高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和学案

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第二节　等差数列及其前n项和

授课提示：对应学生用书第92页
[基础梳理]
1．等差数列的有关概念
(1)定义：
①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．
②符号语言：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

1．两个重要技巧
(1)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.
(2)若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
2．三个必备结论
(1)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.
(3)在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
3．两个函数
等差数列{an}，当d≠0时，an＝dn＋(a1－d)，是关于n的一次函数；
Sn＝n2＋(a1－)n是无常数项的二次函数．
[四基自测]
1．(基础点：求项数)已知数列{an}中，an＝3n＋4，若an＝13，则n等于(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．5 D．6
答案：A
2．(基础点：求公差)已知等差数列{an}满足：a3＝13，a13＝33，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
3．(基础点：求通项)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an－1，则an等于________．
答案：－n＋2
4．(基础点：求等差数列的前n项和)已知等差数列5，4，3，…，则前n项和Sn＝________．
答案：(15n－n2)

授课提示：对应学生用书第92页
考点一　等差数列的基本运算及性质
挖掘1　用等差数列的基本量a1和d进行计算/自主练透
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　 B．－10
C．10 D．12
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.
[答案]　B
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
[解析]　设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得
解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
故选A.
[答案]　A
(3)已知等差数列{an}的各项都为整数，且a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(　　)
A．70 B．58
C．51 D．40
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，
由各项都为整数得d∈Z，
因为a1＝－5，所以a3a4＝(－5＋2d)(－5＋3d)＝－1，化简得6d2－25d＋26＝0，解得d＝2或d＝(舍去)，所以an＝2n－7，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋＝58.故选B.
[答案]　B
挖掘2　用等差数列性质进行计算/互动探究
[例2]　(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，
∴
∴d＝4，故选C.
[答案]　C
(2)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于 (　　)
A．7 B．3
C．－1 D．1
[解析]　由{an}是等差数列及a1＋a3＋a5＝105，
得3a3＝105，即a3＝35，
由{an}是等差数列及a2＋a4＋a6＝99，得3a4＝99，即a4＝33，则公差d＝a4－a3＝－2，
则a20＝a3＋(20－3)d＝35－34＝1，故选D.
[答案]　D
(3)(2020·广东第一次模拟)等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于(　　)
A．3 B．4
C．log318 D．log324
[解析]　∵log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，
∴log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，
∴log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，
∴解得x＝4.
∴等差数列的前三项为log38，log312，log318，
∴公差d＝log312－log38＝log3，
∴数列的第四项为log318＋log3＝log327＝3.
[答案]　A
[破题技法]　等差数列的计算技巧
方法
解读
适合题型
基本量法
用a1和d表示条件和所求，用方程思想求出a1和d
五个基本量，a1，d，Sn，n，an中知三求二
性质法　
用等差数列的性质将已知和所求联系起来，用性质表示an和Sn
当已知中有“an＋am”式的表达式

(2020·河北石家庄一模)已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图像关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为(　　)
A．－200 B．－100
C．0 D．－50
解析：由y＝f(x－2)的图像关于直线x＝1对称，
可得y＝f(x)的图像关于直线x＝－1对称，由数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，可得a50＋a51＝－2，
又由等差数列的性质得a1＋a100＝a50＋a51＝－2，
则{an}的前100项的和为＝－100，故选B.
答案：B
考点二　等差数列的判定与证明
挖掘1　用等差数列定义证明/自主练透
[例1]　(2020·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列；
(2)求an的表达式．
[解析]　(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
又an＝－2Sn·Sn－1，所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0.因此－＝2(n≥2)．故由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
即Sn＝.
由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－，
又因为a1＝，不适合上式．
所以an＝
挖掘2　用等差中项法证明/互动探究
[例2]　已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
(1)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列；
(2)若am＋2是am＋1和am的等差中项，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列吗？
[解析]　(1)证明：由S3，S9，S6成等差数列，得S3＋S6＝2S9.
若q＝1，则3a1＋6a1＝18a1，解得a1＝0，这与{an}是等比数列矛盾，所以q≠1，
于是有＋＝，整理得q3＋q6＝2q9.
因为q≠0且q≠1，所以q3＝－，a8＝a2q6＝a2，a5＝a2q3＝－a2，
所以2a8＝a2＋a5，即a8－a2＝a5－a8，故a2，a8，a5成等差数列．
(2)依题意，得2am＋2＝am＋1＋am，则2a1qm＋1＝a1qm＋a1qm－1.在等比数列{an}中，a1≠0，q≠0，所以2q2＝q＋1，解得q＝1或q＝－.
当q＝1时，Sm＋Sm＋1＝ma1＋(m＋1)a1＝(2m＋1)a1，Sm＋2＝(m＋2)a1.
因为a1≠0，所以2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，此时Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
当q＝－时，
Sm＋2＝
＝[1－(－)m＋2]＝ [1－×(－)m]，
Sm＋Sm＋1＝＋
＝[1－(－)m＋1－(－)m＋1]
＝[2－×(－)m]，
所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1.
故当q＝1时，Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列；当q＝－时，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
[破题技法]　判定数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N＋，an＋1－an是同一个常数．(证明用)
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N＋，满足2an＝an＋1＋an－1.(证明用)
(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．
(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.
提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．
[拓展]　判断数列为等差数列，也可以利用图像特点：如果数列的图像(孤立的点)分布在一条直线上，则该数列为等差数列，否则不是等差数列．

如果a，b，c成等差数列且不全相等，，，能构成等差数列吗？用函数图像解释一下．
解析：a，b，c成等差数列，通项公式为y＝pn＋q的形式，且a，b，c位于同一直线上，
而，，的通项公式为y＝的形式．
其图像不是直线，故，，不是等差数列．
考点三　等差数列前n项和及综合问题
挖掘1　等差数列的求和及最值/ 互动探究
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
①求{an}的通项公式；
②求Sn，并求Sn的最小值．
[解析]　①设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.
②由①得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
(2)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)·(an＋n)(n∈N＋)．
①求证数列是等差数列，并求其通项公式；
②设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn.
[解析]　①证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N＋)，
∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2，
∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2，
∴＝2＋2(n－1)＝2n.
②由①知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15，
则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n.
令bn＝2n－15≤0，解得n≤7.
∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和
Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n.
n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98.
∴Tn＝
[破题技法]　等差数列{an}的前n项和Sn存在最值的情况：
如果a1＞0，d＜0时，数列的项先正(或0)后负，将所有正项(或0)相加，则Sn最大，或者Sn＝n2＋(a1－)n表示开口向下的抛物线，Sn存在最大．
如果a1＜0，d＞0，数列的项先负(或0)后正，将所有的负项(或0)相加，则Sn最小，或者Sn＝n2＋(a1－)n表示开口向上的抛物线，Sn存在最小．
挖掘2　等差数列求和的综合应用/ 互动探究
[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
①若a3＝4，求{an}的通项公式；
②若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
[解析]　①设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
②由①得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，
Sn＝.
由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，公差为d(d∈N＋)．
①若a5＝30，求数列{an}的通项公式；
②是否存在d，n使Sn＝10成立？若存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解析]　①当a5＝30时，由a5＝a1＋4d，
得30＝－2＋4d，解得d＝8.
所以an＝a1＋(n－1)d＝8n－10.
所以数列{an}的通项公式为an＝8n－10.
②由Sn＝10，得－2n＋d＝10，
即－4n＋dn2－dn＝20，
所以dn2－(d＋4)n－20＝0.
n＝1时，得－24＝0不存在；
n＝2时，得d＝14符合，
此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝14n－16；
n＝3时，得d＝不符合；
n＝4时，得d＝3符合，
此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3n－5；
当n＝5时，d＝2符合，
此时数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－4；
n＝6时，得d＝不符合；n＝7时，得d＝不符合；
n＝8时，得d＝不符合；n≥9时，d＜1均不符合，
所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为
d＝14，n＝2，an＝14n－16；
d＝3，n＝4，an＝3n－5；
d＝2，n＝5，an＝2n－4.
[破题技法]　有关Sn的处理方法
关于等差数列前n项和问题，主要是求和方法及性质的应用，其关键点为：
(1)定性质，根据已知条件判断出数列具有哪些特性．
(2)定方法，根据已知条件或具有的性质，确定解决问题的方法．
①求和：用哪个公式，需要哪些量．
②求Sn最值：(ⅰ)借助Sn的二次函数法；
(ⅱ)借用通项的邻项变号法
a1>0，d<0，满足，Sn取得最大值Sm；
a1<0，d>0，满足，Sn取得最小值Sm.
挖掘3　等差数列和的性质及创新问题/ 互动探究
[例3]　(1)(2020·河北唐山第二次模拟)设{an}是任意等差数列，它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　)
A．2X＋Z＝3Y　　　　 B．4X＋Z＝4Y
C．2X＋3Z＝7Y D．8X＋Z＝6Y
[解析]　设数列{an}的前3n项的和为R，则由等差数列的性质得X，Y－X，R－Y，Z－R成等差数列，
所以2(Y－X)＝X＋R－Y，解之得R＝3Y－3X，
又因为2(R－Y)＝Y－X＋Z－R，把R＝3Y－3X代入得8X＋Z＝6Y，故选D.
[答案]　D
(2)(2020·湖北黄冈一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，若＝，则＝(　　)
A．528 B．529
C．530 D．531
[解析]　根据等差数列的性质：＝得＝＝＝531.故选D.
[答案]　D
(3)(2020·江西红色七校第一次联考)已知数列{an}为等差数列，若a2＋a6＋a10＝，则tan(a3＋a9)的值为(　　)
A．0 B.
C．1 D.
[解析]　∵数列{an}为等差数列，a2＋a6＋a10＝，
∴3a6＝，解得a6＝，∴a3＋a9＝2a6＝，
∴tan(a3＋a9)＝tan＝.故选D.
[答案]　D
(4)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
[解析]　用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a1＋×17＝996，解得a1＝65.
∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤，故选B.
[答案]　B

1．(2020·广东六校第三次联考)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：依题意，由a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，得5a8＝120，即a8＝24，所以a9－a11＝(3a9－a11)＝(a9＋a7＋a11－a11)＝(a9＋a7)＝a8＝×24＝16，故选C.
答案：C
2．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意正整数n都有＝，则＋的值为________．
解析：因为{an}，{bn}为等差数列，
所以＋＝＋＝＝，
因为＝＝＝＝.所以＝.
答案：
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．
解析：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，
即9，27，S9－S6成等差数列，
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2×27－9＝45.
答案：45