2019年北京市中考数学真题卷+答案解析

这是一份2019年北京市中考数学真题卷+答案解析，共35页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103
2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
6．（2分）（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
7．（2分）（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）（2019•北京）分式的值为0，则x的值是 ．
10．（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2．（结果保留一位小数）
11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ．（写出所有正确答案的序号）
12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 ．
14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．
15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12 s02（填“＞”，“＝”或”＜”）
16．（2分）（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，
17．（5分）（2019•北京）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
18．（5分）（2019•北京）解不等式组：
19．（5分）（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 首．
24．（6分）（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 cm．
25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（7分）（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
28．（7分）（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
2019年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分,每小题2分)
1．（2分）（2019•北京）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106B．4.39×106C．4.39×105D．439×103
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．
故选：C．
2．（2分）（2019•北京）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
3．（2分）（2019•北京）正十边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．720°D．1440°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边的外角和定理进行选择．
【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
4．（2分）（2019•北京）在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
【考点】数轴．
【分析】根据CO＝BO可得点C表示的数为﹣2，据此可得a＝﹣2﹣1＝﹣3．
【解答】解：∵点C在原点的左侧，且CO＝BO，
∴点C表示的数为﹣2，
∴a＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：A．
5．（2分）（2019•北京）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM＝∠CODB．若OM＝MN．则∠AOB＝20°
C．MN∥CDD．MN＝3CD
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图—复杂作图．
【分析】由作图知CM＝CD＝DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【解答】解：由作图知CM＝CD＝DN，
∴∠COM＝∠COD，故A选项正确；
∵OM＝ON＝MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON＝60°，
∵CM＝CD＝DN，
∴∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝∠MON＝20°，故B选项正确；
∵∠MOA＝∠AOB＝∠BON＝20°，
∴∠OCD＝∠OCM＝80°，
∴∠MCD＝160°，
又∠CMN＝∠AON＝20°，
∴∠MCD+∠CMN＝180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM＝CD＝DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选：D．
6．（2分）（2019•北京）如果m+n＝1，那么代数式（+）•（m2﹣n2）的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【考点】分式的化简求值．
【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•（m+n）（m﹣n）＝•（m+n）（m﹣n）＝3（m+n），
当m+n＝1时，原式＝3．
故选：D．
7．（2分）（2019•北京）用三个不等式a＞b，ab＞0，＜中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点】命题与定理．
【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．
【解答】解：①若a＞b，ab＞0，则＜，真命题；
②若ab＞0，＜，则a＞b，真命题；
③若a＞b，＜，则ab＞0，真命题；
∴组成真命题的个数为3个；
故选：D．
8．（2分）（2019•北京）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分
下面有四个推断：
①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5﹣25.5之间
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数．
【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①（24.5×97+25.5×103）÷200＝25.015，一定在24.5﹣25.5之间，正确；
②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20﹣30之间，正确；
③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间，正确；
④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间，错误．
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）（2019•北京）分式的值为0，则x的值是 1 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
10．（2分）（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为 1.9 cm2．（结果保留一位小数）
【考点】三角形的面积．
【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【解答】解：过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．
经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，
∴S△ABC＝AB•CD＝×2.2×1.7≈1.9（cm2）．
故答案为：1.9．
11．（2分）（2019•北京）在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是 ①② ．（写出所有正确答案的序号）
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．
【解答】解：长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，
圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，
圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，
故答案为：①②．
12．（2分）（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
13．（2分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为 0 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
14．（2分）（2019•北京）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 12 ．
【考点】菱形的性质；正方形的性质．
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，得出AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，即可得出菱形的面积．
【解答】解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
设OA＝x，OB＝y，
由题意得：，
解得：，
∴AC＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；
故答案为：12．
15．（2分）（2019•北京）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为s12，则s12 ＝ s02（填“＞”，“＝”或”＜”）
【考点】算术平均数；方差．
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，方差不变，
∴则s12＝S02．
故答案为＝．
16．（2分）（2019•北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ①②③ ．
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定．
【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，
则四边形MNPQ是平行四边形，
故当MQ∥PN，PQ∥MN，四边形MNPQ是平行四边形，
故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；
②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；
③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；
④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，
则△AMQ≌△DQP，
∴AM＝QD，AQ＝PD，
∵PD＝BM，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；
故答案为：①②③．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，
17．（5分）（2019•北京）计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案
【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．
18．（5分）（2019•北京）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜2，
解②得x＜，
则不等式组的解集为x＜2．
19．（5分）（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【考点】根的判别式．
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m＝1，
∴x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1．
20．（5分）（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．
【分析】（1）由菱形的性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠G＝∠ADO，由三角函数得出tanG＝tan∠ADO＝＝，得出OA＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OA＝1．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴AB：BE＝AD：DF，
∴EF∥BD，
∴AC⊥EF；
（2）解：如图2所示：
∵由（1）得：EF∥BD，
∴∠G＝∠ADO，
∴tanG＝tan∠ADO＝＝，
∴OA＝OD，
∵BD＝4，
∴OD＝2，
∴OA＝1．

21．（5分）（2019•北京）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：
61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5
c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：
d．中国的国家创新指数得分为69.5．
（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）中国的国家创新指数得分排名世界第 17 ；
（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；
（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 2.8 万美元；（结果保留一位小数）
（4）下列推断合理的是 ①② ．
①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．
【考点】近似数和有效数字；用样本估计总体；频数（率）分布直方图．
【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；
（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；
（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；
（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．
【解答】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，
∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，
故答案为：17；
（2）如图所示：
（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；
故答案为：2.8；
（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，
①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；
②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；
故答案为：①②．
22．（6分）（2019•北京）在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
【考点】角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
【分析】（1）利用圆的定义得到图形G为△ABC的外接圆⊙O，由∠ABD＝∠CBD得到＝，从而圆周角、弧、弦的关系得到AD＝CD；
（2）如图，证明CD＝CM，则可得到BC垂直平分DM，利用垂径定理得到BC为直径，再证明OD⊥DE，从而可判断DE为⊙O的切线，于是得到直线DE与图形G的公共点个数．
【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，
∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，
∵AD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴AD＝CD；
（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，
∴CD＝CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵＝，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1．
23．（6分）（2019•北京）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（i+1）天背诵第二遍，第（i+3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．
解答下列问题：
（1）填入x3补全上表；
（2）若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为 4，5，6 ；
（3）7天后，小云背诵的诗词最多为 23 首．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据表中的规律即可得到结论；
（2）根据题意列不等式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式，即可得到结论．
【解答】解：（1）
（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，
∴x1+x3≥8①，
∵x1+x3+x4≤14②，
把①代入②得，x4≤6，
∴4≤x4≤6，
∴x4的所有可能取值为4，5，6，
故答案为：4，5，6；
（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，
∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，
x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4≤14③，x2+x4≤14④，
①+②+④﹣③得，3x2≤28，
∴x2≤，
∴x1+x2+x3+x4≤+14＝，
∴x1+x2+x3+x4≤23，
∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，
故答案为：23．
24．（6分）（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 AD 的长度是自变量， PD 的长度和 PC 的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为 1.59（答案不唯一） cm．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】（1）按照变量的定义，根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量，即可求解；
（2）描点画出如图图象；
（3）PC＝2PD，即PD＝PC，画出y＝x，交曲线AD的值为所求，即可求解．
【解答】解：（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量
故答案为：AD、PC、PD；
（2）描点画出如图图象；
（3）PC＝2PD，即PD＝PC，
画出y＝x，交曲线AD的值约为1.59，
故答案为1.59（答案不唯一）．
25．（5分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．
（1）求直线l与y轴的交点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．
①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；
②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）令x＝0，y＝1，直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点；②当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，k＝﹣2，当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点；
【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，
∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；
（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），
①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），
在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；
②直线AB的解析式为y＝kx+1，
当x＝k+1时，y＝﹣k+1，则有k2+2k＝0，
∴k＝﹣2，
当0＞k≥﹣1时，W内没有整数点，
∴当0＞k≥﹣1或k＝﹣2时W内没有整数点；
26．（6分）（2019•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移．
【分析】（1）A（0，﹣）向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称；
（3）①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，所以函数与AB无交点；
②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；
【解答】解：（1）A（0，﹣）
点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；
（2）A与B关于对称轴x＝1对称，
∴抛物线对称轴x＝1；
（3）∵对称轴x＝1，
∴b﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣，
①a＞0时，
当x＝2时，y＝﹣＜2，
当y＝﹣时，x＝0或x＝2，
∴函数与AB无交点；
②a＜0时，
当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，
x＝或x＝
当≤2时，a≤﹣；
∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
27．（7分）（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据题意画出图形．
（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．
（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．
【解答】解：（1）如图1所示为所求．
（2）设∠OPM＝α，
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN＝150°，PM＝PN
∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α
∵∠AOB＝30°
∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α
∴∠OMP＝∠OPN
（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：
过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2
∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°
∵∠AOB＝30°，OP＝2
∴PD＝OP＝1
∴OD＝
∵OH＝+1
∴DH＝OH﹣OD＝1
∵∠OMP＝∠OPN
∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN
即∠PMD＝∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP（AAS）
∴PD＝NC，DM＝CP
设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ＝MH＝x+1
∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x
∴OC＝DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP（SAS）
∴ON＝QP
28．（7分）（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，的长即以DE为直径的圆周长的一半；
（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．
【解答】解：（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，
连接DE，∵∠A＝90°，AB＝AC＝，D，E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，
∴弧＝×2π＝π；
（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，
①当t＝时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），
设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°
∴∠ACO＝45°，
∵DE∥OC
∴∠AED＝∠ACO＝45°
作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝
根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；
∴m≤
综上所述，m≤或m≥1．
②如图4，设圆心P在AC上，
∵P在DE中垂线上，
∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，
∴P（t，），
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠AOB＝90°
∴AE＝＝＝，
∵PD＝PE，
∴∠AED＝∠PDE
∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，
∴∠DAE＝∠ADP
∴AP＝PD＝PE＝AE
由三角形中内弧定义知，PD≤PM
∴AE≤，AE≤3，即≤3，解得：t≤，
∵t＞0
∴0＜t≤．

时间t
人数
学生类型
0≤t＜10
10≤t＜20
20≤t＜30
30≤t＜40
t≥40
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
第4组
x4
x4
x4
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
时间t
人数
学生类型
0≤t＜10
10≤t＜20
20≤t＜30
30≤t＜40
t≥40
性别
男
7
31
25
30
4
女
8
29
26
32
8
学段
初中
25
36
44
11
高中
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
第4组
x4
x4
x4
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
x1
x1
x1
第2组
x2
x2
x2
第3组
x3
x3
x3
第4组
x4
x4
x4
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00