高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第4课时复习练习题

二十一　分 段 函 数

基础全面练　(15分钟·30分)

1.函数f(x)＝，则f(f(2))的值为(　　)

A．－1    B．－3    C．0    D．－8

【解析】选C.因为函数f(x)＝，所以f(2)＝22－2－3＝－1，

所以f(f(2))＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.

2．(2021·南京高一检测)已知函数f(x)＝，若f(a)＝10，则实数a的值为(　　)

A．±3    B．3    C．－3    D．－3或－5

【解析】选C.因为函数f(x)＝，f(a)＝10，所以当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，解得a＝－3或a＝3(舍去)；当a>0时，f(a)＝－2a＝10，解得a＝－5(舍去)；所以实数a的值为－3.

3．已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是________．

【解析】由题图可知，

当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，得

所以即f(x)＝x＋1.

当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，将(1，－1)代入，得k＝－1，即f(x)＝－x.

综上f(x)＝

答案：f(x)＝

4．设函数f(x)＝则f＝________，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．

【解析】f＝＝＝，

当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2；

当x0>0时，由>1，得x0>1.

所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).

答案：　(－∞，－2)∪(1，＋∞)

5．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝求f(g(x))和g(f(x))的解析式．

【解析】当x≥0时，g(x)＝x2，f(g(x))＝2x2－1，

当x<0时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3，

所以f(g(x))＝

因为当2x－1≥0，即x≥时，g(f(x))＝(2x－1)2，当2x－1<0，即x<时，g(f(x))＝－1，

所以g(f(x))＝

综合突破练　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·潍坊高一检测)设f(x)＝则f(5)的值是(　　)

A．24　　　B．21　　　C．18　　　D．16

【解析】选A.f(5)＝f(f(10))，f(10)

＝f(f(15))＝f(18)＝21，f(5)＝f(21)＝24.

2．定义运算a*b＝则函数f(x)＝x2*|x|的图像是(　　)

【解析】选B.由已知给出的运算定义知：

f(x)＝x2*|x|＝即f(x)＝

所以选项B符合题意．

3．已知f(x)＝如果f(x0)＝3，那么x0＝(　　)

A．2或－     B．2

C．－      D．2或

【解析】选A.因为f(x)＝

所以若x0<0，f(x0)＝x＝3，则x0＝－；

同理若x0>0，f(x0)＝x0＋1＝3，则x0＝2.

4．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)

A．|x|＝x|sgn x|    B．|x|＝x sgn |x|

C．|x|＝|x|sgn x    D．|x|＝x sgn x

【解析】选D.当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，

x sgn |x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a可以取的值为(　　)

A．－3    B．3    C．－1    D．1

【解析】选CD.因为f(－1)＝＝1，所以f(a)＝1.

(1)当a≥0时，f(a)＝＝1，所以a＝1.

(2)当a<0时，f(a)＝＝1，所以a＝－1.

综上可知a＝1或－1.

6．已知f(x)＝则满足不等式xf(x)＋x≤2的x的值有(　　)

A．1    B．2    C．3    D．－1

【解析】选AD.当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，所以0≤x≤1；

当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，

解得x≤2，所以x<0.综上可知x≤1.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．

【解析】由题意得f(x)＝

画出函数f(x)的图像，值域是(－∞，1].

答案：(－∞，1]

8．设定义域为R的函数f(x)＝

且f(f(x))＝1，则x的值所组成的集合为________．

【解析】设f(x)＝t，t∈R，

则对于f(t)＝1，有解，t＝2或者－1≤t≤1.

那么，①当t＝f(x)＝2时，

有2x－3＝2，x＝>1，满足条件．

②当－1≤x≤1时，f(x)＝1，满足条件．

当x>1或x<－1时，代入式子f(x)＝2x－3，

可得不等式组解得1<x≤2.

综上：－1≤x≤2或者x＝.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．设函数f(x)＝且f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1.

(1)求函数f(x)的解析式．

【解析】因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，

所以16－4b＋c＝3，4－2b＋c＝－1，解得：b＝4，c＝3，所以f(x)＝

(2)画出函数f(x)的图像，并写出函数f(x)的定义域、值域．

【解析】函数的定义域为[－4，4]，

当－4≤x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，由－4≤x<0可得，－1≤f(x)≤3，

当0≤x≤4时，

f(x)＝－x＋3，

所以－1≤f(x)≤3，

所以函数的值域为[－1，3].

其图像如图所示．

10．已知函数f(x)＝1＋，

(1)用分段函数的形式表示函数f(x).

【解析】因为当x≥0时，f(x)＝1；

当x<0时，f(x)＝x＋1，

所以f(x)＝

(2)在坐标系中画出函数f(x)的图像．

【解析】函数图像如图：

(3)在同一坐标系中，再画出函数g(x)＝(x>0)的图像(不用列表)，观察图像直接写出当x>0时，不等式f(x)>的解集．

【解析】由图可知当x>1时，f(x)>g(x)，

所以不等式f(x)>的解集为{x|x>1} .

应用创新练

1．(多选题)已知f(x)＝g(x)＝

则f(g(x))＝(　　)

A．－x    B．－x2    C．x    D．x2

【解析】选BD.当x<0时，g(x)＝－x2<0，

所以f(g(x))＝－x2.

当x≥0时，g(x)＝x≥0，所以f(g(x))＝x2.

2．设函数f(x)＝

(1)请在下列直角坐标系中画出函数f(x)的图像．

【解析】 函数f(x)的图像如图：

(2)根据(1)的图像，试分别写出函数f(x)与函数y＝t的图像有2，3，4个交点时，相应的实数t的取值范围．

【解析】根据图像可知：当－2<t<1或t>2时，f(x)与y＝t有2个交点；

当t＝1或t＝2时，f(x)与y＝t有3个交点；

当1<t<2时，f(x)与y＝t有4个交点．

(3)记函数g(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使g(x0)＝x0成立，则称点(x0，x0)为函数g(x)图像上的不动点．试问，函数f(x)图像上是否存在不动点，若存在，求出不动点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】若f(x)图像上存在不动点，

则f(x)＝x有解，

则y＝f(x)与y＝x有交点．

由图像可知：若－1≤x≤2，则－x2＋2＝x，

解得x＝1(舍去x＝－2)，

即不动点为(1，1)；

若x>2，则3x－8＝x，

解得x＝4，即不动点为(4，4).

综上，函数f(x)图像上存在不动点(1，1)，(4，4).

【补偿训练】

动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B，C，D再回到A，设x表示P点移动的路程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x)，并作出g(x)的简图．

【解析】如图，当P点在AB上运动时，PA＝x；当P点在BC上运动时，由Rt△ABP可得PA＝；当P点在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA＝；当P点在DA上运动时，PA＝4－x，故f(x)的表达式为：

f(x)＝

由于P点在正方形ABCD上不同位置时，△ABP的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此必须对P点的位置进行分类讨论．

如图，当P点在AB上，即0≤x≤1时，△ABP的面积为0；当P点在BC上，即1<x≤2时，S△ABP＝AB·BP＝(x－1)；当P点在CD上，即2<x≤3时，S△ABP＝×1×1＝；当P点在DA上，

即3<x≤4时，S△ABP＝(4－x).

故g(x)＝g(x)的简图如图所示．