2020-2021学年安徽省某校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（2月份）人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省某校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（2月份）人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设全集为实数集R，集合P＝{x|x≤1+，x∈R}，集合Q＝{1, 2, 3, 4}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A.{4}B.{3, 4}C.{2, 3, 4}D.{1, 2, 3, 4}

2. 已知平面α，直线a，b，l，且a⊂α，b⊂α，则“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 已知≈1.41421，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则f(2)+f(4)＝（ ）
A.5B.6C.3D.2

4. 关于复数Z，下列叙述正确的有（ ）个
①若Zi＝1，则Z＝−i；
②任何两个复数都不能比较大小；
③实数没有共轭复数；
④复数3−2i的实部是3，虚部是2．
A.1B.2C.3D.4

5. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x−y=0上，则sin(3π2+θ)+cs(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=( )
A.−2B.2C.0D.23

6. M(a, b)为圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点，则直线ax+by=r2与该圆的位置关系是（ ）
A.相切B.相交C.相离D.相切或相交

7. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝3，依次输入的a为1，2，3，4、则输出的s＝（ ）

A.11B.16C.26D.30

8. 现有一台不等臂的天平，它有左、右两个托盘，若同一个物体放在左、右托盘各测一次所得的质量分别是a、b（单位：g），则下列关于物体的真实质量m表述正确的是（ ）
A.mC.m

9. 在发生某公共卫生事件期间、有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续14天，每天新增疑似病例不超过6人”．根据过去14天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A.甲地：总体均值为1，中位数为1
B.乙地：总体均值为1，总体标准差大于0
C.丙地：中位数为1，众数为2
D.丁地：总体均值为2，总体方差为1

10. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cs2A−2csA+＝0且满足a＝(b−c)，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形

11. 直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且AC＝CC1＝1，在面对角线BC1上存在一点P使P到B1和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（ ）
A.2B.1+C.D.

12. 设F为双曲线C：＝1(a>0, b>0)的右焦点，O为坐标原点，以O为圆心，OF为半径的圆与双曲线C交于P、Q两点（P、Q均在x轴的上方）．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A.B.C.2D.+1
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

已知平面向量a→，b→满足a→⋅(a→+b→)=3，且|a→|=2，|b→|=1，则向量a→与b→的夹角为________．

某学校志愿者协会周末组织活动，需要从甲乙两小组各安排一名志愿者去春风养老院，若甲乙两小组各有6名志愿者且都是3名男生3名女生，则派去服务的两名志愿者都是女生的概率是________．

设F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，直线y−x+1=0与抛物线C有公共点M，且MF与抛物线C的对称轴垂直，则p=________．

关于函数的性质，下列表述正确的是________．
①f(x)是周期函数，且最小正周期是π；
②f(x)是轴对称图形，且对称轴是直线x＝；
③f(x)定义域是R，值域是；
④f(x)是中心对称图形，且对称中心是；
⑤f(x)单调递减区间是．
三、解答题：（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（共60分）

某村海拔1500米，交通极为不便，被称为“云端上的村庄”，系建档立卡贫困村．该省政府办公厅组建了精准扶贫组进行定点帮扶，扶贫组在实地调研和充分听取群众意见后，立足当地独特优势，大力发展高山蔬菜和生态黑猪，有效带动了全村父老乡亲脱贫奔小康．村民甲在企业帮扶下签订合同，代养生态黑猪，2016年至2020年养殖黑猪的年收入y（单位：万元）的数据如表：

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，预测2021年该村民养殖黑猪的年收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx.

已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1a5＝33，a22＝25．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝4n−2+3an，若an∈N，求{bn}的前n项和Tn．

如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，BC⊥AC．
(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PAC；
(Ⅱ)若PA＝2，AC＝BC＝1，Q为PC的中点，求点C到平面AQB的距离．


设椭圆C：的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)假设椭圆C的上顶点是P，斜率为k的直线l与椭圆交于不同于点P的A、B两点，直线AP的斜率是k1，直线BP的斜率是k2，若k1k2＝，证明直线l过定点．

已知函数f(x)＝ex−ln(x+a)−a．
(Ⅰ)当a＝1时，求曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；
(Ⅱ)若f(x)≥0，求a的取值范围．
（二）选考题：（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑。多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，那么按所做第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1:x+y＝1与曲线C2:x=2+2csφy=2sinφ （φ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，已知l:θ＝α(ρ>0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈(0,π2)，当|OB||OA|=4时，求α的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)＝|ax+1|+|x−1|．
(Ⅰ)当a＝2时，求不等式f(x)<2的解集；
(Ⅱ)若x∈(1, 2)时，不等式f(x)参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省某校高三（下）第二次联考数学试卷（文科）（2月份）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
B
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
题目给出了平面内的两条直线a、b，根据平面外的直线l与a、b垂直，断定直线l和平面的位置关系，a⊂α，b⊂α，直线a、b的位置关系不唯一．
【解答】
a⊂α，b⊂α，直线a、b的位置关系可能平行，也可能相交．若a与b相交，则由l⊥a且l⊥b能得到l⊥α，否则不一定，所以，“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的不充分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l垂直于平面α内的所有直线，所以“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要条件．
所以，“l⊥a且l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．
3.
【答案】
C
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
虚数单位i及其性质
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据直线斜率与倾斜角的关系求出tanθ的值，原式利用诱导公式化简，再同角三角函数间的基本关系变形，将tanθ的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：由已知可得，tanθ=2，
则原式=−csθ−csθcsθ−sinθ
=−21−tanθ=2．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
直线与圆相交的性质
【解析】
由已知条件推导出0r，由此能判断直线ax+by=r2与该圆的位置关系．
【解答】
解：∵ M(a, b)为圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点，
∴ 0∴ 圆心(0, 0)到直线ax+by=r2的距离：
d=|−r2|a2+b2>r，
∴ 直线ax+by=r2与该圆的位置关系是相离．
故选：C．
7.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
C
【考点】
不等式的概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
D
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
【答案】
2π3
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
三角函数
【解析】
设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0, π]，由a→⋅(a→+b→)=3可得a→2+a→⋅b→=3，代入数据可得关于csθ的方程，解之结合θ的范围可得．
【解答】
解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0, π]，
由a→⋅(a→+b→)=3可得a→2+a→⋅b→=3，
代入数据可得22+2×1×csθ=3，
解之可得csθ=−12，
故可得θ=2π3.
故答案为：2π3.
【答案】
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
2
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先设M(m, m−1)，再结合抛物线的定义，即可得解．
【解答】
∵ 点M在直线y−x+1=0上，
∴ 可设M(m, m−1)，
由抛物线的定义知，|MF|=yM+p2，
∴ m=m−1+p2，
∴ p=2．
【答案】
①②③④⑤
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（共60分）
【答案】
解：(1)由所给数据计算得
x=151+2+3+4+5=3，
y=155.6+6.5+7.4+8.2+9.1=7.36，
i=15xi−x2=4+1+0+1+4=10，
i=15(xi−x)(yi−y)
=(1−3)×(5.6−7.36)+⋯+(5−3)(9.1−7.36)=8.7，
b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=8.710=0.87，
a=y−bx=7.36−0.87×3=4.75，
所以y=0.87x+4.75.
(2)将2021年的年份代号x=6代入(1)中的回归方程，
得y=0.87×6+4.75=9.97，
故预测2021年该村民养殖黑猪的年收入是9.97万元．
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由所给数据计算得
x=151+2+3+4+5=3，
y=155.6+6.5+7.4+8.2+9.1=7.36，
i=15xi−x2=4+1+0+1+4=10，
i=15(xi−x)(yi−y)
=(1−3)×(5.6−7.36)+⋯+(5−3)(9.1−7.36)=8.7，
b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=8.710=0.87，
a=y−bx=7.36−0.87×3=4.75，
所以y=0.87x+4.75.
(2)将2021年的年份代号x=6代入(1)中的回归方程，
得y=0.87×6+4.75=9.97，
故预测2021年该村民养殖黑猪的年收入是9.97万元．
【答案】
（1）设各项均为正数且公差为d的等差数列{an}满足a1a5＝33，a32＝25．
所以，整理得3d2−10d+5＝0，d＝2或，
解得或，
故an＝2+2(n−1)＝4n+1或an＝+(n−1)＝；
（2）由于an∈N，所以an＝7n+1，
所以bn＝4n−3+3an＝4n−4+6n+3，
所以Tn＝+(9+5n+3)n＝​n−6)+3n2+8n．
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）证明：∵ PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
∵ ∠ACB＝90∘，∴ BC⊥AC．
∵ PA∩AC＝A，PA，
∴ BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，
∴ 平面PAC⊥平面PBC；
（2）∵ PA⊥AC，且PA＝2，∴ PC＝，
由(Ⅰ)可得，BC⊥PC，QC＝，
AB＝，
∴ cs∠QAB＝，则sin∠QAB＝，
则，
＝，
设点C到平面AQB的距离为h，则，得h＝．
∴ 点C到平面AQB的距离为．
【考点】
平面与平面垂直
点、线、面间的距离计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）设F(−c, 0)，可得y＝±b，
由题意可得e＝＝＝，即a＝b，
且＝，解得a＝，
则椭圆C的标准方程为+y4＝1；
（2）证明：由题意可得P(0, 3)，
与椭圆方程x2+2y4＝2联立，可得(1+5k2)x2+8kmx+2m2−4＝0，
设A(x1, y3)，B(x2, y2)，可得△＝16k3m2−4(5+2k2)(3m2−2)>7，
x1+x2＝-，x1x2＝，
y7+y2＝k(x1+x4)+2m＝k⋅(−）+6m＝，
y1y5＝(kx1+m)(kx2+m)＝k8x1x2+km(x7+x2)+m2
＝k7•+km(−​2＝，
由k8k2＝•＝
＝＝，
可得m5+m−2＝0，解得m＝8或−2，
直线l与椭圆交于不同于点P的A、B两点，
则直线l的方程为y＝kx−2，
可得直线l恒过定点(4, −2)．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）当a＝1时，f(x)＝ex−ln(x+1)−4，由得，
∴ ，即，
∴ 曲线f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为；
（2）①当a>1时，因为f(x)的定义域是(−a，此时f(0)＝2−lna−a<0，
∴ f(x)≥0不恒成立，不合题意去；
②当a≤4时，由函数y＝ex与y＝x+1的函数图象及y＝lnx与y＝x−1的函数图象，易知ex≥x+7，lnx≤x−1，
∴ ln(x+a)≤(x+a)−1，则−ln(x+a)≥−[(x+a)−6]，
∴ f(x)＝ex−ln(x+a)−a≥(x+1)−[(x+a)−1]−a＝7−2a≥0，
综上所示，a≤5．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
（二）选考题：（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑。多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，那么按所做第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】
曲线C1的极坐标方程为ρ(csθ+sinθ)＝1，即ρsin(θ+π4)=22．
曲线C2 的普通方程为(x−2)2+y2＝4，即x2+y2−4x＝0，
所以曲线C2 的极坐标方程为ρ＝4csθ．
由（1）知|OA|=ρA=1csα+sinα,|OB|=ρB=4csα，
∵ |OB||OA|=4csα(csα+sinα)＝2(1+cs2α+sin2α)＝2+22sin(2α+π4)
∵ |OB||OA|=4∴ 2+22sin(2α+π4)＝4，∴ sin(2α+π4)=22
由0<α<π2，知π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=3π4时，∴ α=π4．
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
（1）用互化公式可得）C1的极坐标方程，先把C2化成普通方程，再用互化公式化成极坐标方程；
（2）利用极径的几何意义可得．
【解答】
曲线C1的极坐标方程为ρ(csθ+sinθ)＝1，即ρsin(θ+π4)=22．
曲线C2 的普通方程为(x−2)2+y2＝4，即x2+y2−4x＝0，
所以曲线C2 的极坐标方程为ρ＝4csθ．
由（1）知|OA|=ρA=1csα+sinα,|OB|=ρB=4csα，
∵ |OB||OA|=4csα(csα+sinα)＝2(1+cs2α+sin2α)＝2+22sin(2α+π4)
∵ |OB||OA|=4∴ 2+22sin(2α+π4)＝4，∴ sin(2α+π4)=22
由0<α<π2，知π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=3π4时，∴ α=π4．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【答案】
（1）当a＝2时，不等式f(x)<2即为|2x+1|+|x−1|<7，
等价为或或，
即为x∈⌀或-所以解集为（-，0)；
（2）若x∈(1, 7)时，
即为|ax+1|+|x−1|则|ax+1|<3对1可得−4由1则−2所以a的取值范围是(−2, 0)．
【考点】
不等式恒成立的问题
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
年收入y
5.6
6.5
7.4
8.2
9.1