人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质备课ppt课件

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火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物,建在水源不十分充足的地区的电厂.为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷却建筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结构上最稳定,强度高,能够获得更大的容积,气流顺畅,对流冷却效果好,造型美观.
名师点析(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为 .(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.
微练习(1)圆锥曲线 =1的离心率e=2,则实数m的值为(　　)A.-5　　　　　B.-35C.19 D.-11
(2)双曲线 =1的渐近线方程为(　　)A.3x±4y=0B.4x±3y=0C. x±2y=0D.9x±16y=0
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直.(　　)答案 (1)√　(2)×　(3)√
微思考(1)双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?
提示 双曲线的离心率e= 反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.
(2)一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?提示 1个.
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.
要点笔记由双曲线的方程研究其几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
延伸探究求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
例2已知F1,F2为双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求该双曲线的渐近线方程.分析求双曲线的渐近线方程就必须求渐近线的斜率,也就是求a,b间的关系.本题利用双曲线的定义和直角三角形边、角之间的关系,求a,b间的关系.
反思感悟1.根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中,最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”,就得到了此双曲线的渐近线方程.
例3根据以下条件,求双曲线的标准方程.
反思感悟1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程.
例4(1)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线:
其中是“单曲型直线”的是　　　　　. 
分析由已知点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即 =1(x>0).分别与①②③④中的直线联立方程组,根据方程组的解的性质判断该直线是否为“单曲型直线”.
(2)已知双曲线焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3).①求该双曲线的标准方程;②若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长.
∵Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,∴y=x+1是“单曲型直线”.
消y得20x2+36x+153=0,∵Δ=362-4×20×153<0,∴y=2x+1不是“单曲型直线”.故符合题意的有①②.
反思感悟1.直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考查方程的判别式.(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.当a=0时,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线有一个公共点.
2.双曲线的弦长公式和直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样.设直线y=kx+b与双曲线交于
3.如果利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所得直线方程的存在性进行验证.
变式训练3(1)已知双曲线方程为x2- =1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有(　　)A.4条B.3条C.2条D.1条
解析 因为双曲线方程为x2- =1,则P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的有3条.
(2)已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
解 不存在.理由如下,设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲线上的两点,则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,
而Δ=-8<0,方程无实根,即直线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线.
专项探究　离心率问题
解析 因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|,因为A为双曲线右支上一点,所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,因为B为双曲线左支上一点,所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a,由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cs 120°,得c2=7a2,则e2=7,又e>1,所以e= .故选A.
归纳总结求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.(2)求解时,若用到特殊几何图形,可运用几何性质使问题简化.
迁移应用1渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)
1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(　　)
2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为
3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是　　　　　. 
答案 x2-y2=8
解析 令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),
故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.
正确的说法是　　　　　.(把所有正确说法的序号都填上) 
所以|PQ|=12.双曲线图像如图.|PF|-|AP|=2a=4,①|QF|-|QA|=2a=4,②①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.