2019年山东省泰安市中考数学试卷+答案+解析

这是一份2019年山东省泰安市中考数学试卷+答案+解析，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）（2019•泰安）在实数，，，中，最小的数是　　
A． B． C． D．
2．（4分）（2019•泰安）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）（2019•泰安）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为　　
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（4分）（2019•泰安）下列图形：

是轴对称图形且有两条对称轴的是　　
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．（4分）（2019•泰安）如图，直线，，则　　

A． B． C． D．
6．（4分）（2019•泰安）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是　　
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
7．（4分）（2019•泰安）不等式组的解集是　　
A． B． C． D．
8．（4分）（2019•泰安）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为　　．

A． B． C． D．
9．（4分）（2019•泰安）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．
10．（4分）（2019•泰安）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为　　
A． B． C． D．
11．（4分）（2019•泰安）如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为　　

A． B． C． D．
12．（4分）（2019•泰安）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是　　

A．2 B．4 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）（2019•泰安）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　．
14．（4分）（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为　　．
15．（4分）（2019•泰安）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点、点，交于点，若，则阴影都分的面积为　　．

16．（4分）（2019•泰安）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为　　．
17．（4分）（2019•泰安）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则前个正方形对角线长的和是　　．

18．（4分）（2019•泰安）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是　　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（8分）（2019•泰安）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）（2019•泰安）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）
组别
分数
人数
第1组

8
第2组


第3组

10
第4组


第5组

3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出，的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

21．（11分）（2019•泰安）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标．

22．（11分）（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的1.2倍．
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
23．（13分）（2019•泰安）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，于点，如图①，证明四边形是菱形；
（2）若，如图②，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

24．（13分）（2019•泰安）若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；
（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．

25．（14分）（2019•泰安）如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．
（1）试判断与是否相等？并给出证明；
（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．


2019年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）在实数，，，中，最小的数是　　
A． B． C． D．
【考点】22：算术平方根；：实数大小比较
【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．
【解答】解：


、项为正数，、项为负数，
正数大于负数，
故选：．
2．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；35：合并同类项；48：同底数幂的除法
【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：、，故此选项正确；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
故选：．
3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为　　
A．米 B．米 C．米 D．米
【考点】：科学记数法表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：42万公里用科学记数法表示为：米，
故选：．
4．（4分）下列图形：

是轴对称图形且有两条对称轴的是　　
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【考点】：轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．
【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；
④不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：．
5．（4分）如图，直线，，则　　

A． B． C． D．
【考点】：平行线的性质
【分析】过点作，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点作，
，，
，
，，
，
故选：．
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是　　
A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2
【考点】：算术平均数；：中位数；：折线统计图；：方差；：众数
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是，故选项正确；
平均数为，故选项正确；
方差为，故选项错误；
故选：．
7．（4分）不等式组的解集是　　
A． B． C． D．
【考点】：解一元一次不等式组
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
所以不等式组的解集是．
故选：．
8．（4分）如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏东方向，则，两港之间的距离为　　．

A． B． C． D．
【考点】：解直角三角形的应用方向角问题
【分析】根据题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，，，，
过作于，
，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，两港之间的距离为，
故选：．

9．（4分）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．
【考点】：切线的性质
【分析】连接、，由切线的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选：．

10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为　　
A． B． C． D．
【考点】：列表法与树状图法
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如图所示：
共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，
两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为；
故选：．

11．（4分）如图，将沿弦折叠，恰好经过圆心，若的半径为3，则的长为　　

A． B． C． D．
【考点】：翻折变换（折叠问题）；：垂径定理；：弧长的计算
【分析】连接、，作于，根据翻转变换的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接、，作于，
由题意得，，
，
，
，
，
的长，
故选：．

12．（4分）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是　　

A．2 B．4 C． D．
【考点】：矩形的性质；：垂线段最短；：轨迹
【分析】根据中位线定理可得出点点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可．
【解答】解：如图：

当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且
当点在上除点、的位置处时，有
由中位线定理可知：且
点的运动轨迹是线段，
当时，取得最小值
矩形中，，，为的中点，
、、为等腰直角三角形，
，


，即，
的最小值为的长
在等腰直角中，

的最小值是
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　．
【考点】：根的判别式
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△，求出的取值范围；
【解答】解：原方程有两个不相等的实数根，
△，
解得；
故答案为：．
14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意可列方程组为　　．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量）枚白银的重量枚黄金的重量）两，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，由题意得：
，
故答案为：．
15．（4分）如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点、点，交于点，若，则阴影都分的面积为　　．

【考点】：含30度角的直角三角形；：扇形面积的计算
【分析】连接，作于，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明为等边三角形，得到，，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．
【解答】解：连接，作于，
，，
，，
由勾股定理得，，
，，
为等边三角形，
，
，
，，
阴影都分的面积，
故答案为：．

16．（4分）若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为　，　．
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点
【分析】根据对称轴方程求得，再解一元二次方程得解．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线，
，
得，
则可化为：，
解得，，．
故意答案为：，．
17．（4分）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则前个正方形对角线长的和是　　．

【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：一次函数的性质；：规律型：点的坐标
【分析】根据题意和函数图象可以求得点，，，的坐标，从而可以得到前个正方形对角线长的和，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，
，，，，，
前个正方形对角线长的和是：，
设，则，
则，
，
，
前个正方形对角线长的和是：，
故答案为：，
18．（4分）如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是　　．

【考点】：矩形的性质；：翻折变换（折叠问题）
【分析】连接，利用矩形的性质，求出，的长度，证明平分，再证，最后证，利用相似的性质即可求出的长度．
【解答】解：如图，连接，
四边形为矩形，
，，，
为中点，

由翻折知，，
，，，
，
平分，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
【考点】：分式的化简求值
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【解答】解：原式


，
当时，
原式．
20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）
组别
分数
人数
第1组

8
第2组


第3组

10
第4组


第5组

3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出，的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

【考点】：频数（率分布表；：扇形统计图
【分析】（1）抽取学生人数（人，第2组人数（人，第4组人数（人，所以，；
（2），所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为；
（3）成绩高于80分：（人，所以成绩高于80分的共有900人．
【解答】解：（1）抽取学生人数（人，
第2组人数（人，
第4组人数（人，
，；
（2），
“第5组”所在扇形圆心角的度数为；
（3）成绩高于80分：（人，
成绩高于80分的共有900人．
21．（11分）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点为轴上一点，是等腰三角形，求点的坐标．

【考点】：反比例函数综合题
【分析】（1）先求出，进而求出，得出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
（2）分三种情况，①当时，得出，即可得出结论；
②当时，利用点与点关于对称，得出，即可得出结论；
③当时，先表示出，，进而建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
将点坐标代入反比例函数中得，，
反比例函数的解析式为，
将点，代入直线中，，
，
直线的解析式为；

（2）由（1）知，，
是等腰三角形，
①当时，
，
或，
②当时，如图2，
由（1）知，，
易知，点与点关于对称，
，
，，
③当时，设，
，，
，，

，
，，
即：满足条件的点的坐标为或或或，．


22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进、两种粽子1100个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的1.2倍．
（1）求、两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进、两种粽子共2600个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
【考点】：一元一次不等式的应用；：分式方程的应用
【分析】（1）设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用3000元购进、两种粽子1100个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过7000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为3元个，种粽子单价为2.5元个．
（2）设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进1000个．
23．（13分）在矩形中，于点，点是边上一点．
（1）若平分，交于点，于点，如图①，证明四边形是菱形；
（2）若，如图②，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．

【考点】：相似形综合题
【分析】（1）想办法证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题．
（2）证明，可得，由此即可解决问题．
（3）利用（2）中结论．求出，即可．
【解答】（1）证明：如图①中，

四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，，平分，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

（2）证明：如图②中，

，，
，
，
，，
，
，
，
，
；

（3）解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
．
24．（13分）若二次函数的图象与轴、轴分别交于点、，且过点．
（1）求二次函数表达式；
（2）若点为抛物线上第一象限内的点，且，求点的坐标；
（3）在抛物线上下方）是否存在点，使？若存在，求出点到轴的距离；若不存在，请说明理由．

【考点】：二次函数综合题
【分析】（1）用、、三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．
（2）设点横坐标为，用代入二次函数表达式得其纵坐标．把当常数求直线解析式，进而求直线与轴交点坐标（用表示），即能用表示的长．把以轴为界分成与，即得到，用含的式子代入即得到关于的方程，解之即求得点坐标．
（3）作点关于直线的对称点，根据轴对称性质即有垂直平分，连接交抛物线于点，即有，根据等腰三角形三线合一得，即在抛物线上下方）存在点使．设与交于点，则为中点且，利用面积即求得进而得的长．易求得，求的正弦和余弦值，应用到即求得、的长，即得到点坐标．求直线解析式，把解析式与抛物线解析式联立，求得的解一个为点横坐标，另一个即为点横坐标，即求出点到轴的距离．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过点、、
解得：
二次函数表达式为

（2）如图1，设直线交轴于点，过点作轴于点
设，
，
设直线解析式为
把点代入得：

直线
当时，，解得：
，


，即点一定在点左侧



解得：，（舍去）

点的坐标为

（3）在抛物线上下方）存在点，使．
如图2，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，过点作轴于点
垂直平分
，

、，
，，
，





中，，
，
，
设直线解析式为
把点代入得：，解得：
直线
当，解得：（舍去），
点横坐标为，即点到轴的距离为．


25．（14分）如图，四边形是正方形，是等腰直角三角形，点在上，且，，垂足为点．
（1）试判断与是否相等？并给出证明；
（2）若点为的中点，与垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

【考点】：正方形的性质；：等腰直角三角形；：全等三角形的判定与性质
【分析】（1）过点作交的延长线于点，可证四边形是矩形，可得，，由“”可证，可得，，可得；
（2）延长交于点，由平行线分线段成比例可得，且，可得，，即可求，由等腰三角形的性质可得．
【解答】解：（1），
理由如下：如图，过点作交的延长线于点

四边形是正方形
，
，，
四边形是矩形
，，
，
，
，且，

，


，
（2）
理由如下：如图，延长交于点，

，

，且，
，

又，
，且