还剩20页未读，
继续阅读
2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级（上）期中数学试卷 解析版
展开
这是一份2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2
2．（3分）已知2a＝3b，且a≠0，则＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
3．（3分）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．2C．2D．4
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为
B．50个人中一定有两人生日相同
C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为
D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1
5．（3分）已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．60°或50°
6．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
7．（3分）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
8．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82
9．（3分）如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．＝C．AB2＝AD•ACD．＝
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（ ）
A．2+B．2+2C．4+2D．4+4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝ ．
12．（3分）如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝ ．
13．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ．
14．（3分）某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x元，可列方程为 ．（不需要化简）
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（8分）解方程
（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；
（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．
17．（9分）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．
19．（9分）从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为 ．
（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？
20．（9分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
21．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；
（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．
22．（10分）如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
23．（11分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．
（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝ ；
（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；
（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．
2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【解答】解：一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式可得：3x2﹣2x+4＝0，
∴二次项系数、一次项系数分别为：3，﹣2．
故选：A．
2．（3分）已知2a＝3b，且a≠0，则＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据比例的性质直接解答即可．
【解答】解：∵2a＝3b，且a≠0，
∴＝．
故选：A．
3．（3分）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【解答】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，
∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为
B．50个人中一定有两人生日相同
C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为
D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1
【分析】利用概率的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：A． 某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的频率为，不是概率为，由于实验次数少，不能确定正面朝上的概率，所以选项A不符合题意；
B． 50个人中不一定有两人生日相同，也可能这50人的生日均不相同，因此选项B不符合题意；
C． 甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率不一定是，因此选项C不符合题意；
D． 根据“抽屉”原理可知，13个人中一定有两人的生肖相同，因此选项D符合题意，
故选：D．
5．（3分）已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．60°或50°
【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠C的度数，根相似三角形的对应角相等即可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，
∴∠F＝∠C＝50°；
故选：B．
6．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【分析】根据菱形的性质和30度角所对直角边等于斜边一半可得CE＝AD，再根据菱形面积即可得菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB∥CD，
∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝DC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝ADAD＝AD2＝4，
∴AD＝2（负值舍去），
则菱形的边长为2．
故选：A．
7．（3分）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】利用新定义得到x2+2kx﹣k2﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得x2+2kx﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82
【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣0.618x＝1.58，然后解方程即可．
【解答】解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，
∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．
故选：A．
9．（3分）如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．＝C．AB2＝AD•ACD．＝
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵AB2＝AD•AC，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（ ）
A．2+B．2+2C．4+2D．4+4
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，
∴BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，
∵BD＝CD，
∴AD＝DB＝DC＝2，
由作图可知，四边形ADBE是菱形，
∴中点四边形GHIJ是矩形，
∵AD＝AC＝DC，
∴∠ADC＝60°，
∵AE∥DB，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，
∵AE＝AD，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝DE＝2，
∵AJ＝JE，AI＝ID，
∴IJ＝DE＝1，
∵BH＝DH，AI＝ID，
∴IH＝AB＝，
∴四边形GHIJ的周长＝2（1+）＝2+2，
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+x﹣2＝0的一个根为1，
∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0，
∴a+1﹣2＝0，
解得，a＝1；
故答案是：1．
12．（3分）如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝ 2 ．
【分析】证明ADE∽△ABC，则利用相似比得到AE＝AC＝3，然后计算AC﹣AE即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AE＝AC＝×5＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
故答案为2．
13．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ．
【分析】先画出树状图，共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，
∴两次取出的都是红球的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x元，可列方程为 （2﹣x）（100+80×）＝270 ．（不需要化简）
【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，
依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．
故答案为：（2﹣x）（100+80×）＝270．
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，
∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，
∴∠FAH＝45°，FN＝FH，
∵FH⊥AD，
∴∠FAH＝∠AFH＝45°，
∴AH＝FH，
∴AF＝FH＝，
∴FH＝AH＝1，
∴FN＝FH＝1，
∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，
∴BE＝1，
∴EC＝＝＝，
∵将线段EC绕点E旋转，
∴EC＝EF，
在Rt△NFE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），
∴∠BCE＝∠NEF，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC+∠NEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴CF＝EC＝，
∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，
∴△FHG∽△CDG，
∴＝，
∴FG＝FC＝．
三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（8分）解方程
（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；
（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为2x2﹣4x＝1，即x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）原方程可化为（x﹣1）2+3﹣3x＝0，即（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
提取公因式，得（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或（x﹣1﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝4．
17．（9分）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？
【分析】分两种情况利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则由题意得：AD＝tcm，AE＝（8﹣2t）cm，
当△ADE∽△ABC时，
∴，
即，
解得：t＝2.4，
当△ADE∽△ACB时，
∴，
即，
解得：t＝，
∴经过2.4秒或秒．△ADE与△ABC相似．
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到Δ＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＞0，然后解不等式确定m的取值范围；
（2）把x＝1是方程的一个根，代入方程求得m+m2+1＝0，解得m的值，代入求得答案即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＝﹣2m﹣3＞0，
∴m＜﹣；
（2）∵方程有一根为1，
将x＝1代入原方程中，得m+m2+1＝0，
解这个方程，得m1＝m2＝﹣2，
把m＝﹣2代入原方程中，得x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
即方程的另一根为2．
19．（9分）从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为 ．
（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）先列表，共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）选择地理的概率为，
故答案为：；
（2）把化学、生物、思想政治、地理分别记为A、B、C、D，列表如下：
共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，
∴小王选择合适科目的概率为＝．
20．（9分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BD，
∴＝＝，
∵FG∥AC，
∴＝＝，
∵BG＝4，
∴CG＝6．
（2）∵CD＝2，CG＝6，
∴DG＝CG﹣CD＝4，
∵BG＝4，
∴BD＝BG+DG＝8，
∵＝，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝
21．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；
（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．
【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE是矩形；
（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD长，由四边形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，根据勾股定理可得AO+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．
【解答】解：（1）四边形AODE是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DO⊥AO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，
∵点G是矩形AODE对角线AD的中点，
∴EG＝AD＝，
∴AD＝5，
∵四边形AODE的面积为12，
∴AO•OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得
AO2+OD2＝AD2＝25，
∴（AO+OD）2＝AO2+2AO•OD+OD2＝25+24＝49，
∴AO+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为14．
22．（10分）如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
【分析】（1）把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解；
（2）结合（1）求出每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），进而可得结论．
【解答】解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为3x米和4x米，由题意有
（80﹣4x）（60﹣2×3x）＝3456，
解得x1＝28（舍去），x2＝2．
答：水平道路的宽为6米，铅直道路的宽为8米．
（2）每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），
每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），
∴将水平道路改为铅直道路，也能保证剩余空地面积为3456平方米．
23．（11分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．
（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝ 1 ；
（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；
（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．
【分析】（1）证明△APE∽△ABC，得到，进而证明△BAP∽△CAE，即可求解；
（2）由（1）知，，即可求解；
（3）证明AD⊥EF，由△BAP∽△CAE得到＝，由菱形ABCD的面积求出AO＝，进而求解．
【解答】解：（1）连接AC，则△ABC为等腰三角形，BA＝BC，
∵△APE为等腰三角形，且∠APE＝∠ABC，
∵AP＝PE，
∴∠EAP＝∠CAB，
∴△APE∽△ABC，
∴，
∵∠EAP＝∠BAC，
∴∠EAP＝∠PAC＝∠BAC＝∠PAC，
即∠CAE＝∠BAP，
在△BAP和△CAE中，
∵，∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP∽△CAE，
∴，
故答案为1；
（2）由（1）知，，
而＝k（k≠1），
故＝k；
（3）连接AO交BD于点O，设CE交AD于点F，
∵＝，BP＝6，
由（1）知＝＝，故CE＝4，
四边形ABCD为菱形，则∠DAC＝∠BAC，
由△BAP∽△CAE得，∠ABP＝∠ACF，
∵∠BAC+∠ABP＝90°，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，即AD⊥EF，
∵△BAP∽△CAE，
∴＝（三角形相似高的比等于相似比），
设AB＝3x，则AC＝2x，AO＝x，
则BO＝＝2x，
则菱形ABCD的面积＝×AC•BD＝2AO•BO＝2x•2x＝8，
解得x＝，
故AO＝x＝，
而＝，故AF＝，则DF＝AD﹣AF＝AB﹣AF＝3﹣＝，
故△DCE的面积＝CE•DF＝×4×＝．
1．（3分）已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2
2．（3分）已知2a＝3b，且a≠0，则＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
3．（3分）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．2C．2D．4
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为
B．50个人中一定有两人生日相同
C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为
D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1
5．（3分）已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．60°或50°
6．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
7．（3分）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
8．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82
9．（3分）如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．＝C．AB2＝AD•ACD．＝
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（ ）
A．2+B．2+2C．4+2D．4+4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝ ．
12．（3分）如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝ ．
13．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ．
14．（3分）某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x元，可列方程为 ．（不需要化简）
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（8分）解方程
（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；
（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．
17．（9分）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．
19．（9分）从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为 ．
（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？
20．（9分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
21．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；
（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．
22．（10分）如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
23．（11分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．
（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝ ；
（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；
（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．
2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2
【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．
【解答】解：一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式可得：3x2﹣2x+4＝0，
∴二次项系数、一次项系数分别为：3，﹣2．
故选：A．
2．（3分）已知2a＝3b，且a≠0，则＝（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据比例的性质直接解答即可．
【解答】解：∵2a＝3b，且a≠0，
∴＝．
故选：A．
3．（3分）如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．2C．2D．4
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．
【解答】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，
∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为
B．50个人中一定有两人生日相同
C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为
D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1
【分析】利用概率的意义逐项进行判断即可．
【解答】解：A． 某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的频率为，不是概率为，由于实验次数少，不能确定正面朝上的概率，所以选项A不符合题意；
B． 50个人中不一定有两人生日相同，也可能这50人的生日均不相同，因此选项B不符合题意；
C． 甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率不一定是，因此选项C不符合题意；
D． 根据“抽屉”原理可知，13个人中一定有两人的生肖相同，因此选项D符合题意，
故选：D．
5．（3分）已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（ ）
A．60°B．50°C．70°D．60°或50°
【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠C的度数，根相似三角形的对应角相等即可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，
∴∠F＝∠C＝50°；
故选：B．
6．（3分）如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【分析】根据菱形的性质和30度角所对直角边等于斜边一半可得CE＝AD，再根据菱形面积即可得菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AB∥CD，
∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴CE＝DC＝，
∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝ADAD＝AD2＝4，
∴AD＝2（负值舍去），
则菱形的边长为2．
故选：A．
7．（3分）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】利用新定义得到x2+2kx﹣k2﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得x2+2kx﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8k2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．（3分）某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．
A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82
【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣0.618x＝1.58，然后解方程即可．
【解答】解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，
∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，
即该车车身总长约为4.14米．
故选：A．
9．（3分）如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．＝C．AB2＝AD•ACD．＝
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：∵AB2＝AD•AC，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ADB∽△ABC，
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（ ）
A．2+B．2+2C．4+2D．4+4
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，
∴BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，
∵BD＝CD，
∴AD＝DB＝DC＝2，
由作图可知，四边形ADBE是菱形，
∴中点四边形GHIJ是矩形，
∵AD＝AC＝DC，
∴∠ADC＝60°，
∵AE∥DB，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，
∵AE＝AD，
∴△AED是等边三角形，
∴AD＝DE＝2，
∵AJ＝JE，AI＝ID，
∴IJ＝DE＝1，
∵BH＝DH，AI＝ID，
∴IH＝AB＝，
∴四边形GHIJ的周长＝2（1+）＝2+2，
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.
11．（3分）一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+x﹣2＝0的一个根为1，
∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0，
∴a+1﹣2＝0，
解得，a＝1；
故答案是：1．
12．（3分）如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝ 2 ．
【分析】证明ADE∽△ABC，则利用相似比得到AE＝AC＝3，然后计算AC﹣AE即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AE＝AC＝×5＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．
故答案为2．
13．（3分）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是 ．
【分析】先画出树状图，共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，
∴两次取出的都是红球的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x元，可列方程为 （2﹣x）（100+80×）＝270 ．（不需要化简）
【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，
依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．
故答案为：（2﹣x）（100+80×）＝270．
15．（3分）已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为 ．
【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．
【解答】解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，
∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，
∴∠FAH＝45°，FN＝FH，
∵FH⊥AD，
∴∠FAH＝∠AFH＝45°，
∴AH＝FH，
∴AF＝FH＝，
∴FH＝AH＝1，
∴FN＝FH＝1，
∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，
∴BE＝1，
∴EC＝＝＝，
∵将线段EC绕点E旋转，
∴EC＝EF，
在Rt△NFE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），
∴∠BCE＝∠NEF，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠BEC+∠NEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴CF＝EC＝，
∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，
∴△FHG∽△CDG，
∴＝，
∴FG＝FC＝．
三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（8分）解方程
（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；
（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原方程可化为2x2﹣4x＝1，即x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）原方程可化为（x﹣1）2+3﹣3x＝0，即（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，
提取公因式，得（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或（x﹣1﹣3）＝0，
解得x1＝1，x2＝4．
17．（9分）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？
【分析】分两种情况利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则由题意得：AD＝tcm，AE＝（8﹣2t）cm，
当△ADE∽△ABC时，
∴，
即，
解得：t＝2.4，
当△ADE∽△ACB时，
∴，
即，
解得：t＝，
∴经过2.4秒或秒．△ADE与△ABC相似．
18．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．
（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；
（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到Δ＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＞0，然后解不等式确定m的取值范围；
（2）把x＝1是方程的一个根，代入方程求得m+m2+1＝0，解得m的值，代入求得答案即可．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＝﹣2m﹣3＞0，
∴m＜﹣；
（2）∵方程有一根为1，
将x＝1代入原方程中，得m+m2+1＝0，
解这个方程，得m1＝m2＝﹣2，
把m＝﹣2代入原方程中，得x2﹣3x+2＝0，
解得x1＝1，x2＝2，
即方程的另一根为2．
19．（9分）从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．
（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为 ．
（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？
【分析】（1）由概率公式即可得出答案；
（2）先列表，共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，然后由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）选择地理的概率为，
故答案为：；
（2）把化学、生物、思想政治、地理分别记为A、B、C、D，列表如下：
共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，
∴小王选择合适科目的概率为＝．
20．（9分）如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．
（1）求CG的长；
（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．
（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．
【解答】解：（1）∵EF∥BD，
∴＝＝，
∵FG∥AC，
∴＝＝，
∵BG＝4，
∴CG＝6．
（2）∵CD＝2，CG＝6，
∴DG＝CG﹣CD＝4，
∵BG＝4，
∴BD＝BG+DG＝8，
∵＝，
∴＝，
∵EF∥BD，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝
21．（10分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．
（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；
（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．
【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE是矩形；
（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD长，由四边形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，根据勾股定理可得AO+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．
【解答】解：（1）四边形AODE是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∵EA⊥AO，DO⊥AO，
∴∠EAO＝∠DOA＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，
∴∠AED＝90°，
∵点G是矩形AODE对角线AD的中点，
∴EG＝AD＝，
∴AD＝5，
∵四边形AODE的面积为12，
∴AO•OD＝12，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得
AO2+OD2＝AD2＝25，
∴（AO+OD）2＝AO2+2AO•OD+OD2＝25+24＝49，
∴AO+OD＝7，
∴四边形AODE的周长为14．
22．（10分）如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
【分析】（1）把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解；
（2）结合（1）求出每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），进而可得结论．
【解答】解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为3x米和4x米，由题意有
（80﹣4x）（60﹣2×3x）＝3456，
解得x1＝28（舍去），x2＝2．
答：水平道路的宽为6米，铅直道路的宽为8米．
（2）每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），
每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），
∴将水平道路改为铅直道路，也能保证剩余空地面积为3456平方米．
23．（11分）如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．
（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝ 1 ；
（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；
（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．
【分析】（1）证明△APE∽△ABC，得到，进而证明△BAP∽△CAE，即可求解；
（2）由（1）知，，即可求解；
（3）证明AD⊥EF，由△BAP∽△CAE得到＝，由菱形ABCD的面积求出AO＝，进而求解．
【解答】解：（1）连接AC，则△ABC为等腰三角形，BA＝BC，
∵△APE为等腰三角形，且∠APE＝∠ABC，
∵AP＝PE，
∴∠EAP＝∠CAB，
∴△APE∽△ABC，
∴，
∵∠EAP＝∠BAC，
∴∠EAP＝∠PAC＝∠BAC＝∠PAC，
即∠CAE＝∠BAP，
在△BAP和△CAE中，
∵，∠BAP＝∠CAE，
∴△BAP∽△CAE，
∴，
故答案为1；
（2）由（1）知，，
而＝k（k≠1），
故＝k；
（3）连接AO交BD于点O，设CE交AD于点F，
∵＝，BP＝6，
由（1）知＝＝，故CE＝4，
四边形ABCD为菱形，则∠DAC＝∠BAC，
由△BAP∽△CAE得，∠ABP＝∠ACF，
∵∠BAC+∠ABP＝90°，
∴∠DAC+∠ACE＝90°，即AD⊥EF，
∵△BAP∽△CAE，
∴＝（三角形相似高的比等于相似比），
设AB＝3x，则AC＝2x，AO＝x，
则BO＝＝2x，
则菱形ABCD的面积＝×AC•BD＝2AO•BO＝2x•2x＝8，
解得x＝，
故AO＝x＝，
而＝，故AF＝，则DF＝AD﹣AF＝AB﹣AF＝3﹣＝，
故△DCE的面积＝CE•DF＝×4×＝．
相关试卷
2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年河南省郑州市新郑市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省郑州市新郑市苑陵中学九年级（上）第一次调研数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年河南省郑州市新郑市苑陵中学九年级（上）第一次调研数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
