专题04 求轨迹方程的三种重要方法（原卷版）

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一般法
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为，轨迹方程就是之间的等式，关键是找到等量关系，然后用表示。推导圆、圆锥曲线等的标准方程都用了这种方法。
例1. 点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
变式.已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线被C所截得的线段的长为8，求直线的方程．
二、相关点代入法
例2.已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点．
(1)求点P(x，y)的轨迹方程；
(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．
变式．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，求动点Q的轨迹方程．
三、定义法
例3．已知点A(－eq \f(1,2)，0)，B是圆F：(x－eq \f(1,2)) 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．
变式．如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的轨迹方程．
小试牛刀
1．动点P到两定点A(－3,0)、B(3,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．
2与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.
3.点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点的轨迹方程.
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点的轨迹方程.
4．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
5.
如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．
6．已知点A(0，eq \r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq \r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．