人教A版一轮复习专题01 帮你做好离心率的题目（解析版）

这是一份人教A版一轮复习专题01 帮你做好离心率的题目（解析版），共6页。试卷主要包含了直接求出，构造，构建关于的不等式，求的取值范围等内容，欢迎下载使用。

注椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出、，求解
已知圆锥曲线的标准方程或易求时，可利用率心率公式来解决。也可用变形形式，在椭圆中；在双曲线中。
例1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
答案：A
解法1：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
解法2：由渐近线方程可得，。故选A
变式.设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）
A B C D
答案：B
解析：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。
例2．已知双曲线 ，若焦点关于直线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B2 C. D.3
分析：解法1：由几何图形找到a,b,c的关系。解法2：表示出F的对称点的坐标，代入另一条渐近线方程得到关于a,b,c的方程。
解法1（几何法）：如图设两条渐近线及x轴间的夹角分别为∠1，∠2,∠3.
则，
。
解法2（代数法）：设F的对称点M的坐标为，则，解得
。将代入得，，化简得，
，。
点评：解法1（几何法）方法简单，但思路不好想；解法2（代数法）思路自然，但运算较繁。我们应首先考虑用几何法，不行时再考虑用代数法。
变式．【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
分析：表示出对称点的坐标，代入圆的方程得到关于a,b,c的方程。
解法1（代数法）：设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率。
分析：利用几何性质得到关于a,b,c的方程。
解法2（几何法）：设椭圆的左焦点为，∥OP, = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③，由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③得。
二、构造、的齐次等式，解出
根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。
例3. 设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3)＋1,2) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
答案：D 。
解析：设F(－c,0) B(0，b)则KFB＝eq \f(b,c)，与直线FB垂直的渐近线方程为
y＝－eq \f(b,a)x，∴eq \f(b,c) ＝eq \f(a,b)，即b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴有c2－a2＝ac，两边同除以a2得
e2－e－1＝0∴e＝eq \f(1±\r(5),2)，∵e＞1，∴e＝eq \f(1＋\r(5),2)，选D.
变式.设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ∴,两边平方，得，整理得，得或，又 ，
∴，∴，∴，故选A
三、构建关于的不等式，求的取值范围
例4．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A B C D
答案：C
解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C
变式. 已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案： eq \f(5,3)
解析：由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝eq \f(8,3)a，|PF2|＝eq \f(2,3)a.
在△PF1F2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝eq \f(\f(64,9)a2＋\f(4,9)a2－4c2,2·\f(8,3)a·\f(2,3)a)＝eq \f(17,8)－eq \f(9,8)e2.
要求e的最大值，即求cs∠F1PF2的最小值，∴当cs∠F1PF2＝－1时，得e＝eq \f(5,3)，
即e的最大值为eq \f(5,3).
小试牛刀
1．如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D
1.C 由题设，，则，，因此选C.
2.双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
2.B 如图所示，不妨设，，，
则，又，
在中， 由余弦定理，得,
即，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故选B
3.如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
3..D 解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。
4.已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
4.D 如图，连接,则,在直角⊿中，
。由双曲线的定义知，。
5．设双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝eq \f(5,12)，求a的值．
5.解:(1)由C和l相交于两个不同的点，知方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－y2＝1,x＋y＝1))有两个不同的实数解．消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①.所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a2≠0,4a4＋8a2(1－a2)>0))，解得0双曲线的离心率e＝eq \f(\r(1＋a2),a)＝eq \r(\f(1,a2)＋1).∵0eq \f(\r(6),2)且e≠eq \r(2)，
即离心率e的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\r(2)))∪(eq \r(2)，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵＝eq \f(5,12)，∴(x1，y1－1)＝eq \f(5,12)(x2，y2－1)．
由此得x1＝eq \f(5,12)x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴eq \f(17,12)x2＝－eq \f(2a2,1－a2)，eq \f(5,12)xeq \\al(2,2)＝－eq \f(2a2,1－a2).
消去x2，得－eq \f(2a2,1－a2)＝eq \f(289,60).又∵a>0，∴a＝eq \f(17,13).