高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.4函数y＝Asinωx＋φ的图像性质及模型应用学案

这是一份高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.4函数y＝Asinωx＋φ的图像性质及模型应用学案，共9页。
第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质及模型应用授课提示：对应学生用书第60页[基础梳理]1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(1)列表：X＝ωx＋φ0π2πx－－－－－sin X010－10y0A0－A0(2)描点：，，，，．(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期内的图像．2．由函数y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤12个小环节构成6条路线：(以③⑨⑫线路为例)③把y＝sin x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y＝sin(x＋φ)的图像；⑨再把所得图像上的所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝sin(ωx＋φ)；⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，横坐标不变，就得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像．3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ1．平移变换的两种单位长度由y＝sin x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．2．y＝Asin(ωx＋φ)＋b与最值的关系A＝，b＝.[四基自测]1．(基础点：三角函数模型)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相、周期分别是(　　)A.，　　　　　　　 B.，C.，  D．，答案：A2．(易错点：平移变换)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为(　　)A．x＝－(k∈Z)B．x＝＋(k∈Z)C．x＝－(k∈Z)D．x＝＋(k∈Z)答案：B3．(基础点：由变换得解析式)把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移个单位，得到的函数图像的解析式是(　　)A．y＝cos 2x  B．y＝－sin 2xC．y＝sin  D．y＝sin答案：A4．(基础点：求变换单位)由曲线C1：y＝cos x，向左平移__________个单位长度，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C2：y＝cos.答案：π　授课提示：对应学生用书第61页考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换挖掘1　图像变换/ 自主练透[例1]　(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2[解析]　易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2，故选D.[答案]　D(2)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图像，只需将y＝f(x)的图像(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度[解析]　因为T＝π，故ω＝＝2，因此g(x)＝cos 2x＝sin，f(x)＝siny＝sin＝sin.[答案]　A挖掘2　作y＝Asin(ωx＋φ)的图像/ 互动探究[例2]　设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像；(3)由y＝sin x经过怎样的变换得到f(x)＝cos(ωx＋φ)的图像(x∈R)．[解析]　(1)最小正周期T＝＝π，∴ω＝2.∵f＝cos＝cos＝－sin φ＝，∴sin φ＝－.∵－<φ<0，∴φ＝－.(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：x0ππππ2x－－0πππf(x)10－10图像如图所示．(3)f(x)＝cos＝sin＝sin，∴由y＝sin x向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图像，即f(x)＝cos的图像．[破题技法]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的作法(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像．(2)图像变换法：由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：三角函数图像左右平移时应注意的问题(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(3)由y＝Asin ωx的图像得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
考点二　由函数图像求解析式挖掘　由图像写解析式/ 互动探究[例]　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到的函数图像的解析式为(　　)A．y＝sin 2x　　　　　　　　 B．y＝sinC．y＝sin  D．y＝cos 2x[解析]　由题图知，A＝1，T＝－＝π＝π，所以T＝π＝，所以ω＝2.所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，所以f(x)的图像向右平移个单位长度得g(x)＝sin＝sin.故选B.[答案]　B(2)已知函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为________．[解析]　由图可知＝－＝，A＝2，即T＝π，A＝2，故ω＝＝2，又f＝2，所以2×＋φ＝，故φ＝，所以f(x)＝2sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．[答案]　(k∈Z)[破题技法]　由三角函数图像确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，关键是根据图像所反映出的性质求振幅A，周期T及φ.(1)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.(2)求φ，常用方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.考点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质的综合应用挖掘1　三角函数图像变换与性质综合问题/ 互动探究[例1]　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，点P、Q、R在f(x)的图像上，坐标分别为(－1，－A)、(1，0)、(x0，0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图像向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图像，则关于g(x)的说法中不正确的是(　　)A．g(x)是偶函数B．g(x)在区间[0，4]上是减函数C．g(x)的图像关于直线x＝2对称D．g(x)在[－1，3]上的最小值为－[解析]　由题意知＝2，所以＝8，ω＝，作PH⊥x轴于点H(图略)，则QH＝2，又因为PQ＝QR＝4，所以A＝2，因为f(x)的图像过Q(1，0)，所以2sin＝0，因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝2sin.易知g(x)＝f(x－5)＝2cos x，易知A、B、D正确，C错误．故选C.[答案]　C(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　)[解析]　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝＞0，排除B，C.故选D.[答案]　D[破题技法]　先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．进行平移时，图像平移与坐标系平移是一种相对运动．挖掘2　与三角函数有关的方程、不等式问题/ 互动探究[例2]　(1)(2020·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω＞0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为(　　)A.　　　　　　 B．－C．2  D．－2[解析]　依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，则ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2，故选C.[答案]　C(2)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，则实数ω的取值范围为(　　)A．(，]  B．(，]C．(，]  D．(，][解析]　因为f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin(ωx－)，作出函数y＝f(x)的大致图像与直线y＝－1，如图所示．令2sin(ωx－)＝－1，得ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.设直线y＝－1与曲线y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，易知xA＝＋，xB＝＋.因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，所以xA＜π≤xB，即＋＜π≤＋，解得＜ω≤.故选B.[答案]　B[破题技法]　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点即是图像与x轴交点的横坐标，对称轴一定穿过图像的最高点或最低点．考点四　三角函数模型的应用挖掘　生活中的三角函数模型/ 互动探究[例]　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b(A＞0，ω＞0)的图像．根据以上数据，(1)求函数f(t)的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．[解析]　(1)由表格得解得又因为T＝12，所以ω＝＝，故y＝f(t)＝cos t＋1.(2)由题意，令cos t＋1＞1.25，即cos t＞，又因为t∈[0，24]，所以t∈[0，4π]，故0≤t＜或＜t≤2π.或2π＜t＜2π＋或2π＋＜t≤2π＋2π，即0≤t＜2或10＜t≤12或12＜t＜14或22＜t≤24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．[破题技法]　三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，)．(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式．解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图像，可知从8～14时的图像是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.∴＝14－8＝·，∴ω＝，∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14]．