云南省昆明市第一中学2021-2022学年高三上学期第三次双基检测理科数学试题

昆明一中2022届高三第三期联考

参考答案（理数）

命题、审题组教师   杨昆华 张波 杨仕华 张兴虎 王海泉 卢碧如 江明 丁茵 易效荣 杨耕耘 李建民

一、选择题 

1. 解析：由题意，则，选B．

2. 解析：由于，则，选A．

3. 解析：设球的半径为，由球的体积公式，所以．由于，，所以与最为接近，选B .

3. 解析：由三视图得几何体为四棱锥（如图），选C. 

4. 解析：，选B .

5. 解析：的通项公式为，当时，的系数为；当时，的系数为；综上的系数为，选A .

6. 解析：由题意，，由于圆半径为，则圆心到直线的距离，得，，选C．

7. 解析：因为，所以是奇函数，排除C、D，又当时，，且，排除B，选A.

8. 解析：，选D .

9. 解析：由解得，所以，，又因为，即，解得，所以三角形是等边三角形，选A .

10. 解析：由等边三角形面积为解得边，△外接圆直径，又因为△是等腰三角形，所以，球半径，，选D .

11. 解析：设，则，又

，，所以，所以在上单调递减，因为

，所以，得，选D .

12. 解析：设，则，设，则，，根据对称性，在中，为的平分线，所以内切圆的圆心一定在上，①错；又，所以，所以成立，②正确；由余弦定理得

，所以，得离心率，所以③错误，④正确，选C .

二、填空题

13. 解析：因为，所以 ，即，

所以 所以.

14. 解析：，因为，所以，，因此，所以 的解集是.

15. 解析：由及，解得，，，所以函数在上的所有零点的和为.

16. 解析：因为所在的直线与直线垂直，所以设：，的中点，联立得，设，，则有

，所以，，得，将代入抛物线方程中得，所以或，所以或，因为点在直线上，所以得或，所以实数或.

三、解答题

（一）必考题

17.解：(1)当时，由已知，得，

所以是以为首项，为公差的等差数列.    

所以()，所以，

所以.                 ………6分

(2)令，，

因为，，

由二次函数与指数函数的不同增长模型可得：时，，

所以正整数的最小值为.                             ………12分

18．解：（1）设中位数为，则，

         ………6分

（2）根据题意可得，在，，，上抽取的人数分别为，， ，，则，，，

，   

,   ,

                       ………12分

19．（1）证明：因为圆所在的平面，所以平面，

而平面，所以，

又因为是圆的直径，为圆周上一点，所以，

所以平面，又平面，所以，

又因为，所以平面，又平面，

所以，

又在直角三角形中，，所以,

又，所以，

所以为的中点，所以．………6分

（2）依题意，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设，则

，，，， ，，

由（1）知平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，

则因为，，

所以，令 ，

所以，所以，

所以二面角的正切值为.………12分

20. 解：（1）设，，则，

因为，在椭圆上，所以，两式作差：，

整理得：，故，又因为，

所以，，故椭圆的方程为；                ………4分

（2）设直线的方程为，与椭圆：联立得：

，整理得：，，

故，则，

因为点恰为△的重心，故点坐标为，即

因为点在椭圆上，所以，解得，

则，

而，，

故；

故.  ………12分

21. 解：（1）由，得，

，，所以，，

切线方程为,所以，

所以，则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．  ………6分

（2）令,，，,

1．当时，，所以在上单调递增，

所以，即符合题意；

2．当时，设，，

①当，，，

所以在上单调递增，，

所以在上单调递增，则，所以符合题意；

②当时，，，所以在上递增，

在上递减，，所以当，，

所以在上单调递减，，所以，，舍去.

综上：.                          ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解：（1）曲线：的普通方程为，经过伸缩变换 后得到曲线，化成极坐标方程为. …………5分

（2）设点到直线的距离为，，因为，所以，

所以，

因为△的面积，

所以.………10分

23. 解：（1），

因为，所以.因为，，为正实数，所以

所以.………5分

（2）由柯西不等式可得，

又因为，所以，等号当且仅当时成立.………10分