选项D符合题意。
二、填空题
11.【答案】 4
【解析】【解答】∵底面半径为3,
∴底面周长=2×3π=6π.
∴圆锥的母线= .
故答案为:4.
【分析】根据圆锥的底面半径可以求出底面周长即为展开后的弧长,侧面积即为展开后扇形的面积,再根据扇形的面积公式求出扇形的半径即为圆锥的母线.
12.【答案】 m≤5且m≠4
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴△= ≥0且 ≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公共局部即可．
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1 ， x2 ，
∴x1+x2＝ ，x1x2＝ ，
那么原式＝〔x1+x2〕2﹣3x1x2
＝〔 〕2﹣3×
＝ ﹣
＝ ，
故答案为： ．
【分析】先由根与系数的关系得出x1+x2＝ ，x1x2＝ ，再代入原式＝〔x1+x2〕2﹣3x1x2计算可得．
14.【答案】 30
【解析】【解答】解：如图，连接OC、AC

都为圆O的半径

CD为半径OA的垂直平分线


是等边三角形


故答案为：30.
【分析】如图，先根据垂直平分线的性质得出 ，再根据等边三角形的定义与性质可得 ，然后根据圆周角定理即可得.
15.【答案】 2π
【解析】【解答】解：∵OE＝OC，
∴∠E＝∠C，
∴∠COB＝∠E+∠C＝2∠E，
∵∠DOB+∠B＝90°
∴2∠E+∠B＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°
∴∠AOB＝120°，OB＝2OD＝3，
∴劣弧AB的长＝ ＝2π，
故答案为：2π．
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角的性质求出∠B=30°，根据直角三角形的性质求出OB，根据弧长公式计算即可．
16.【答案】 -2
【解析】【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2〔a﹣2b〕
＝﹣2，
故答案是：﹣2.
【分析】将x＝1代入原方程即可求出〔a﹣2b〕的值，然后将其整体代入求值.
17.【答案】 2021
【解析】【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m＝1
∵m3+2m2+2021
＝m3+m2+m2+2021
＝m〔m2+m〕+m2+2021
＝m+m2+2021
＝1+2021
＝2021
故答案为：2021
【分析】由m是方程的根，可得m2+m=1，变形m3+2m2+2021为m〔m2+m〕+m2+2021，然后整体代入得结果.
18.【答案】
【解析】【解答】解：如图，设CD的中点为O′，设直线BA交直线y＝﹣2于M ， 直线y＝﹣2交y轴于P ， 作CH⊥OB于H ， 连接O′F ， 作AJ⊥DM于J ， O′N⊥FG于N ．

∵CD是⊙O′的直径，∴∠CED＝90°，
∵直线y＝﹣x+m〔m＞0〕与x轴、y轴分别交于点A ， B ，
∴A〔m ， 0〕，B〔0，m〕，
∴OA＝OB ， ∴∠OAB＝45°，
∵OA∥DM ， ∴∠EMD＝∠OAB＝45°，
∵∠DEM＝90°，∴ED＝EM ，
∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝ ，
∵JA⊥DM ， ∴∠AJM＝90°，
∴AJ＝JM＝2，AM＝2 ，
∴BC＝CA＝4 ，∴AB＝8 ，∴BO＝AO＝8，
∴A〔8，0〕，B〔0，8〕，C〔4，4〕，
设D〔m ， ﹣2〕，那么O′〔 〔m+4〕，1〕，
∴O′N＝ 〔m+4〕，O′F＝ CD＝ ，
∵O′N⊥FG ， ∴FN＝ ，
在Rt△O′FN中，由勾股定理，得： ，解得m＝1，
∴CD＝ ．
故答案为： ．
【分析】如图，设CD的中点为O′，设直线BA交直线y＝﹣2于M ， 直线y＝﹣2交y轴于P ， 作CH⊥OB于H ， 连接O′F ， 作AJ⊥DM于J ， O′N⊥FG于N ． 首先利用等腰直角三角形的性质和条件 可确定A ， B ， C的坐标，再设D〔m ， ﹣2〕，进而可得O′N与O′F的长，而FN＝ ，然后在Rt△O′FN中利用勾股定理构建方程即可求出m ， 问题即得解决．
三、综合题
19.【答案】 〔1〕解：〔1〕连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，
∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中，
 ，
∴△OAB≌△OAC〔AAS〕，
∴AB＝AC
即△ABC是等腰三角形；


〔2〕解：延长AO交BC于点H，
∵AH平分∠BAC，AB＝AC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，
∵BH2+OH2＝OB2 ， OA＝4，AB＝6，
那么  　①
 BH2+AH2＝AB2 ， OA＝4，AB＝6，
那么 　②
②－①得：
 
把 代入①得： 〔舍〕
 
∴BC＝2a＝3 ．
【解析】【分析】〔1〕连接OB、OC ， 先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO ， 再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC ， 问题得证；〔2〕延长AO交BC于点H ， 先证明AH⊥BC ， BH＝CH ， 设OH＝b ， BH＝CH＝a ， 根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b ， 便可得BC ．
20.【答案】 〔1〕解：把 代入该方程得 ，解得 ；
〔2〕解：分两种情况讨论：
①当 时，原方程可化为 ，解得 ，
与“该方程有两个不相等的实数根〞矛盾，不合题意，应舍去；
②当 时，原方程是关于 的一元二次方程，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴令 ，即 ，解得 ．
综上所述， 且 为所求．
【解析】【分析】〔1〕把-1代入方程求解即可；〔2〕根据根的判别式计算即可；
21.【答案】 〔1〕解：设t秒后，那么：AP=tcm，BP=〔5﹣t〕cm；BQ=2tcm．
S△PBQ=BP×BQ，即 ，解得：t=1或4．〔t=4秒不合题意，舍去〕
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2 ．

〔2〕解：∵PQ=5，那么PQ2=25=BP2+BQ2 ， 即25=〔5﹣t〕2+〔2t〕2 ， t=0〔舍〕或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．

〔3〕解：令S△PQB=7，即：BP× =7， ，整理得：t2﹣5t+7=0．
由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，那么方程没有实数根．
所以，在〔1〕中，△PQB的面积不等于7cm2 ．
【解析】【分析】〔1〕设P、Q分别从A、B两点出发，x秒后，AP=xcm，PB=〔5-x〕cm，BQ=2xcm那么△PBQ的面积等于 ×2x〔5-x〕，令该式等于4，列出方程求出正确的解； 〔2〕利用勾股定理列出方程求解即可；〔3〕看△PBQ的面积能否等于7cm2 ， 只需令 ×2x〔5-x〕=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0那么可以，否那么不可以．
22.【答案】 〔1〕
〔2〕解：设每件商品降价 元，
根据题意得： ，
解得： ，
〔符合题意〕
〔舍去〕
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】【解答】解：〔1〕∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，
∴销售单价降低a元，平均每天可多售出2a件，
∴平均每天销售数量为 件，
故答案为：
【分析】〔1〕根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，列出代数式即可；〔2〕设每件商品降价x元，根据总利润=单件利润×销售量列出方程即可解答．
23.【答案】 〔1〕解：证明：连结OD，

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，
∵OD为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；

〔2〕解：∵∠A＝45°，OD∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，
∴ 的长为 ＝ ．
【解析】【分析】〔1〕连接OD，由等边对等角，即可得到∠B=∠ODC，即可判定直线OD∥AB，由平行直线的性质进行切线的证明即可；
〔2〕根据直线平行的性质，即可得到∠AOD的度数，计算弧长即可。
24.【答案】 〔1〕解：连接AO，四边形AECO是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E是AB的中点，
∴AE＝ AB.
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝ CD.∴AE∥OC，AE＝OC.
∴四边形AECO为平行四边形.

〔2〕证明：由〔1〕得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC

∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC.

∵OF＝OC

∴∠OCF＝∠OFC.

∴∠AOD＝∠AOF.

∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF

∴△AOD≌△AOF.

∴∠ADO＝∠AFO.

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADO＝90°.

∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF.

∵点F在⊙O上，

∴AH是⊙O的切线.


〔3〕
【解析】【解答】解：〔3〕∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF,CH=FH=2,
设AD=x,那么AF=x,AH=x+2,BH=x-2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,
即〔x+2〕2=62+〔x-2〕2,
解得x=
∴AH= +2= .
【分析】〔1〕根据矩形的性质得到AE∥OC，AE＝OC即可证明；〔2〕根据平行四边形的性质得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根据等腰三角形的性质得到∠OCF＝∠OFC.故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS证明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可证明；〔3〕根据切线长定理可得AD=AF,CH=FH=2,设AD=x,那么AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的长.
25.【答案】 〔1〕证明：∵∠CFA＝∠DCA，∠ABD＝∠DCA，
∴∠CFA＝∠ABD，
∴BD∥CF，
∵CF为⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴OC⊥BD，即OE⊥BD

〔2〕5；4
【解析】【解答】〔2〕解：如图，连接BC，

设⊙O的半径为r，那么OE＝r﹣2，OB＝r，
在Rt△OBE中，〔r﹣2〕2+42＝r2 ，
解得r＝5，即⊙O的半径为5，
在Rt△BCE中，BC＝ ，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ .
故答案为5， .
【分析】〔1〕根据圆周角定理得到∠ABD＝∠DCA，那么∠CFA＝∠ABD，那么可判断BD∥CF，接着根据切线的性质得OC⊥CF，然后根据平行线的性质得到结论；〔2〕连接BC，设⊙O的半径为r，在Rt△OBE中利用勾股定理得到〔r﹣2〕2+42＝r2 ， 求出r得到⊙O的半径为5，再利用勾股定理计算出BC＝2 ，接着利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算AC.
26.【答案】 〔1〕证明：如图1，连接 ，

∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴

〔2〕解：∵
∴ .
∵ 是 的直径，
∴ ，∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线

〔3〕解：如图2，连接 ，

∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴
∴
∴四边形 的面积 ．
【解析】【分析】〔1〕连接 ，结合菱形的性质利用SAS可证 ；〔2〕由直经所对的圆周角是直角可知 ，由全等的性质与平行的性质可 ，根据切线的判定定理可得结论；〔3〕连接 ，由等腰三角形三线合一的性质可得 ，根据勾股定理可得AD、AF、DF长，易得四边形 的面积.