高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数学案

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第三章 三角函数、解三角形第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．(2)角α的弧度数公式：|α|＝．(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad，1°＝ rad，1 rad＝()°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝l·r＝α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α，cos(α＋k·2π)＝cos__α，tan(α＋k·2π)＝tan__α(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.[四基自测]1．(基础点：弧长公式)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)A．10π　　　　　　　　　 B．9πC.  D．答案：D2．(易错点：终边相同的角的概念)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ－45°(k∈Z)　　　B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)  D．kπ＋(k∈Z)答案：C3．(基础点：象限符号)若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限答案：C4．(基础点：三角函数定义)已知角α的终边过点(－4，3)，则cos α＋sin α＝________．答案：－授课提示：对应学生用书第51页考点一　终边相同的角及象限角挖掘1　求写终边相同的角或区域角/ 自主练透[例1]　(1)(2020·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________．[解析]　因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°.[答案]　150°(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分)．[解析]　①射线y＝x表示α＝的终边，y轴上半轴表示β＝的终边，其区域角为{α|2kπ＋≤α≤＋2kπ，k∈Z}．②x轴正半轴表示α＝0的终边，其区域角为{α|kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}．③{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}．④{α|－＋kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}．[破题技法]　1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．挖掘2　已知角α的象限，求分角的象限/ 自主练透[例2]　已知sin α＞0，cos α＜0，则α所在的象限是(　　)A．第一象限　　　　　　 B．第三象限C．第一或第三象限  D．第二或第四象限[解析]　因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，故选C.[答案]　C[破题技法]　象限角的两种判断方法(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[拓展]　求或nθ(n∈N＋)所在象限的方法(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N＋)所在的象限．考点二　扇形弧长、面积公式的应用挖掘　求扇形的弧长、面积、圆心角、半径/ 自主练透[例]　(1)(2020·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为(　　)A．120平方步　　　　　　　 B．240平方步C．360平方步  D．480平方步[解析]　由题意可得：S＝×8×30＝120(平方步)．[答案]　A(2)(2020·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2  B．sin 2C.  D．2 sin 1[解析]　如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，从而弧AB的长为l＝α·r＝.[答案]　C(3)(2020·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．[解析]　设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为R，因此该圆心角的弧度数是α＝＝＝.[答案]　(4)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为________时，扇形面积最大，最大值为________．[解析]　由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25.[答案]　5　25[破题技法]　应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．考点三　三角函数的定义挖掘1　用三角函数的定义求值/ 互动探究[例1]　(1)(2020·大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．[解析]　∵cos α＝＝＝－，∴解得x＝.[答案]　(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为________．[解析]　设α终边上任一点为P(k，－3k)，则r＝＝|k|.当k＞0时，r＝k，∴sin α＝＝－，＝＝，∴10sin α＋＝－3＋3＝0；当k＜0时，r＝－k，∴sin α＝＝，＝＝－，∴10sin α＋＝3－3＝0.[答案]　0[破题技法]　1.利用角α终边上一点的坐标求三角函数值，由于点P象限不定，故讨论象限位置．2．已知角α的终边求三角函数值，其关键点为：(1)已知角α终边上点P的坐标①求P到原点的距离．②利用三角函数定义求解．(2)已知角α终边所在的直线方程①根据象限位置，设出α的终边上点P的坐标．②利用三角函数定义求解．挖掘2　三角函数值符号的判断/ 自主练透[例2]　(1)(2020·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)A．小于0　　　　　　 　　 B．大于0C．等于0  D．不存在[解析]　∵<2<3<π<4<π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.∴sin 2·cos 3·tan 4<0.[答案]　A(2)已知点P(cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在(　　)A．第一象限  B．第二象限C．第三象限  D．第四象限[解析]　由题意可得则所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案]　B[破题技法]　判断三角函数值符号的关键点(1)确定α的终边所在的象限位置．(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．考点四　三角函数线的应用[例]　(1)(2020·石家庄模拟)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是(　　)A．sin α<tan α<cos α　　 B．cos α<sin α<tan αC．sin α<cos α<tan α  D．tan α<sin α<cos α[解析]　如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sin α<cos α<tan α.[答案]　C (2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P所在的圆弧是(　　)A.   B.C.  D．[解析]　由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在上，tan α＞sin α，不满足；在上，tan α＞sin α，不满足；在上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足；在上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足．[答案]　C(3)y＝ 的定义域为________． [解析]　∵sin x≥，作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.[答案]　[破题技法]　1.利用三角函数线可求特殊角的三角函数值如sin 0＝MP＝0，cos 0＝OM＝1，tan 0＝0.sin＝MP＝1，cos＝OM＝0.sin π＝MP＝0，cos π＝OM＝－1.2．判断三角函数值符号如：若α在第一象限，sin α＝MP与y轴方向一致，为正；cos α＝OM与x轴方向一致，为正；若α在第二象限，sin α＝MP与y轴方向一致，为正；cos α＝OM与x轴方向相反，为负．3．研究三角函数定义域如sin α，cos α不论α终边在何处，MP、OM都有意义，故α∈R；而tan α，当α＝±时，作不出正切线，故α≠＋kπ(k∈Z)．若α∈(0，)，tan α、sin α及α的大小如何？答案：tan α＞α＞sin α