人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系课堂教学ppt课件

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廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷中不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的哪些关系?
1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
如消去y后得ax2+bx+c=0.
①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.
(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.(　　)答案 (1)×　(2)√　(3)×
微思考椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?提示 不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.
2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长
(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用轴上两点间距离公式直接运算
微练习顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为 的抛物线方程为　　　　　. 
答案 y2=12x或y2=-4x
解析 设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,
例1已知点P(k,1),椭圆 =1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为　　　　　. 
反思感悟处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:
延伸探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?
例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.
解 (1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.①要使l与C无公共点,即方程①无实数解,则有1-4k2≠0,且Δ<0,即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0.
反思感悟判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.
变式训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C: =1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点?
将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,③这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|= ,求椭圆的方程.分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.
解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),P(x1,y1),Q(x2,y2).
Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0.由OP⊥OQ,得x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,
反思感悟若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|.
变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于(　　)
(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.
解 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B两点均在椭圆上,
要点笔记对中点弦问题,常用的解题方法—— 平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.
变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(　　)
解析 依题设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,
存在性问题之探究案例已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.
若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1,
而Δ=-8<0,方程无实根,即直线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线.
归纳提升(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.
A.相交B.相切C.相离D.不确定
2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条答案 C
3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2- =1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　　　. 
解析 设线段AB的中点为M(x0,y0),
∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,检验可知判别式Δ>0.故m=±1.
4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为　　　　　. 
(1)求△ABF2的周长;(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.