2020-2021学年第四章 几何图形初步综合与测试教案设计

这是一份2020-2021学年第四章 几何图形初步综合与测试教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

(一)知识与技能：1.直观认识立体图形，掌握平面图形的基本知识；2.画出简单立体图形的三视图及平面展开图，根据三视图画出一些简单的实物图；3.进行线段的简单计算，正确区分线段、射线、直线；4.掌握角的基本概念，进行相关运算；5.巩固对角得度量及运算知识的掌握，能解决一些实际问题.
(二)过程与方法：1.经历相关内容的归纳、总结，巩固对图形的直观认识，了解图形的分割和组合，探索学习空间与图形的方法；2.通过实验、操作，提高对图形的认识和动手能力.
(三)情感态度与价值观：在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意义，获取学习的经验.
二、教学重点、难点
重点：立体图形与平面图形的互相转化，及一些重要的概念、性质等.
难点：建立和发展空间观念，对图形的表示方法，对几何语言的认识与运用.
三、教学过程
知识梳理
一、几何图形
1.立体图形与平面图形
(1)立体图形的各部分不都在同一平面内，如：
(2)平面图形的各部分都在同一平面内，如：
2.从不同方向看立体图形
3.立体图形的展开图
4.点、线、面、体之间的联系
(1)体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；
(2)点动成线、线动成面、面动成体.
二、直线、射线、线段
1.有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单说成：两点确定一条直线.
2.直线、射线、线段的联系与区别
3.基本作图
(1)作一线段等于已知线段；
(2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
4.线段的中点
应用格式：
因为C是线段AB的中点，所以AC=BC=AB或AB=2AC=2BC.
5.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短.
6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.
三、角
1.角的定义
(1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；
(2)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角的度量
度、分、秒的互化1°=60′，1′=60″
3.角的平分线
应用格式：
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOC=∠BOC=∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
4.余角和补角
(1)定义
①如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).
②如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).
(2)性质
①同角(等角)的余角相等.②同角(等角)的补角相等.
(3)方位角
①定义
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向.
②书写
通常要先写南或北，再写偏东或偏西.
考点讲练
考点一 从不同方向看立体图形
例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，画出从正面和左面方向看到的平面图形.
解：

针对训练
1.如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别得到(1)，(2)，(3)，(3)四个平面图形，把上下两行相对应立体图形与平面图形用线连接起来.
考点二 立体图形的展开图
例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称.(1)________，(2)________，(3)________.
针对训练
2.在下列图形中(每个小四边形皆为相同的正方形)，可以是一个正方体展开图的是( )

考点三 线段长度的计算
例3 如图，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长.
解：因为 AC=15cm，CB=AC
所以 CB=×15=9cm
所以 AB=15+9=24cm
所以 D，E分别为AC，AB的中点
所以 AE=AB=12cm，AD=AC=7.5cm
所以 DE=AE-AD=12-7.5=4.5(cm)
例4 如图，B，C两点把线段AD分成2:5:3三部分，M为AD的中点，MC＝6cm，求线段BM和AD的长.
解：设AB=2x cm，BC=5x cm，CD=3x cm
则AD=AB+BC+CD=10x cm
因为 M是AD的中点
所以 AM=MD=AD=5x cm
由MC+CD=MD得，3x+6=5x. 解得 x=3
所以 BM=AM-AB=5x-2x=3x=9(cm)，AD=10x=30(cm)
例5 点C在线段AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点.
(1)如图，AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由.
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，其它条件不变，请画出图形，猜想MN的长度，并说明理由.
解：(1)因为 点M，N分别是AC，BC的中点
所以 CM=AC=4cm，CN=BC=3cm
所以 MN=CM+CN=4+3=7(cm)
(2)猜想：MN=a cm.理由如下：
因为 点M，N分别是AC，BC的中点
所以 CM=AC，CN=BC
所以 MN=CM+CN=AC+BC=(AC+BC)=a(cm)
(3)根据题意画出图形(右图)

猜想：MN=b cm.理由如下：
因为 点M，N分别是AC，BC的中点
所以 CM=AC，CN=BC
所以 MN=CM-CN=AC-BC=(AC-BC)=b(cm)
针对训练
3.如图，线段AB＝100cm，点C，D在线段AB上. 点M是线段AD的中点，MD＝21cm，BC＝34cm. 则线段MC的长度为____cm.
4.如图，AB＝120cm，点C，D在线段AB上，BD＝3BC，点D是线段AC的中点. 则线段BD的长度为____cm.
5.已知：点A，B，C在一直线上，AB＝12cm，BC＝4cm.点M，N分别是线段AB，BC的中点.求线段MN的长度.
解：如图①，当C在AB间时
因为 M，N分别是AB，BC的中点
所以 BM=AB=×12=6cm，BN=BC=×4=2cm
所以 MN=BM-BN=6-2=4(cm)
如图②，当C在AB外时
因为 M，N分别是AB，BC的中点
所以 BM=AB=×12=6cm，BN=BC=×4=2cm
所以 MN=BM+BN=6+2=8(cm)
考点四 关于线段的基本事实
例6 如图，是一个三级台阶，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.若这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？
解：如图，将台阶面展开成平面图形.
连接AB两点，因为两点之间线段最短，
所以线段AB为蚂蚁爬行的最短路线.
针对训练
6.如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面爬到B点去吃蚊子.请画出壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.
解：如图，将圆柱体侧面展开成平面图形.连接AB两点，因为两点之间线段最短，所以线段AB为壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.
考点五 角的度量及角度的计算
例7 如图，BD平分∠ABC，BE把∠ABC分成2︰5两部分，∠DBE＝21°，求∠ABC的度数.
解：设∠ABE=2x°，∠CBE=5x°
则∠ABC=∠ABE+∠CBE=7x°
因为 BD平分∠ABC
所以 ∠ABD=∠ABC=3.5x°
因为 ∠ABE+∠DBE =∠ABD
即 2x+21=3.5x，解得 x=14
所以 ∠ABC=7x°=98°
例8 如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1)当∠AOC＝50°时，求∠MON的大小；
(2)当∠AOC＝α时，∠MON等于多少度？
(3)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？
解：(1)因为 ∠AOB是直角，∠AOC=50°
所以 ∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°
因为 ON、OM分别是∠AOC和∠BOC的平分线
所以 ∠COM=∠BOC=×140°=70°
∠CON=∠AOC=×50°=25°
所以 ∠MON=∠COM-∠CON=70°-25°=45°
(2)因为 ∠AOB是直角，∠AOC=α
所以 ∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α
因为 ON、OM分别是∠AOC和∠BOC的平分线
所以 ∠COM=∠BOC=(90°+α)
∠CON=∠AOC=α
所以 ∠MON=∠COM-∠CON=(90°+α)-α=45°
(3)不会发生变化. 由(2)可知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半.
针对训练
7.∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则( )
A.∠A＞∠B＞∠C B.∠B＞∠A＞∠C C.∠A＞∠C＞∠B D.∠C＞∠A＞∠B
8.19点整时，时钟上时针与分钟之间的夹角是( )
A.210° B.30° C.150° D.60°
9.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝50°，∠BOC＝10°，求∠AOC的度数.
解：有两种情况：
(1)如图①所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°
(2)如图②所示：∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-10°=40°
综上所述，∠AOC的度数为60°或40°
考点六 余角和补角
例9 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比 ∠α小30°，求∠α，∠β.
解：设∠α=x°，则∠β=180°-x°. 根据题意，得
(180-x)=x-30
解得 x=80
所以，∠α=80°，∠β=100°.
例10 如图，直线AB，CD相交于点O，∠FOD＝90°，OF平分∠AOE．
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数.
解：(1)因为 直线AB，CD相交于点O
所以 ∠AOC和∠BOD与∠AOD互补
因为 OF平分∠AOE，所以 ∠AOF=∠EOF
因为 ∠FOD=90°，所以 ∠COF=180°-∠FOD=90°
因为 ∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-∠EOF，∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-∠EOF
所以 ∠AOC=∠DOE
所以 与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2)因为 OF平分∠AOE
所以 ∠AOF=∠AOE=×120°=60°
由(1)知，∠COF=90°
所以 ∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-60°=30°
由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD互补
所以 ∠BOD=∠AOC=30°(同角的补角相等)
针对训练
10.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC:∠EOD＝2:3，求∠BOD的度数.
解：(1)因为 直线AB，CD相交于点O
所以 ∠AOC=∠BOD=180°-∠AOD
因为 OA平分∠EOC
所以 ∠AOC=∠EOC=×70°=35°
所以 ∠BOD=∠AOC=35°
(2)设∠EOC=2x°，∠EOD=3x°
由∠EOC+∠EOD=180°
得 2x+3x=180°，解得 x=36°
所以 ∠EOC=2x°=72°
所以 ∠AOC=∠EOC=×72°=36°
所以 ∠BOD=∠AOC=36°
11.已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，请画出示意图并探究∠AOC与∠BOD的关系.
解：
如图①，因为 ∠AOB=90°，∠COD=90°
所以 ∠AOC=90°-∠BOC∠BOD=90°-∠BOC
所以 ∠AOC=∠BOD；
如图②，∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°-∠BOC
所以 ∠AOC+∠BOD=180°；
如图③，∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°+∠BOC
所以 ∠AOC=∠BOD；
如图④，∠AOC+∠BOD=360°-90°×2=180°
所以 ∠AOC+∠BOD=180°.
综上所述，∠AOC=∠BOD或∠AOC+∠BOD=180°.
12.一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5cm，碰到障碍物B后，折向北偏西60°方向爬行3cm到C点.
(1)画出蚂蚁的爬行路线；
(2)求出∠OBC的度数.
解：(1)如图所示；

(2)∠OBC=75°.