2020-2021学年河南省郑州市高新区枫杨外国语中学八年级（上）期中数学试卷

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2020-2021学年河南省郑州市高新区枫杨外国语中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在实数，，，3.14中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；，是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数．
无理数有：，π共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（3分）△ABC的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）
【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和判断即可．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
解得∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项不符合题意；
B、∵a：b：c＝5：12：13，
设a＝5x，b＝12x，c＝13x，
∴a2+b2＝169x2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC是锐角三角形，
所以此选项符合题意；
D、∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a2＝b2﹣c2，
∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，
所以此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理是解本题的关键．
3．（3分）下列各等式中，正确的是（　　）
A．﹣＝﹣3 B．±＝3 C．（）2＝﹣3 D．＝±3
【分析】根据开方运算，可得一个数平方根、算术平方根．
【解答】解：A、﹣＝﹣3，故A正确；
B、3，故B错误；
C、被开方数是非负数，故C错误；
D、＝3，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，注意开平方的被开方数是非负数．
4．（3分）下列说法不正确的是（　　）
A．在x轴上的点的纵坐标为0
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1
C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限
D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限
【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，点的坐标到坐标轴的距离及各个象限内点的坐标符号特点逐一判断可得．
【解答】解：A．在x轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意；
B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意；
C．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选项不合题意；
D．﹣a2﹣1＜0，|b|≥0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|）在x轴或第二象限，故原说法错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）

A．9 B．6 C．4 D．3
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
6．（3分）若a、b为实数，且+﹣a＝3，则直线y＝ax+b不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次根式有意义的条件，可以求得b的值，然后即可得到a的值，从而可以得到直线y＝ax+b经过哪几个象限，不经过哪个象限，本题得以解决．
【解答】解：∵a、b为实数，且+﹣a＝3，
∴，
解得，b＝，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
∴直线y＝ax+b可以写成y＝﹣3x+，
∵直线y＝﹣3x+经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
∴直线y＝ax+b不经过的象限是第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，3x﹣2≥0，x﹣3≠0，
解得，x≥且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据正比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝﹣k的图象，得k＞0，k值相互矛盾，故A错误；
B、由函数y＝kx的图象，得k＜0，由y＝﹣k的图象，得k＜0，故B正确；
C、由函数y＝kx的图象，得k＞0，由y＝﹣k的图象，得k＜0，k值相矛盾，故C错误；
D、由函数y＝kx的图象的图象经过原点，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象，要掌握一次函数的性质才能灵活解题．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y＝﹣x+1上，则m的值为（　　）

A．4 B．2 C．1 D．0
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征和关于x轴对称的点的坐标的性质即可求解．
【解答】解：∵点A（2m，m）在第一象限，若点A关于x轴的对称点为点B，
∴B（2m，﹣m），
∵点B在直线y＝﹣x+1上，
∴﹣m＝﹣2m+1，
∴m＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和关于x轴对称的点的坐标的性质，解题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点．
10．（3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先证∠3＝∠2，再证明△OCE≌△AOD，得出对应边相等OE＝AD＝，CE＝OD＝1，即可得出结果．
【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，如图所示：则∠OEC＝∠ADO＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD＝，OD＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCE和△AOD中，，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD＝，CE＝OD＝1，
∴C（﹣，1），
故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）的平方根等于　±3　
【分析】利用平方根及算术平方根定义计算即可求出值．
【解答】解：＝9，9的平方根是±3，
故答案是：±3．
【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，注意：＝9不是±9
12．（3分）比较大小：　＜　．（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．
【解答】解：﹣
＝
＝
∵，
∴4，
∴，
∴﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出﹣的差的正、负．
13．（3分）如果直线l与直线y＝﹣2x+1平行，与直线y＝﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为　y＝﹣2x+3　．
【分析】设直线l的解析式为y＝kx+b，先根据两直线平行的问题得到k＝﹣2，再把y＝1代入y＝﹣x+2可确定直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），然后把（1，1）代入y＝﹣2x+b求出b即可．
【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，
∵直线l与直线y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2，
把y＝1代入y＝﹣x+2得﹣x+2＝1，解得x＝1，
∴直线l与直线y＝﹣x+2的交点坐标为（1，1），
把（1，1）代入y＝﹣2x+b得﹣2+b＝1，解得b＝3，
∴直线l的函数解析式为y＝﹣2x+3．
故答案为y＝﹣2x+3．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2；若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．
14．（3分）已知直线y＝ax+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一元一次方程ax+b＝0的解为　2　．

【分析】一元一次方程ax+b＝0的解，是一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标是2，
∴一元一次方程ax+b＝0的解是：x＝2．
故答案为2
【点评】本题表明，一元一次方程可利用一次函数的图象求解；求一次函数的图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程．即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解，充分体现了数形结合的思想．
15．（3分）在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是　　分米．

【分析】根据题意把图形的侧面展开，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：情形1：平面展开图所示，

AB＝＝13（分米）．
情形2：平面展开图如图所示：

AB＝＝（分米），
∵＜13，
答：它需要爬行的最短路径的长是分米．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短，在平面图形上构造直角三角形解决问题．
三.解答题（共6小题，满分55分）
16．（8分）计算：
（1）+﹣8；
（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质、负整数指数幂的性质、乘法公式分别计算得出答案．
【解答】解：（1）+﹣8
＝3﹣+×3﹣8×
＝3﹣+﹣
＝3﹣；

（2）（）﹣1﹣﹣﹣（﹣2）2
＝3﹣2﹣（﹣1）﹣（3+4﹣4）
＝3﹣2﹣+1﹣7+4
＝﹣3+．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（6分）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根的定义得出a，b，c的值；
（2）利用（1）中所求，代入求出答案．
【解答】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；

（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小以及算术平方根和立方根，正确把握相关定义是解题关键．
18．（7分）已知，△ABC的三个顶点坐标分别A（0，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）△ABC的面积是　4.5　；（每个小方格是边长为1的正方形）
（2）请画出△ABC关于y轴对称的图形；
（3）设点P在坐标轴上，且△OCP与△ABC的面积相等，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）利用分割法求解即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（3）分点P在y轴或x轴上，两种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC的面积＝3×4﹣×3×3﹣×1×2﹣×1×4＝4.5．
故答案为：4.5．

（2）如图，△A′B′C′即为所求作．


（3）当点P在y轴上时，设P（0，m），
由题意，×|m|×3＝4.5，
∴m＝±3，
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
当点P在x轴上时，设P（n，0），
由题意，×|m|×4＝4.5，
∴m＝±，
∴P（，0）或（﹣，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（，0）或（﹣，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．（10分）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：
（1）客车的速度是　60　千米/小时，出租车的速度是　100　千米小时；
（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式：　y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）　；
（3）求两车相遇的时间．
（4）x为何值时，两车相距100千米．

【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式进行计算即可得解；
（2）根据两函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（3）由两车相遇时路程之和＝600列出方程，求出即可；
（4）由两车相距100千米，可得|y1﹣y2|＝100，即可求解．
【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，
所以，客车速度＝600÷10＝60（km/h），
出租车速度＝600÷6＝100（km/h），
故答案为：60，100；
（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，
解得k1＝60，
所以，y1＝60x（0≤x≤10），
设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，
则，
解得，
所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6），
故答案为：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；
（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，
解得x＝．
所以两车相遇的时间为小时；
（4）由题意可得：|﹣100x+600﹣60x|＝100，
∴x＝或，
答：x为或时，两车相距100千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．（12分）直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且＝．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A是在第一象限内直线y＝kx﹣4上的一个动点，当它运动到什么位置时，△AOB的面积是12？
（3）若点A是直线y＝kx﹣4上的一个动点，设A（x，y），△AOB的面积为s，求s关于x的函数表达式，并写出x的取值范围．

【分析】（1）根据题意求出点C的坐标和点B的坐标，运用待定系数法求出k的值；
（2）根据三角形的面积公式求出点A的纵坐标，根据函数解析式求出点A的坐标；
（3）由题意A（x，x﹣4），分两种情形：当x＞3时，当x＜3时，分别利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）y＝kx﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
∴OC＝4，
又∵＝，
∴OB＝3，即点B的坐标为（3，0），
∴3k﹣4＝0，
解得，k＝．

（2）如图1中，作AD⊥OB于D，
由题意得，×OB×AD＝12，
解得，AD＝8，即点A的纵坐标为8，
∴x﹣4＝8，
解得，x＝9，
∴当点A运动到（9，8）时，△AOB的面积是12．

（3）由题意A（x，x﹣4）．
当x＞3时，S＝×3×（x﹣4）＝2x﹣6．
当x＜3时．S＝×3×（4﹣x）＝﹣2x+6，
综上所述，S＝．

【点评】本题属于一次函数知识的综合运用，掌握坐标与图形的性质、一次函数图象上的坐标特点、等腰三角形的判定和性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
21．（12分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2cm/s，它们同时出发，设运动的时间为ts．
（1）当t＝2时，PQ＝　2cm　．
（2）求运动几秒时，△APC是等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）

【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）根据等腰三角形、直角三角形的勾股定理，列方程求解即可；
（3）分三种情况，即QC＝QB，CB＝CQ，BC＝BQ，分别求出点Q运动的距离，进而计算出时间．
【解答】解：（1）当t＝2时，则AP＝2，BQ＝2t＝4，
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ＝＝＝2（cm），
即PQ的长为2cm．
故答案是：2cm；

（2）如图1，当PC＝PA时，△APC是等腰三角形，
此时PA＝t＝PC，则PB＝8﹣t，
在Rt△ABP中，由BC2+PB2＝PC2得，
62+（8﹣t）2＝t2，
解得，t＝，
答：运动秒时，△APC是等腰三角形；
（3）①如图2，作BC的中垂线，交AC于点Q，此时QC＝QB，
则MC＝MB＝BC＝3cm，MQ＝AB＝4cm，
∴QC＝＝5（cm），
因此点Q运动的距离为6+5＝11（cm），
故需要的时间t＝11÷2＝5.5（s），
②如图3，以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AC于点Q，则CB＝CQ＝6，
此时点Q运动的距离为6+6＝12（cm），
因此需要的时间为12÷2＝6（s）；
③如图4，以点B为圆心，以CB为半径画弧，交AC于点Q，则BC＝BQ＝6cm，
过点B作BN⊥AC，垂足为N，则，CN＝NQ，
∵∠BNC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，
∴△BNC∽△ABC，
∴＝，
即：＝，
解得，CN＝3.6，
∴CQ＝2CN＝7.2cm，
此时点Q运动的距离为6+7.2＝13.2（cm），
因此需要的时间为13.2÷2＝6.6（s）；
综上所述，当运动时间为5.5秒、6秒、6.6秒时，△BCQ成为等腰三角形．