还剩23页未读，
继续阅读
初中鲁教版 (五四制)第三章 二次函数综合与测试课后测评
展开
这是一份初中鲁教版 (五四制)第三章 二次函数综合与测试课后测评，共26页。试卷主要包含了已知二次函数y＝，设等边三角形的边长为x，下列函数中属于二次函数的是，如图，一边靠墙，一副三角板等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》单元综合达标训练（附答案）
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
3．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝2x2﹣1 C．y＝ D．y＝x2++1
6．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
7．二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（﹣3，y1）与B（5，y2），若y1≤y2，则b的最小值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．
其中正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（ ）
A．3 B．3 C． D．
11．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为 D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
12．抛物线y＝3（x+2）2﹣2的顶点坐标是 ．
13．若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝ ．
14．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．
15．已知m≥0，n≥0．且m+n＝1．设y＝m2+n2，则y的取值范围是 ．
16．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
那么当x＝5时，该二次函数y的值为 ．
17．如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CD﹣DE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为（﹣2，8），（8，8），（8，2），若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x＝对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若＝，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；
（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
21．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；
（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S的最大值；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，P是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．随着人们的生活水平不断提高，人们越来越注重生活品质，注重食物营养水果罐头在保存鲜度和营养方面得天独厚，仅次于现摘水果，水果罐头不仅果肉好吃，水果的本色本味完全融入到糖水中，罐头水的风味甚至比果汁还要浓郁．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果的单价；
（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的的还要多3元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？
（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？
参考答案
1．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．
故选：A．
2．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
3．解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
4．解：作出BC边上的高AD．
∵△ABC是等边三角形，边长为x，
∴CD＝x，
∴高为h＝x，
∴y＝x×h＝x2．
故选：D．
5．解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
7．解：∵二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（﹣3，y1）与B（5，y2），
∴抛物线开口向上，
∵y1≤y2，
∴﹣≤，
解得b≥﹣4，
∴b的最小值为﹣4，
故选：D．
8．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞2．
故选：D．
9．解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误．
④∵抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∴当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），
即a+b＞ax2+bx，故④正确；
⑤图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故⑤正确；
综上所述正确的个数为3个
故选：C．
10．解：如图，作HM⊥AB于M，
∵AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADG+∠MDH＝90°，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠MDH，
∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，
∴△ADG≌△MHD（AAS），
∴AD＝HM，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
∴S△BDH＝＝BD•AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，
∴△BDH面积的最大值是，
故选：C．
11．解：①∵a＞0，抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
∴abc＞0．则此小题的结论正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为：x＝，∴，
把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a﹣b+c＝0，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3b＝2c，则此小题的结论错误；
③∵当x＝1时，ymin＝a+b+c，
∴当m≠1时，am2+bm+c＞a+b+c，于是a+b＜am2+bm，则此小题的结论错误；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．解得a＝，则此小题的结论正确；
⑤∵若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，
∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝4的两交点是（x1，4）和（x2，4），
∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x交点为（﹣1，0）和（3，0），
∴根据二次函数的性质知，x1＜﹣1＜3＜x2，此小题错误．
故选：D．
12．解：由y＝3（x+2）2﹣2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
13．解：
∵y＝x2+（m﹣2）x+3，
∴其对称轴方程为x＝﹣，
∵其对称轴为y轴，
∴﹣＝0，解得m＝2，
故答案为：2．
14．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
15．解：∵m+n＝1．
∴n＝1﹣m，
代入y＝m2+n2，得y＝2m2﹣2m+1，
∵y＝2m2﹣2m+1＝2（m﹣）2+，
∴y有最小值，
∵m≥0，n≥0，m+n＝1．
∴y＝m2+n2≤1，
∴≤y≤1，
故答案为≤y≤1
16．解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1），
设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，
从表格可知过点（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝﹣1，
即y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
故答案为：﹣8．
17．解：由图可知，当点B的横坐标取得最小值0时，抛物线的顶点在点C处，
设此时抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+8，
∵点B（0，0）在抛物线上，
∴0＝a（0+2）2+8，得a＝﹣2，
当点A的横坐标取得最大值时，抛物线的顶点在点E处，
此时抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣8）2+2＝﹣2（x﹣7）（x﹣9），
∴此时与x轴的交点为（7，0），（9，0），
∴此时点A的坐标为（7，0），
∴点A的横坐标的最大值是7，
故答案为：7．
18．解：（1）由题意可得，
解得a＝1，b＝﹣5，c＝5；
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣5x+5，
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，设对称轴交x轴于Q．
则，
∵MQ＝，
∴NQ＝2，B（，）；
∴，
解得，
∴，D（0，），
同理可求，，
∵S△BCD＝S△BCG，
∴①DG∥BC（G在BC下方），，
∴＝x2﹣5x+5，
解得，，x2＝3，
∵x＞，
∴x＝3，
∴G（3，﹣1）．
②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，
∴＝，
∴＝x2﹣5x+5，
解得，，
∵x＞，
∴x＝，
∴G（，），
综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．
（3）由题意可知：k+m＝1，
∴m＝1﹣k，
∴y1＝kx+1﹣k，
∴kx+1﹣k＝x2﹣5x+5，
解得x1＝1，x2＝k+4，
∴B（k+4，k2+3k+1），
如图，设AB中点为O′，
∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，
∴O′P⊥x轴，
∴P为MN的中点，
∴P（，0），
∵△AMP∽△PNB，
∴，
∴AM•BN＝PN•PM，
∴1×（k2+3k+1）＝（k+4﹣）（），
∵k＞0，
∴k＝＝﹣1+．
19．解：（1）∵OA＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵OC＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵把（﹣2，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）把y＝0代入y＝﹣x2+x+3，
解得x1＝﹣2，x2＝3
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝OC＝3
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直线为y＝x
解方程组得，，
∵点E在第一象限内，
∴点E的坐标为（2，2）．
（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，
把y＝2代入y＝﹣x2+x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝2
∴点P的坐标为（﹣1，2），
∵PE∥OB，且PE＝OB＝3，
∴四边形OBEP是平行四边形，
∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（﹣1，2），使得四边形OBEP是平行四边形；
②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，
∵QA＝QB，
∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE，
又∵BE的长是定值
∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，
由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y＝x+1，
∵抛物线的对称轴是直线x＝
∴点Q的坐标为（，）
∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小．
20．解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴，
∴，
∴MN＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴＝＝，
∴PG＝NG＝m，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3﹣m＝﹣m2+m+3，
∴S△PON＝OP•GN＝（﹣m2+m+3）•m，
当m＝2时，S△PON＝×2（﹣4+3+3）＝2．
（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP＝EN＝1，则OP＝2，根据面积公式可得结论）．
21．解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3．
令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝6，
∴A（﹣4，0），B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6．
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵CO⊥AD，
∴OC2＝OA•OD，
∴OD＝，
∴D（，0）．
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴E（1，）．
如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．
由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．
设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．
∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝yH﹣yP＝﹣m2+m﹣．
∴S△BHE＝（xB﹣xE）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．
∵FH⊥CD，AC⊥CD，
∴AC∥FH，
∴∠HFG＝∠CAO，
∵∠AOC＝∠FGH＝90°，
∴△ACO∼△FHG，
∴＝＝，
∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，
∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，
∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，
∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，
∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．
此时，H的横坐标为．
（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），
∴CD＝BD＝，BC＝3，
∴∠DCB＝∠DBC．
①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，
则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，
∴MN∥AB，
∴MN⊥y轴，
∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，
∴△CKN∼△COB，
∴＝＝，
∴CK＝，
∴OK＝OC+CK＝，
∴N（，）．
②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，
则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，
∴CN∥AB，
∴N（3，3）．
③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，
则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，
∴MN∥CD，
作MR⊥y轴于R，
则＝＝＝，
∴CR＝，RM＝，
∴OR＝3﹣，
作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，
则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，
∴△COD∼△MQN，
∴＝＝，
∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，
∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，
∴N（﹣，）．
综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．
22．解：（1）x2﹣10x+16＝0，解得：x＝8或2，
故OC＝8，OB＝2，即点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，8）；
函数的对称轴是直线x＝﹣2，故点A的坐标为（﹣6，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣2）（x+6），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+8；
（2）∵AB＝8，OC＝8，则AE＝m，BE＝8﹣m，
∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
，即，
∴EF＝；
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．
∴，
∴FG＝×＝8﹣m，
∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣×（8﹣m）（8﹣m）＝﹣m2+4m，
∵＜0，故S有最大值，
当m＝4时，S的最大值为8；
（3）设点N的坐标为（m，n）而n＝﹣m2﹣m+8，点M（﹣2，t），
①当PC是对角线时，如图1，2，3，4，
此时，PN是边，
（Ⅰ）如图1，当点N在点M的上方时，如图1，2，
在图1中，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥y轴于点H，
∵∠NCG+∠GCN＝90°，∠GCN+∠MCH＝90°，
∴∠NCG＝∠MCH，MC＝NC，
∴△CHM≌△NGC（AAS），
∴GC＝MH＝2，故点G（0，10），
则点N的纵坐标为10，则n＝﹣m2﹣m+8＝10，
解得：m＝﹣1或﹣3，
故点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）（即图1，2所示的情况）；
（Ⅱ）当点N在点M的下方时，如图3，4，
同理可得，点N的纵坐标为6，
则n＝﹣m2﹣m+8＝6，
解得m＝﹣2±2，
故点N的坐标为（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）；
②当PC是边时，如图5﹣12，
（Ⅰ）当PM是对角线时，如图5﹣8，
如图5，6，当MN在对称轴左侧时，
由题意得：点N、C关于函数的对称轴对称，故点N的坐标为（﹣4，8）；
如图7，8，当MN在对称轴右侧时，
在图7中，过点N、C分别作函数对称轴的垂线，垂足分别为H、G，
同理可得：GC＝MH，NN＝GM，
即m+2＝8﹣t且t﹣n＝2，故点N（6﹣t，t﹣2），
把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝10或4.5（舍去10），
故点N的坐标为（1.5，2.5）；
在图8中，同理可得点N的坐标为（t﹣10，t+2），
把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝6或8.5（舍去6），
故点N的坐标为（﹣1.5，10.5）；
（Ⅱ）当PM是边时，如图9﹣12，
当NM在对称轴的左侧时，如图9，11，
当MN在对称轴的右侧时，如图10，12，
在图9中，同理可得，点N的在为（，），
在图11中，同理可得，点N的在为（，），
同理可得，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．
综上，点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）或（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）或（﹣4，8）或（﹣1.5，10.5）或
（1.5，2.5）或（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．
23．解：（1）设甲种水果的单价为x元/千克，乙种水果的单价为（x+2）元/千克，
根据题意得，＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是方程的根，
∴x+2＝8，
答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克，8元/千克；
（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：6×0.5+8×0.5＝7元，
每听罐头的总成本为：7+7×+3＝15元，
设降价m元，则利润W＝（28﹣m﹣15）（3000+1000m）＝﹣1000m2+10000m+39000＝﹣1000（m﹣5）2+64000，
∵﹣1000＜0，
当m＝5时，W有最大值为64000，
∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；
（3）由（2）知，W＝﹣1000（m﹣5）2+64000＝60000，
解得：m＝7或m＝3，
∵28×15%＝4.2，
但是降价的幅度不超过定价的15%，
∴m＝3，
∴售价为28﹣3＝25（元），
答：每听罐头的价钱应为25元．
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第3章二次函数》单元综合达标训练（附答案）
1．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝﹣1 D．无法确定
3．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
4．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝2x2﹣1 C．y＝ D．y＝x2++1
6．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
7．二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（﹣3，y1）与B（5，y2），若y1≤y2，则b的最小值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④当x≠1时，a+b＞ax2+bx；⑤4ac＜b2．
其中正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（ ）
A．3 B．3 C． D．
11．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为 D．下列结论：①abc＞0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜x2＜3．其中正确的有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
12．抛物线y＝3（x+2）2﹣2的顶点坐标是 ．
13．若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝ ．
14．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．
15．已知m≥0，n≥0．且m+n＝1．设y＝m2+n2，则y的取值范围是 ．
16．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
﹣3
0
1
0
﹣3
…
那么当x＝5时，该二次函数y的值为 ．
17．如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CD﹣DE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为（﹣2，8），（8，8），（8，2），若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x＝对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若＝，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；
（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．
19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；
（3）①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P，使四边形OBEP是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．
21．如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；
（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝﹣2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S的最大值；
（3）若点M在抛物线的对称轴上，P是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N，使以P，C，M，N为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．随着人们的生活水平不断提高，人们越来越注重生活品质，注重食物营养水果罐头在保存鲜度和营养方面得天独厚，仅次于现摘水果，水果罐头不仅果肉好吃，水果的本色本味完全融入到糖水中，罐头水的风味甚至比果汁还要浓郁．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果的单价；
（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的的还要多3元，调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？
（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？
参考答案
1．解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧，符合题意，图形正确．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2﹣bx来说，对称轴＝﹣＜0，应位于y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向上，故不合题意，图形错误．
故选：A．
2．解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 的图象经过原点，
∴a2﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a的值为﹣1．
故选：C．
3．解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
4．解：作出BC边上的高AD．
∵△ABC是等边三角形，边长为x，
∴CD＝x，
∴高为h＝x，
∴y＝x×h＝x2．
故选：D．
5．解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
7．解：∵二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（﹣3，y1）与B（5，y2），
∴抛物线开口向上，
∵y1≤y2，
∴﹣≤，
解得b≥﹣4，
∴b的最小值为﹣4，
故选：D．
8．解：观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞2时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜﹣1或x＞2．
故选：D．
9．解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确．
③当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故③错误．
④∵抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∴当x＝1时，函数有最大值y＝a+b+c，
∴a+b+c＞ax2+bx+c（x≠1），
即a+b＞ax2+bx，故④正确；
⑤图象与x轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故⑤正确；
综上所述正确的个数为3个
故选：C．
10．解：如图，作HM⊥AB于M，
∵AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝2，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADG+∠MDH＝90°，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠AGD＝∠MDH，
∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，
∴△ADG≌△MHD（AAS），
∴AD＝HM，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
∴S△BDH＝＝BD•AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，
∴△BDH面积的最大值是，
故选：C．
11．解：①∵a＞0，抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0．
∴abc＞0．则此小题的结论正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为：x＝，∴，
把A（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得，a﹣b+c＝0，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3b＝2c，则此小题的结论错误；
③∵当x＝1时，ymin＝a+b+c，
∴当m≠1时，am2+bm+c＞a+b+c，于是a+b＜am2+bm，则此小题的结论错误；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．解得a＝，则此小题的结论正确；
⑤∵若x1，x2是一元二次方程a（x+1）（x﹣3）＝4的两个根，且x1＜x2，
∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与直线y＝4的两交点是（x1，4）和（x2，4），
∵抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x交点为（﹣1，0）和（3，0），
∴根据二次函数的性质知，x1＜﹣1＜3＜x2，此小题错误．
故选：D．
12．解：由y＝3（x+2）2﹣2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣2）．
故答案为：（﹣2，﹣2）．
13．解：
∵y＝x2+（m﹣2）x+3，
∴其对称轴方程为x＝﹣，
∵其对称轴为y轴，
∴﹣＝0，解得m＝2，
故答案为：2．
14．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，
则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．
故答案为：一．
15．解：∵m+n＝1．
∴n＝1﹣m，
代入y＝m2+n2，得y＝2m2﹣2m+1，
∵y＝2m2﹣2m+1＝2（m﹣）2+，
∴y有最小值，
∵m≥0，n≥0，m+n＝1．
∴y＝m2+n2≤1，
∴≤y≤1，
故答案为≤y≤1
16．解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1），
设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2+1，
从表格可知过点（0，﹣3），代入得：﹣3＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝﹣1，
即y＝﹣（x﹣2）2+1，
当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
故答案为：﹣8．
17．解：由图可知，当点B的横坐标取得最小值0时，抛物线的顶点在点C处，
设此时抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+8，
∵点B（0，0）在抛物线上，
∴0＝a（0+2）2+8，得a＝﹣2，
当点A的横坐标取得最大值时，抛物线的顶点在点E处，
此时抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣8）2+2＝﹣2（x﹣7）（x﹣9），
∴此时与x轴的交点为（7，0），（9，0），
∴此时点A的坐标为（7，0），
∴点A的横坐标的最大值是7，
故答案为：7．
18．解：（1）由题意可得，
解得a＝1，b＝﹣5，c＝5；
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣5x+5，
（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，设对称轴交x轴于Q．
则，
∵MQ＝，
∴NQ＝2，B（，）；
∴，
解得，
∴，D（0，），
同理可求，，
∵S△BCD＝S△BCG，
∴①DG∥BC（G在BC下方），，
∴＝x2﹣5x+5，
解得，，x2＝3，
∵x＞，
∴x＝3，
∴G（3，﹣1）．
②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，
∴＝，
∴＝x2﹣5x+5，
解得，，
∵x＞，
∴x＝，
∴G（，），
综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．
（3）由题意可知：k+m＝1，
∴m＝1﹣k，
∴y1＝kx+1﹣k，
∴kx+1﹣k＝x2﹣5x+5，
解得x1＝1，x2＝k+4，
∴B（k+4，k2+3k+1），
如图，设AB中点为O′，
∵P点有且只有一个，
∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，
∴O′P⊥x轴，
∴P为MN的中点，
∴P（，0），
∵△AMP∽△PNB，
∴，
∴AM•BN＝PN•PM，
∴1×（k2+3k+1）＝（k+4﹣）（），
∵k＞0，
∴k＝＝﹣1+．
19．解：（1）∵OA＝2，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵OC＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵把（﹣2，0），（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）把y＝0代入y＝﹣x2+x+3，
解得x1＝﹣2，x2＝3
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝OC＝3
∵OD⊥BC，
∴OD平分∠BOC
∴OE所在的直线为y＝x
解方程组得，，
∵点E在第一象限内，
∴点E的坐标为（2，2）．
（3）①存在，如图1，过点E作x轴的平行线与抛物线交于另一点P，连接BE、PO，
把y＝2代入y＝﹣x2+x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝2
∴点P的坐标为（﹣1，2），
∵PE∥OB，且PE＝OB＝3，
∴四边形OBEP是平行四边形，
∴在x轴上方的抛物线上，存在一点P（﹣1，2），使得四边形OBEP是平行四边形；
②存在，如图2，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，
∵QA＝QB，
∴△BEQ的周长等于BE+QA+QE，
又∵BE的长是定值
∴A、Q、E在同一直线上时，△BEQ的周长最小，
由A（﹣2，0）、E（2，2）可得直线AE的解析式为y＝x+1，
∵抛物线的对称轴是直线x＝
∴点Q的坐标为（，）
∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小．
20．解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
把（0，3）代入得：3＝a（0﹣1）2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，
如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，
∵E（0，3），
∴E'（2，3），
易得E'F的解析式为：y＝3x﹣3，
当x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，
∴G（1，0）
（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），
易得AB的解析式为：y＝﹣2x+6，
过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，
设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），
∴NQ＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，
∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，
∴△QMN∽△ADB，
∴，
∴，
∴MN＝﹣（m﹣2）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，MN有最大值；
过N作NG⊥y轴于G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，
∴△NGP∽△ADB，
∴＝＝，
∴PG＝NG＝m，
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3﹣m＝﹣m2+m+3，
∴S△PON＝OP•GN＝（﹣m2+m+3）•m，
当m＝2时，S△PON＝×2（﹣4+3+3）＝2．
（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP＝EN＝1，则OP＝2，根据面积公式可得结论）．
21．解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3．
令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝6，
∴A（﹣4，0），B（6，0），
∴OA＝4，OB＝6．
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵CO⊥AD，
∴OC2＝OA•OD，
∴OD＝，
∴D（，0）．
（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴E（1，）．
如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．
由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．
设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．
∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝yH﹣yP＝﹣m2+m﹣．
∴S△BHE＝（xB﹣xE）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．
∵FH⊥CD，AC⊥CD，
∴AC∥FH，
∴∠HFG＝∠CAO，
∵∠AOC＝∠FGH＝90°，
∴△ACO∼△FHG，
∴＝＝，
∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，
∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，
∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，
∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，
∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．
此时，H的横坐标为．
（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），
∴CD＝BD＝，BC＝3，
∴∠DCB＝∠DBC．
①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，
则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，
∴MN∥AB，
∴MN⊥y轴，
∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，
∴△CKN∼△COB，
∴＝＝，
∴CK＝，
∴OK＝OC+CK＝，
∴N（，）．
②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，
则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，
∴CN∥AB，
∴N（3，3）．
③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，
则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，
∴MN∥CD，
作MR⊥y轴于R，
则＝＝＝，
∴CR＝，RM＝，
∴OR＝3﹣，
作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，
则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，
∴△COD∼△MQN，
∴＝＝，
∴MQ＝MN＝，NQ＝MN＝，
∴NQ﹣RM＝，OR+MQ＝，
∴N（﹣，）．
综上所述，满足要标的N点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．
22．解：（1）x2﹣10x+16＝0，解得：x＝8或2，
故OC＝8，OB＝2，即点B、C的坐标分别为（2，0）、（0，8）；
函数的对称轴是直线x＝﹣2，故点A的坐标为（﹣6，0），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣2）（x+6），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+8；
（2）∵AB＝8，OC＝8，则AE＝m，BE＝8﹣m，
∵OA＝6，OC＝8，
∴AC＝10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
，即，
∴EF＝；
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝．
∴，
∴FG＝×＝8﹣m，
∴S＝S△BCE﹣S△BFE＝（8﹣m）×8﹣×（8﹣m）（8﹣m）＝﹣m2+4m，
∵＜0，故S有最大值，
当m＝4时，S的最大值为8；
（3）设点N的坐标为（m，n）而n＝﹣m2﹣m+8，点M（﹣2，t），
①当PC是对角线时，如图1，2，3，4，
此时，PN是边，
（Ⅰ）如图1，当点N在点M的上方时，如图1，2，
在图1中，过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作MH⊥y轴于点H，
∵∠NCG+∠GCN＝90°，∠GCN+∠MCH＝90°，
∴∠NCG＝∠MCH，MC＝NC，
∴△CHM≌△NGC（AAS），
∴GC＝MH＝2，故点G（0，10），
则点N的纵坐标为10，则n＝﹣m2﹣m+8＝10，
解得：m＝﹣1或﹣3，
故点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）（即图1，2所示的情况）；
（Ⅱ）当点N在点M的下方时，如图3，4，
同理可得，点N的纵坐标为6，
则n＝﹣m2﹣m+8＝6，
解得m＝﹣2±2，
故点N的坐标为（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）；
②当PC是边时，如图5﹣12，
（Ⅰ）当PM是对角线时，如图5﹣8，
如图5，6，当MN在对称轴左侧时，
由题意得：点N、C关于函数的对称轴对称，故点N的坐标为（﹣4，8）；
如图7，8，当MN在对称轴右侧时，
在图7中，过点N、C分别作函数对称轴的垂线，垂足分别为H、G，
同理可得：GC＝MH，NN＝GM，
即m+2＝8﹣t且t﹣n＝2，故点N（6﹣t，t﹣2），
把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝10或4.5（舍去10），
故点N的坐标为（1.5，2.5）；
在图8中，同理可得点N的坐标为（t﹣10，t+2），
把点N的坐标代入y＝﹣x2﹣x+8并解得t＝6或8.5（舍去6），
故点N的坐标为（﹣1.5，10.5）；
（Ⅱ）当PM是边时，如图9﹣12，
当NM在对称轴的左侧时，如图9，11，
当MN在对称轴的右侧时，如图10，12，
在图9中，同理可得，点N的在为（，），
在图11中，同理可得，点N的在为（，），
同理可得，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．
综上，点N的坐标为（﹣3，10）或（﹣1，10）或（﹣2+2，6）或（﹣2﹣2，6）或（﹣4，8）或（﹣1.5，10.5）或
（1.5，2.5）或（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣2+，6）．
23．解：（1）设甲种水果的单价为x元/千克，乙种水果的单价为（x+2）元/千克，
根据题意得，＝，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是方程的根，
∴x+2＝8，
答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克，8元/千克；
（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：6×0.5+8×0.5＝7元，
每听罐头的总成本为：7+7×+3＝15元，
设降价m元，则利润W＝（28﹣m﹣15）（3000+1000m）＝﹣1000m2+10000m+39000＝﹣1000（m﹣5）2+64000，
∵﹣1000＜0，
当m＝5时，W有最大值为64000，
∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；
（3）由（2）知，W＝﹣1000（m﹣5）2+64000＝60000，
解得：m＝7或m＝3，
∵28×15%＝4.2，
但是降价的幅度不超过定价的15%，
∴m＝3，
∴售价为28﹣3＝25（元），
答：每听罐头的价钱应为25元．
相关试卷
鲁教版 (五四制)八年级下册第七章 二次根式综合与测试课后作业题： 这是一份鲁教版 (五四制)八年级下册第七章 二次根式综合与测试课后作业题，共8页。试卷主要包含了在式子中，二次根式有，使有意义的x的取值范围是，已知+2＝b+8，则的值是，下列式子正确的是，下列二次根式中，不能与合并的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末练习试卷（word版 含答案）： 这是一份2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级上册数学期末练习试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了已知点A，把抛物线y＝3等内容，欢迎下载使用。
数学九年级上册第三章 二次函数综合与测试课时训练： 这是一份数学九年级上册第三章 二次函数综合与测试课时训练，共18页。试卷主要包含了若函数y＝，若点A，函数y＝ax2+bx+5，若二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
