2019年湖南省湘潭市中考数学试卷+答案+解析

这是一份2019年湖南省湘潭市中考数学试卷+答案+解析，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是
A．B．C．D．
2．（3分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A．B．
C．D．
3．（3分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
4．（3分）（2019•湘潭）下列计算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）（2019•湘潭）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．4B．2C．1D．
6．（3分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
A．平均数是8B．众数是11C．中位数是2D．极差是10
7．（3分）（2019•湘潭）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则
A．B．C．D．
8．（3分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2019•湘潭）函数中，自变量的取值范围是 ．
10．（3分）（2019•湘潭）若，，则 ．
11．（3分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
12．（3分）（2019•湘潭）计算： ．
13．（3分）（2019•湘潭）将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为 ．
14．（3分）（2019•湘潭）四边形的内角和为 ．
15．（3分）（2019•湘潭）如图，在四边形中，若，则添加一个条件 ，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
16．（3分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）（2019•湘潭）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（6分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
19．（6分）（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，
20．（6分）（2019•湘潭）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的 ．
（2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？
21．（6分）（2019•湘潭）如图，将沿着边翻折，得到，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
22．（6分）（2019•湘潭）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
23．（8分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
25．（10分）（2019•湘潭）如图一，抛物线过，、三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
26．（10分）（2019•湘潭）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
2019年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
1．（3分）（2019•湘潭）下列各数中是负数的是
A．B．C．D．
【分析】根据负数的定义可得为答案．
【解答】解：的绝对值；
；
；
．
故选：．
2．（3分）（2019•湘潭）下列立体图形中，俯视图是三角形的是
A．B．
C．D．
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【解答】解：、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；
、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：．
3．（3分）（2019•湘潭）今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级学生人数约24000人，24000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将24000用科学记数法表示为：，
故选：．
4．（3分）（2019•湘潭）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项法则和单项式乘以单项式分别求每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：、结果是，故本选项不符合题意；
、结果是，故本选项不符合题意；
、结果是，故本选项不符合题意；
、结果是，故本选项符合题意；
故选：．
5．（3分）（2019•湘潭）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A．4B．2C．1D．
【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故选：．
6．（3分）（2019•湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是
A．平均数是8B．众数是11C．中位数是2D．极差是10
【分析】从条形统计图中可以知道共调查40人，选择公交7人，火车2人，地铁13人，轻轨11人，其它7人，
极差为，故不正确；出现次数最多的是13，即众数是13，故不正确，从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故是不正确的；
，即平均数是8，故事正确的．
【解答】解：，即平均数是8，故事正确的．
出现次数最多的是13，即众数是13，故不正确，
从小到大排列，第20、21个数都是13，即中位数是13，故是不正确的；
极差为，故不正确；
故选：．
7．（3分）（2019•湘潭）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，若，则
A．B．C．D．
【分析】首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．
【解答】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，
而，
．
故选：．
8．（3分）（2019•湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件．若设小江每小时分拣个物件，则可列方程为
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）
9．（3分）（2019•湘潭）函数中，自变量的取值范围是 ．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
10．（3分）（2019•湘潭）若，，则 15 ．
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解答】解：，，
，
故答案为：15．
11．（3分）（2019•湘潭）为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为女生的概率是 ．
【分析】随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【解答】解：选出的恰为女生的概率为，
故答案为．
12．（3分）（2019•湘潭）计算： 4 ．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：，
故答案为：4．
13．（3分）（2019•湘潭）将一次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为 ．
【分析】根据“上加下减”的平移规律进行解答即可．
【解答】解：将正比例函数的图象向上平移2个单位后所得函数的解析式为，
故答案为：．
14．（3分）（2019•湘潭）四边形的内角和为 ．
【分析】根据边形的内角和是，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：．
故四边形的内角和为．
故答案为：．
15．（3分）（2019•湘潭）如图，在四边形中，若，则添加一个条件 ，能得到平行四边形．（不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可）
【分析】可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（3分）（2019•湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦矢矢．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径弦时，平分可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 10 平方米．
【分析】根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦矢矢即可得到结论．
【解答】解：弦米，半径弦，
，
，
，
弧田面积（弦矢矢，
故答案为：10．
三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）
17．（6分）（2019•湘潭）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②，，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
18．（6分）（2019•湘潭）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：
立方差公式：
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
19．（6分）（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点处垂直海面发射，当火箭到达点处时，海岸边处的雷达站测得点到点的距离为8千米，仰角为．火箭继续直线上升到达点处，此时海岸边处的雷达测得处的仰角增加，求此时火箭所在点处与发射站点处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：，
【分析】利用已知结合锐角三角函数关系得出的长．
【解答】解：如图所示：连接，由题意可得：，，，，
在直角中，．
在直角中，．
答：此时火箭所在点处与发射站点处的距离约为．
20．（6分）（2019•湘潭）每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“关心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对全体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集：抽取的20名师生测评分数如下
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90．
②数据整理：将收集的数据进行分组并评价等第：
③数据分析：绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
（1）统计表中的 7 ．
（2）心理测评等第等的师生人数所占扇形的圆心角度数为 ．
（3）学校决定对等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？
【分析】（1）根据组人数以及百分比求出总人数，再求出即可．
（2）根据圆心角百分比计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）总人数（人，，
故答案为7．
（2）所占的圆心角，
故答案为．
（3）（人，
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．
21．（6分）（2019•湘潭）如图，将沿着边翻折，得到，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）由折叠的性质得出，，，，由平行线的性质得出，得出，证出，，即可得出结论；
（2）连接交于，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）四边形是菱形；理由如下：
沿着边翻折，得到，
，，，，
，
，
，
，，
四边形是菱形；
（2）连接交于，如图所示：
四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形的面积．
22．（6分）（2019•湘潭）2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考；“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考
（1）“”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；（选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法）
（2）高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．
【分析】（1）利用树状图可得所有等可能结果；
（2）画树状图展示所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）画树状图如下，
由树状图知，共有12种等可能结果；
（2）画树状图如下
由树状图知，共有9种等可能结果，其中他们恰好都选中政治的只有1种结果，
所以他们恰好都选中政治的概率为．
23．（8分）（2019•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，与轴的正半轴交于、两点，与轴的正半轴相切于点，连接、，已知半径为2，，双曲线经过圆心．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求直线的解析式．
【分析】（1）先求出，再判断出四边形是矩形，得出，进而求出点的坐标，即可得出结论；
（2）先求出点的坐标，再用三角函数求出，进而求出点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，过点作轴于，
，
切轴于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
双曲线经过圆心，
，
双曲线的解析式为；
（2）如图，过点，作直线，
由（1）知，四边形是矩形，
，，
，
在中，，，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
24．（8分）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店、两种湘莲礼盒一个月的销售情况，种湘莲礼盒进价72元盒，售价120元盒，种湘莲礼盒进价40元盒，售价80元盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若种湘莲礼盒的售价和销量不变，当种湘莲礼盒降价多少元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，列二元一次方程组即可解题
（2）根据题意，可设种礼盒降价元盒，则种礼盒的销售量为：盒，再列出关系式即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设平均每天销售礼盒盒，种礼盒为盒，
则有，解得
故该店平均每天销售礼盒10盒，种礼盒为20盒．
（2）设种湘莲礼盒降价元盒，利润为元，依题意
总利润
化简得
当时，取得最大值为1307，
故当种湘莲礼盒降价9元盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
25．（10分）（2019•湘潭）如图一，抛物线过，、三点
（1）求该抛物线的解析式；
（2），、两点均在该抛物线上，若，求点横坐标的取值范围；
（3）如图二，过点作轴的平行线交抛物线于点，该抛物线的对称轴与轴交于点，连结、，点为线段的中点，点、分别为直线和上的动点，求周长的最小值．
【分析】（1）将三个点的坐标代入，求出、、，即可求出关系式；
（2）可以求出点关于对称轴的对称点的横坐标为：，根据函数的增减性，可以求出当时点横坐标的取值范围；
（3）由于点是的中点，可求出点的坐标，根据对称找出关于直线、的对称点，连接两个对称点的直线与、的交点、，此时三角形的周长最小，周长就等于这两个对称点之间的线段的长，根据坐标，和勾股定理可求．
【解答】解：（1）抛物线过，、三点
解得：，，；
抛物线的解析式为：．
（2）抛物线的对称轴为，抛物线上与相对称的点
，在该抛物线上，，根据抛物线的增减性得：
或
答：点横坐标的取值范围：或．
（3），，，
，，，
是的中点，
，
当点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，直线与、交点为、，此时的周长最小，周长为的长，由对称可得到：，，即点，
，
即：的周长最小值为3，
26．（10分）（2019•湘潭）如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．
（1）求的大小；
（2）问题探究：动点在运动的过程中，
①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．
②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
（3）问题解决：
如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．
【分析】（1）在中，求出的正切值即可解决问题．
（2）①分两种情形：当时，当时，分别求解即可．
②．利用四点共圆解决问题即可．
（3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）如图一（1）中，
四边形是矩形，
，
，
．
（2）①如图一（1）中，当时，
，，，
，
，
在中，，，
，
，，
是等边三角形，
，
．
如图一（2）中，当时，易证，
，
，，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为5或．
②结论：大小不变．
理由：如图一（1）中，，
，，，四点共圆，
．
如图一（2）中，，
，，，四点共圆，
，
，
，
综上所述，．
（3）如图二中，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
，，
．
分数
人数
5
5
2
1
等第
分数
人数
5
5
2
1
等第