2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷）+答案+解析

这是一份2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（a卷）+答案+解析，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.
1．（4分）（2019•兰州）的相反数是　　
A． B．2019 C． D．
2．（4分）（2019•兰州）如图，直线，被直线所截，，，则　　

A． B． C． D．
3．（4分）（2019•兰州）计算：　　
A． B． C．3 D．
4．（4分）（2019•兰州）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
5．（4分）（2019•兰州）是关于的一元二次方程的解，则　　
A． B． C． D．
6．（4分）（2019•兰州）如图，四边形内接于，若，则　　

A． B． C． D．
7．（4分）（2019•兰州）化简：　　
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•兰州）已知△，，，则　　
A．2 B． C．3 D．
9．（4分）（2019•兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
10．（4分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形，已知，，，则的坐标为　　

A． B． C． D．
11．（4分）（2019•兰州）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
12．（4分）（2019•兰州）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（4分）（2019•兰州）因式分解：　 　．
14．（4分）（2019•兰州）在中，，，则　　．
15．（4分）（2019•兰州）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，，则　　．

16．（4分）（2019•兰州）如图，矩形，，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于　　．

三、解答题：本大题共12小题，共86分.
17．（5分）（2019•兰州）计算：．
18．（5分）（2019•兰州）化简：．
19．（5分）（2019•兰州）解不等式组：．
20．（6分）（2019•兰州）如图，，，，求证：．

21．（6分）（2019•兰州）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用，，，表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用，，表示）．
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
22．（7分）（2019•兰州）如图，，分别以、为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）求的长．

23．（7分）（2019•兰州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标．

24．（7分）（2019•兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1班全班学生名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
分数段
班级




八年级1班
7
5
10
3
分析数据：
表二
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级1班
78
　　
85
36
105.28
小丽用同样的方法对八年级2班全班学生名）的成绩进行分析，数据如下：
表三
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级2班
75
76
73
44
146.80
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
25．（7分）（2019•兰州）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面的遮阳蓬．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳蓬的夹角最大；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳蓬的夹角最小．窗户的高度．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳蓬的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
26．（9分）（2019•兰州）如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于、两点，设、两点间的距离为，，两点间的距离为．
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：

0
0.30
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50

3.00
3.50
3.68
3.81
3.90
3.93
4.10

　　
2.88
2.81
2.69
2.67
2.80
3.15
　　
3.85
5.24
6.01
6.71
7.27
7.44
8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．

（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：　　．
（4）解决问题：当时，的长度大约是　　．（保留两位小数）．

27．（10分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为“型”．
推理过程如下：

【模型应用】
如图，在内接于，，，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，，，连接交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，连接．求证：．
28．（12分）（2019•兰州）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为“型”．
推理过程如下：

【模型迁移】
二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．

（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，当时，求的面积；
（3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标；
（4）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标．

2019年甘肃省兰州市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.
1．（4分）的相反数是　　
A． B．2019 C． D．
【考点】14：相反数
【分析】根据相反数的概念求解可得．
【解答】解：的相反数为2019，
故选：．
2．（4分）如图，直线，被直线所截，，，则　　

A． B． C． D．
【考点】平行线的性质
【分析】先利用对顶角相等得到，然后根据平行线的性质，利用可计算出的度数．
【解答】解：如图，，
，
，
，
．
故选：．

3．（4分）计算：　　
A． B． C．3 D．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：，
故选：．
4．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是　　
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【解答】解：、此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，此图形是轴对称图形，旋转能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项正确；
、此图形沿一条直线对折后能够完全重合，旋转不能与原图形重合，此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
5．（4分）是关于的一元二次方程的解，则　　
A． B． C． D．
【考点】一元二次方程的解
【分析】先把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值．
【解答】解：把代入方程得，
所以，
所以．
故选：．
6．（4分）如图，四边形内接于，若，则　　

A． B． C． D．
【考点】圆内接四边形的性质
【分析】直接利用圆内接四边形的对角互补计算的度数．
【解答】解：四边形内接于，
，
．
故选：．
7．（4分）化简：　　
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法
【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得．
【解答】解：原式

，
故选：．
8．（4分）已知△，，，则　　
A．2 B． C．3 D．
【考点】相似三角形的性质
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：△，
．
故选：．
9．（4分）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程组为　　
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，将四边形先向下平移，再向右平移得到四边形，已知，，，则的坐标为　　

A． B． C． D．
【考点】坐标与图形变化平移
【分析】根据和的坐标得出四边形先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，则的平移方法与点相同，即可得到答案．
【解答】解：由，可知四边形先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形，
，
的坐标为，
故选：．
11．（4分）已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【分析】分别计算自变量为1和2对应的函数值，然后对各选项进行判断．
【解答】解：当时，；
当时，；
所以．
故选：．
12．（4分）如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则　　

A． B． C． D．
【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【分析】根据正方形的性质得到，，，求得，得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，
，，
，，
，
在与中，，
，
，
故选：．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．（4分）因式分解：　　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提取公因式，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：．
【解答】解：，
，（提取公因式）
．（完全平方公式）
故答案为：．
14．（4分）在中，，，则　70　．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数．
【解答】解：，
，
，
．
故答案为70．
15．（4分）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，，则　6　．

【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质
【分析】因为过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积是个定值，即．
【解答】解：根据题意，知，，
又因为反比例函数位于第一象限，，
所以，
故答案为6．
16．（4分）如图，矩形，，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点，两点，再分别以点，为圆心，以大于的长作半径作弧交于点，作射线交于点，若，则矩形的面积等于　　．

【考点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【分析】根据矩形的性质得到，求得，由作图知，是的平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，过作于，求得，求得，解直角三角形得到，，于是得到结论．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
由作图知，是的平分线，
，
，
，
过作于，
，
，
，，
矩形的面积，
故答案为：．
三、解答题：本大题共12小题，共86分.
17．（5分）计算：．
【考点】零指数幂；实数的运算；特殊角的三角函数值
【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式．
18．（5分）化简：．
【考点】单项式乘多项式；平方差公式
【分析】先去括号，再注意到可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可
【解答】解：
原式


19．（5分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以，不等式组的解集为．
20．（6分）如图，，，，求证：．

【考点】全等三角形的判定与性质
【分析】要证明，只要证明即可，要证明，只要证明即可，根据题目中的条件可以证明，本题得以解决．
【解答】证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
．
21．（6分）2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．
第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用，，，表示）；
第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用，，表示）．
（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）利用画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）找出小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；
（2）小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为2，
所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．
22．（7分）如图，，分别以、为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点和．依次连接、、、，连接交于点．
（1）判断四边形的形状并说明理由；
（2）求的长．

【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质
【分析】（1）利用作法得到四边相等，从而可判断四边形为菱形；
（2）根据菱形的性质得，，，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【解答】解：（1）四边形为菱形；
由作法得，
所以四边形为菱形；
（2）四边形为菱形，
，，，
在中，，
．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标．

【考点】等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数的几何意义；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）作于，根据等边三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得三角形的面积，根据系数的几何意义即可求得，从而求得反比例函数的表达式；
（2）求得三角形的面积，即可求得的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点的坐标．
【解答】解：（1）作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象在一三象限，
，
反比例函数的表达式为；
（2），
，
，
，
把代入，求得，
点的坐标为，．

24．（7分）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1班全班学生名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一
分数段
班级




八年级1班
7
5
10
3
分析数据：
表二
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级1班
78
　80　
85
36
105.28
小丽用同样的方法对八年级2班全班学生名）的成绩进行分析，数据如下：
表三
统计量
班级
平均数
中位数
众数
极差
方差
八年级2班
75
76
73
44
146.80
根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
【考点】中位数；算术平均数；方差；极差；频数（率分布表；众数
【分析】（1）根据中位数的定义找出第13个数，然后确定这一组中最小的数即可；
（2）从平均数、中位数、众数和方差的意义可判断八年级1班学生的成绩更为优异．
【解答】解：（1）共有25个数据，第13个数落在这一组中，此组最小的数为第13个数，
所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；
故答案为80；
（2）八年级1班学生的成绩更为优异．
理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．
25．（7分）某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：
问题提出：
如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：
如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面的遮阳蓬．
数据收集：
通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳蓬的夹角最大；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳蓬的夹角最小．窗户的高度．
问题解决：
根据上述方案及数据，求遮阳蓬的长．
（结果精确到，参考数据：，，，，，
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据正切的定义分别用表示出、，根据题意列式计算即可．
【解答】解：在中，，
则，
在中，，
则，
由题意得，，即，
解得，，
答：遮阳蓬的长约为．
26．（9分）如图，在中，，，点为的中点，，将绕点顺时针旋转度，角的两边分别交直线于、两点，设、两点间的距离为，，两点间的距离为．
小涛根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小涛的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是，两点间的距离进行取点、画图、测量，分别得到了与的几组对应值：

0
0.30
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50

3.00
3.50
3.68
3.81
3.90
3.93
4.10

　3　
2.88
2.81
2.69
2.67
2.80
3.15
　　
3.85
5.24
6.01
6.71
7.27
7.44
8.87
请你通过计算，补全表格；
（2）描点、连线，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出函数关于的图象．

（3）探究性质：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势：　　．
（4）解决问题：当时，的长度大约是　　．（保留两位小数）．

【考点】动点问题的函数图象
【分析】（1）①当时，则；②，则，即可求解；
（2）描点出如下图象，从图象可以看出：随着自变量的不断增大，函数的变化趋势；
（3），即，在上图中作直线，即可求解．
【解答】解：（1）①当时，
连接，则，，

，则，
则；
②，
在中，，，
，，
过点作于点，

则，则，
，
则，
故，
则；
故：答案为3，；
（2）描点出如下图象，

从图象可以看出：时，随最大而减小，
当时，随最大而增大；
（3），即，
在上图中作直线，
直线与曲线交点的纵坐标为：2.68和7.45，
故答案为：2.68或7.45．
27．（10分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为“型”．
推理过程如下：

【模型应用】
如图，在内接于，，，将斜边绕点顺时针旋转一定的角度得到，过点作于点，，，连接交于点．

（1）求证：是的切线；
（2）连接交于点，连接．求证：．
【考点】：圆的综合题
【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点在上，为直径，故只需证即可．由和可证得，而、、在同一直线上，用减去即为，得证．
（2）依题意画出图形，由要证的结论联想到对应边成比例，所以需证．其中为公共角，即需证．为圆周角，所对的弧为弧，故连接后有，问题又转化为证．把延长交于点后，有，故问题转化为证．只要，由等腰三角形三线合一即有，故问题继续转化为证．联系【模型呈现】发现能证，得到，，即能求．又因为为中点，可得到，再加上第（1）题证得，可得，所以，，得证．
【解答】证明：（1）为的外接圆
为斜边中点，为直径






是的切线

（2）延长交于点，连接
于点

绕点旋转得到

在与中


，

为中点






，即

平分，即
，






28．（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．
【模型呈现】
如图，在，，将斜边绕点顺时针旋转得到，过点作于点，可以推理得到，进而得到，．
我们把这个数学模型成为“型”．
推理过程如下：

【模型迁移】
二次函数的图象交轴于点，两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒．

（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，当时，求的面积；
（3）在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标；
（4）当时，在直线上存在一点，使得，求点的坐标．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点，代入即可；
（2）由已知分别求出，，，根据的面积的面积的面积即可求解；
（3）由已知可得，设，根据勾股定理可得，，再由，得到与的关系式：，因为，则有求出或，即可求点坐标；
（4）当时，，，可知点在抛物线对称性上；过点作的垂线，以为圆心为直径构造圆，圆与的交点分别为与，由，可得圆半径，即可求点坐标分别为，，，．
【解答】解：（1）将点，代入，
，，
；
（2），
的直线解析式为，
当时，，
，
，
，，，
的面积的面积的面积；
（3），
，
设，
，，
，
，
，
，
，

或，
或，
或；
（4）当时，，，
点在抛物线对称性上，
如图：过点作的垂线，以为圆心为直径构造圆，圆与的交点分别为与，
，
，
，，
，
又，
，，
与关于轴对称，
，，
点坐标分别为，，，；