高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程多媒体教学ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程多媒体教学ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了内容索引，课前篇自主预习，课堂篇探究学习，课标阐释，思维脉络，知识点拨，圆的一般方程，规范答题，答案-2等内容，欢迎下载使用。

1.理解圆的一般方程及其特点.(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.(逻辑推理)
[激趣诱思]我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请问你能写出一个它分别表示①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗?
名师点析 1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).
微思考二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?提示 (1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.微练习1圆x2+y2-4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为(　　)A.1,(-2,1)B.2,(-2,1) C.2,(2,-1)D.1,(2,-1)解析 x2+y2-4x+2y+4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=1,所以半径和圆心坐标分别为1,(2,-1).答案 D
微练习2圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　)A.8πB.4πC.2πD.π解析 原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,∴半径r= ,∴圆的面积为S=πr2=2π.答案 C
二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题2.点M的坐标(x,y)满足的关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程.
微判断(1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.(　　)(2)圆的方程中可能含有xy这样的项.(　　)(3)2x2+2y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆的方程的条件为D2+E2-4F>0.(　　)(4)若圆过原点,则在平面直角坐标系中该圆的一般方程式中常数项肯定为0.(　　)答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.
反思感悟 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.
解析 (1)因为x2+y2-x+y+m=0表示圆,则1+1-4m>0,所以m< .(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,当m=1时,r2取得最小值.从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.答案 (1)A　(2)D
例2已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.
延伸探究 1若本例中将“点C(3,-1)”改为“圆C过A,B两点且圆C关于直线y=-x对称”,其他条件不变,如何求圆C的方程?
延伸探究 2将本例改为“已知圆Q过A(2,2),B(5,3),C(3,-1)三点,点M,N在圆Q上,试求△QMN面积的最大值”.解 由例2(1)的结论可知,圆Q的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,即(x-4)2+(y-1)2=5.
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时的注意点(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标、半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
变式训练2(1)圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是　 .  (2)已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 ,求圆的方程.
(方法2　几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为x-y-1=0,∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,设其坐标为(a,a-1).
例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.思路分析设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.
解 设另一端点C的坐标为(x,y).
又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,且点B,C不能为一直径的两端点,故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)和(5,-1)两点),即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心, 为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.
要点笔记求动点的轨迹方程的常用方法(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;(2)代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.
延伸探究 求本例中线段AC中点M的轨迹方程.解 设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(除去(3,5)和(5,-1)两点)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,
变式训练3如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程.
解 设点B的坐标是(x,y),点A的坐标是(x0,y0),由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点,所以于是有x0=8-x,y0=6-y.①因为点A在圆x2+y2+2x-3=0上运动,所以点A的坐标满足方程x2+y2+2x-3=0,即(x0+1)2+ =4,②把①代入②,得(8-x+1)2+(6-y)2=4,整理,得(x-9)2+(y-6)2=4.所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
求轨迹方程的三种常用方法求轨迹方程是解析几何中的常见问题,求轨迹方程主要用下面三种常见方法.1.直接法典例1两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.
【规范答题】解 以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),则|MA|2+|MB|2=26,∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4点评本题的解法中,设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,这种求轨迹方程的方法称为直接法.
2.相关点法典例2已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,求动点M的轨迹方程.
点评相关点法解决以下类型的轨迹:动点M随点A的变化而变化,而点A在某条曲线上变化,这时,设M(x,y),A(x0,y0),用x,y表示x0,y0,把x0,y0的表达式代入已知曲线的方程中,即得动点M(x,y)的轨迹方程.
3.参数法典例3已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为 的线段AB在直线l上移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.
当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得 ,将其代入①式,整理,得x2-y2+2x-2y+8=0,③当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.点评当动点的变化是由某个量的变化决定的,可以设这个量为参数,用参数表示动点坐标,消去参数,就能得到动点轨迹方程.这种方法就是参数法.
1.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是(　　)A.2x-y+1=0B.2x+y+1=0C.2x-y-1=0D.2x+y-1=0解析 圆心坐标为(1,-3),检验知2x+y+1=0过圆心(1,-3).答案 B
2.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.2x-y-6=0D.2x+y-6=0解析 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由 ,再根据直线的点斜式方程可知y=2(x-3),即2x-y-6=0.答案 C
3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是　　　　　. 
4.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则参数a的值为　　　　　.